• Corso di insegnamento: Analisi Funzionale • Docente: Elvira

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Corso di insegnamento: Analisi Funzionale
• Docente: Elvira Mascolo
• a.a. 2016-17
• Anno: Laurea Magistrale
• Semestre: Primo
• Periodo 26 Settembre-23 Dicembre 2016
• 9 CFU
Obiettivi e contenuti del corso
Una teoria piú importante e utile quanto piú sono semplici le sue premesse,
quanto piú diverse sono le dispcipline che unisce e quanto piú sono vasti i campi
di applicazione. Questa frase di Albert Einstein sembra scritta per l’Analisi
Funzionale, disciplina relativamente recente, nata infatti all’inizio del 1900 e
che per tutto il secolo scorso ha avuto notevoli sviluppi e applicazioni in molti
campi scientifici. L’Analisi Funzionale astratta si suddivide in Lineare e non
Lineare e poi ci sono le applicazioni alla teoria numerica di questa disciplina.
I campi di applicazione sono numerosi, ricordiamone alcuni
• Equazioni Differenziali sia ordinarie che a derivate parziali. In particolare
Equazioni della fisica matematica: Equazione di Laplace, Equazione del
calore, Equazione delle onde, Equazione di Schrodinger;
• Calcolo delle Variazioni, Teoria dei Controlli, Teoria dei Giochi;
• Equazioni di Evoluzione e Teoria dei Semigruppi;
• Superfluidi, Superconduttori e Transizione di fase come il modello di LandauGinzburg;
• Teoria dei Fluidi, Equazione di Navier-Stokes;
• Teoria dei Campi, Meccanica Quantistica;
• Studio dei Metodi di Approssimazione: metodi di iterazione via k-contrazioni,
Metodo di Ritz, metodo di Galerkin.
In questo corso si daranno i fondamenti della teoria con un approcio che
tenga conto delle applicazioni, approfondendo il suo ruolo di strumento elegante
e fondamentale nella risoluzione di problemi matematici legati alla matematica
applicata e alla fisica.
I prerequisiti sono la conoscenza degli spazi metrici e delle proprietá e della
teoria dell’integrazione.
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Programma indicativo del corso
• Teorema di Hahn-Banach ed Applicazioni.
• Spazi di Hilbert: teorema della proiezione, dualitá, sistemi ortonormali
completi.
• Spazi di Banach: teoria ed esempi notevoli.
• Dualitá, topologie deboli. Separabilitá e riflessivitá. Studio delle topologie
deboli degli spazi Lp .
• Spazi di Sobolev: derivate deboli e principali proprietá. Cenni a qualche
risultato di immersione.
• Formulazione variazionale delle equazioni differenziali.
• Applicazioni alle equazioni a derivate parziali.
• Teoremi di punto fisso ed Applicazioni.
Bibliografia
1. H. Brezis, Analisi Funzionale- Teoria ed Applicazioni, Liguori Ed., Napoli,
1986
2. A. N. Kolmogorov-S. V. Fomin, Elementi di Teoria delle Funzioni e di
Analisi Funzionale, Ed. Mir, 1980.
3. W. Rudin , Analisi Reale e Complessa, Bollati Boringhieri,Torino, 1991.
4. Appunti dalle lezioni all’indirizzo: http://web.math.unifi.it/users/mascolo/
5. E.Zeidler, Applied Functional Analysis, Main principles and their applications, Applied Mathematics Sciences, N. 109, Sringer-Verlag.
6. E.Zeidler, Applied Functional Analysis, Applications to Mathematical Phisics,
Applied Mathematics Sciences, N. 108, Springer-Verlag.
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