Quesiti

Quinta puntata della gara a squadre.
Primo Aprile 2005
Quesito 1
Quali sono gli interi positivi che non possono essere espressi nella forma
a  a1
b
b1
con a e b interi positivi?
Quesito 2
Diremo che un insieme di numeri interi è birichino se non contiene tre numeri
consecutivi. (In particolare, tutti gli insiemi aventi meno di tre elementi, incluso
l’insieme vuoto, sono birichini.)
(a) Senza l’uso di calcolatori o calcolatrici programmabili, determinare il
numero dei sottoinsiemi birichini dell’insieme 1, 2, 3, … , 15.
(b) Dimostrare che il rapporto fra il numero dei sottoinsiemi birichini di
1, 2, … , n e il numero di tutti i sottoinsiemi di quest’insieme tende a zero
per n → .
Quesito 3
Dire se esistono, e in caso affermativo determinare, tre polinomi f, g, e h tali che
per ogni terna pitagorica primitiva a, b, c con 0  a  b  c, esiste x ∈ R tale che
fx  a, gx  b e hx  c.
Quesito 4
Il presidente di Cubolandia governa 8 città poste sui vertici di un cubo, e
collegate tra loro da 12 strade (gli spigoli). Per risparmiare sulla manutenzione
strade, decide di chiudere il maggior numero di strade possibile, lasciando che due
qualsiasi città siano collegate (da un cammino che eventualmente passerà per altre
città): quante strade può chiudere? Quante ne può chiudere il presidente di
Icosaedrolandia? E quello di Ipercubolandia (n-dimensionale)?
Quesito 5
Nel piano consideriamo un numero finito di punti le cui distanze reciproche non
superano 1 metro. Dimostrare che si puó trovare un triangolo equilatero di lato
3 metri contenente tutti i punti considerati.