Esercitazioni 5

Esercitazione V - STATISTICA (CdL Economia) a.a. 2014/2015
1. Si consideri un campione casuale di dimensione = 5. Si stabilisca se il seguente
stimatore è corretto:
= 0,2 × + 0,3 × + 0,1 × + 0,1 × + 0,3 × a) Si calcoli l’errore quadratico medio.
b) Si verifichi che lo stimatore è meno efficiente della media campionaria.
2. Con riferimento ad un campione casuale di ampiezza = 30 e ad una
popolazione (generatrice) normale avente varianza 25, si determini la seguente
probabilità 17,04 < < 36,69.
3. Si supponga che un indicatore della qualità della vita abbia distribuzione normale
con media 74 e deviazione standard 18,1.
a) Si calcoli l’errore standard della media per campioni di altezza = 100.
b) Qual è il suo significato?
c) Quale dovrebbe essere la dimensione campionaria del campione che assicura
un errore standard della media pari alla metà di quello al punto precedente?
4. Si supponga che la variabile “possedere un computer” abbia nella popolazione
distribuzione di Bernoulli con parametro = 0,4.
a) Si elenchino tutti i possibili campioni di dimensione = 3.
b) Si costruisca la distribuzione della media campionaria.
c) Si verifichi che la media e la varianza di questa distribuzione coincidono con
quelle teoriche.
d) Si calcoli l’errore quadratico medio della media campionaria come stimatore
del parametro .
5. La concentrazione di metalli pesanti riscontrata nei pesci è spesso utilizzata come
misura dell’inquinamento ambientale. Un campione di 12 pesci viene perciò
estratto da un lago e la concentrazione di zinco contenuta nel fegato dei pesci
misurata (µg/g) risulta essere: 9,89; 10,05; 9,01; 8,57; 9,92; 6,84; 9,95; 8,8; 8,79;
7,98; 9; 11,46.
Si assuma una distribuzione normale per la concentrazione di metalli pesanti nei
pesci.
a) Calcolare una stima della concentrazione media di zinco nel fegato dei pesci
del lago.
b) Costruire un intervallo fiduciario al 99% per la concentrazione media di zinco
nel fegato dei pesci del lago.
c) Fornire un intervallo fiduciario al 95% per la varianza.
d) Precedenti studi condotti sullo stesso lago portano ad assegnare il valore 1,71
alla deviazione standard della popolazione. Calcolare l’intervallo fiduciario del
punto b) alla luce di questa nuova informazione.
6. Al fine di stimare la quantità media, espressa in litri, del consumo mensile di
benzina delle famiglie di un certo comune, viene condotta un’indagine su un
campione di 213 famiglie ottenendo i seguenti risultati:
!
!
= 34.293 − ̅ = 18.062.400
dove indica il consumo mensile dell’i-esima famiglia e ̅ la media campionaria
dei consumi mensili di benzina.
a) Si calcolino le stime del consumo medio mensile di benzina % e della sua
varianza & .
b) Determinare l’intervallo fiduciario al 95% per %.
c) Determinare l’intervallo fiduciario al 90% per & .
7. Un’azienda acquista laminati da utilizzare nel processo produttivo. A tal fine
risulta cruciale lo spessore dei laminati. Calcolare l’errore massimo di stima che si
può commettere con probabilità 0,99 sulla base di un campione di 100 laminati il
cui spessore medio è pari a 1,5 mm e varianza 0,01mm^2.
8. La seguente tabella riporta la distribuzione di un campione di 242 lavoratori
classificati per classi di reddito (in migliaia di euro annui) e tipo di impiego:
Tipo di lavoro
Lavoratori
dipendenti
Liberi
professionisti
Totale
10-20
52
Classi di reddito
21-40
58
41-80
6
Totale
116
22
50
54
126
74
108
60
242
a) Relativamente ai lavoratori che guadagnano tra i 21 e i 40 mila euro l’anno, si
calcoli l’intervallo fiduciario al 95% per la proporzione dei lavoratori
dipendenti.
b) Si calcoli l’intervallo fiduciario al 99% per il reddito medio dei liberi
professionisti.
c) Si determini l’intervallo fiduciario al 99% per la proporzione di lavoratori
dipendenti nella popolazione.
d) Alla luce del risultato di cui al punto precedente è plausibile affermare che la
forza lavoro è suddivisa equamente tra lavoratori dipendenti e liberi
professionisti?
N. B.: Gli esercizi sono tratti dalle esercitazioni disponibili al sito
http://www.stat.unipg.it/luca/stat.html (Modulo 4 e 5 capitolo Inferenza
statistica). Sul sito sono presenti anche le soluzioni.