Matematica - Liceo Scientifico Guido Castelnuovo
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LICEO SCIENTIFICO “GUIDO CASTELNUOVO” FIRENZE Anno scolastico 2013/14 Programma di MATEMATICA per la classe 5ª sez. B prof. Ivan Casaglia 1 – ANALISI INFINITESIMALE 1.1 FUNZIONI CONTINUE E LIMITI (COMPLETAMENTO) Richiami sul concetto di funzione continua Richiami sui concetti di limite di successioni e funzioni e le relative proprietà Limiti di funzioni e limiti di successioni Teorema degli zeri (Bolzano) e teorema dei valori intermedi (c.d) Massimi e minimi di una funzione continua: teorema di Weierstrass (c.d.) Discontinuità 1.2 FUNZIONI ESPONENZIALI E LOGARIMTI Potenze e funzioni esponenziali Estensione delle funzioni esponenziali definite sui numeri razionali ai numeri reali Funzioni esponenziali come isomorfismi Le funzioni logaritmiche e le loro proprietà Il numero e I logaritmi naturali x ln 1+ x ⎛ ex − 1 1⎞ = 1. Limiti notevoli: lim ⎜ 1+ ⎟ = e ; lim = 1; lim x→0 x→0 x→±∞ ⎝ x x x⎠ ( ) Modelli di crescita e di decadimento Modelli per la percezione di uno stimolo: il caso dell’intensità del suono e i decibel 1.3 CALCOLO DIFFERENZIALE Introduzione al concetto di derivata: il problema della tangente; il concetto di velocità istantanea Definizione di derivata Retta tangente Significato geometrico e fisico di derivata Derivata da destra e da sinistra Continuità e derivabilità Regole di derivazione, derivate delle funzioni elementari, algebra delle derivate Massimi e minimi locali di una funzione Punti stazionari e teorema di Fermat (c.d.). Teorema di Rolle (c.d.). Teorema di Lagrange (c.d.); interpretazione geometrica e cinematica Determinazione degli intervalli di monotònia di una funzione. Punti di massimo e di minimo locali Problemi di massimo e di minimo Il principio di Fermat per i cammini ottici e la deduzione delle leggi della riflessione e della rifrazione. Derivate successive e applicazione ai massimi e ai minimi Funzioni convesse e concave. Punti di flesso Teorema di Cauchy e regole di De L’Hôpital Gli asintoti obliqui Studio del grafico di una funzione Il differenziale di una funzione: significato e applicazioni 1.4 CALCOLO INTEGRALE Introduzione al concetto di integrale: il problema della quadratura Definizione di integrale di una funzione limitata Funzioni integrabili, funzioni non integrabili Proprietà dell’integrale La media integrale come estensione della media aritmetica ponderata Il teorema della media per le funzioni continue (c.d.) Primitive di una funzione Teorema fondamentale del calcolo e formula di Torricelli-Barrow (c.d.) Integrale indefinito di una funzione continua Proprietà degli integrali indefiniti Integrali indefiniti delle funzioni elementari; integrazione immediata Integrazione per parti Integrazione per sostituzione Cenni sull’integrazione delle funzioni razionali: caso del denominatore di secondo grado e metodo dei fratti semplici Area di una regione piana Principio di Cavalieri e volume di un solido di rotazione; teorema di Guldino (*) Integrali generalizzati Integrali definiti in fisica: lavoro di una forza (spostamento rettilineo); lavoro di un campo gravitazionale o elettrico; lavoro in una trasformazione isoterma. Integrali indefiniti in fisica: dall’accelerazione alla velocità, dalla velocità alla legge oraria 2 – ANALISI NUMERICA 2.1 RISOLUZIONE APPROSSIMATA DI UN’EQUAZIONE Richiami sulla risolubilità per radicali di un’equazione algebrica La risoluzione approssimata di un’equazione Criteri per l’esistenza e l’unicità della soluzione di un’equazione in un intervallo (separazione delle radici) Dal teorema degli zeri al metodo di bisezione Metodo delle tangenti (Newton) Cenni sul metodo delle secanti Cenni sulla stima dell’errore 2.2 INTEGRAZIONE NUMERICA La formula di Torricelli-Barrow e i suoi limiti applicativi Dalla definizione di integrale agli algoritmi di integrazione numerica Il metodo dei rettangoli Il metodo dei trapezi (Bezout) Cenni sulla stima dell’errore 3 – PROBABILITÀ 3.1 VARIABILI ALEATORIE DISCRETE Richiami sulle variabili aleatorie finite Media, varianza e deviazione standard di variabili aleatorie finite Il processo di Bernoulli; il numero dei successi su n prove e la distribuzione binomiale Variabili aleatorie discrete: il passaggio dal finito al numerabile Il processo di Bernoulli: il tempo di attesa del primo successo e la distribuzione geometrica Dalla distribuzione binomiale alla distribuzione di Poisson La distribuzione di Poisson e il modello degli arrivi La legge dei grandi numeri (Teorema di Bernoulli) 3.2 VARIABILI ALEATORIE CONTINUE Variabili aleatorie: il passaggio al continuo Una definizione generale di variabile aleatoria Funzione di ripartizione e densità La legge normale e le sue applicazioni (*) Teorema centrale del limite: enunciato e suo significato; la legge normale come limite della distribuzione binomiale (*) (*) Gli argomenti indicati sono quelli svolti dopo il 15 maggio 2014. Firenze, 5 giugno 2014 I Rappresentanti degli Studenti Il Docente
