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PROGRAMMA DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 PER IL CORSO DI LAUREA IN
INGEGNERIA BIOMEDICA. A/A 2012-2013.
Docente: Chiara Leone
1. Successioni di funzioni: convergenza puntuale ed uniforme. Teorema sulla continuità
del limite (c.d.) . Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale (c.d.).
Teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata (s.d.).
Serie di funzioni: convergenza puntuale, uniforme e totale. Schema delle convergenze.
Teorema sulla continuità della somma (s.d.). Teorema di integrazione per serie (s.d.).
Teorema di derivazione per serie (s.d.).
2. Elementi di topologia in R^n. Punti interni, esterni, di frontiera, di accumulazione.
Insiemi aperti, chiusi, chiusura di un insieme. Domini, aperti connessi. Funzioni di più
variabili; limiti e continuità. Teorema di Weierstrass (s.d.). Insiemi di definizione per
funzioni di due variabili. Derivate parziali. Derivabilità: la derivabilità non implica la
continuità. Gradiente e differenziabilità: la differenziabilità implica la continuità (c.d.).
Teorema del differenziale (c.d.). Significato geometrico della differenziabilità. Derivate
successive. Teorema di Schwarz (s.d.). Funzioni composte. Teorema di derivazione
delle funzioni composte (s.d.). Formula di Taylor al secondo ordine con il resto di
Lagrange (c.d.). Formula di Taylor al secondo ordine con il resto di Peano (c.d.).
Massimi e minimi relativi. Condizione necessaria del primo e secondo ordine per
funzioni di due variabili reali (c.d.). Condizione sufficiente del secondo ordine nel caso
di due variabili (c.d.).
3. Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie. Il problema di Cauchy. Equazioni
differenziali lineari. Integrale generale di un’equazione differenziale lineare: Teorema
sull’integrale generale (s.d.). Risoluzione delle equazioni differenziali del I ordine. Il
metodo di variazione delle costanti. Equazioni differenziali di ordine n a coefficienti
costanti. Integrale generale di un’equazione omogenea a coefficienti costanti (s.d.).
Equazioni a coeffienti costanti con termini noti di tipo particolare: Proposizione 3
pag.294 (s.d.). Metodo di variazione delle costanti. Equazioni a variabili separate.
4. Curve ed integrali curvilinei. Rette tra due punti, curve cartesiane, circonferenze. Curve
regolari e significato geometrico; retta tangente e versore tangente. Curve regolari a
tratti. Curve orientate. Lunghezza di una curva. Teorema di rettificabilità delle curve
C^1 (s.d.). Integrali curvilinei. Indipendenza dalla rappresentazione parametrica
considerata e dal verso da essa indotto (s.d.).
5. Forme differenziali lineari. Integrale curvilineo di una forma differenziale lineare.
Forme
differenziali esatte. Teorema 1 pag. 355 (c.d.). Teorema di caratterizzazione delle
forme esatte (s.d.). Forme differenziali esatte nel piano. Aperti semplicemente
connessi nel piano. Forme differenziali chiuse in un aperto semplicemente connesso
del piano (s.d.).
6. Integrali multipli. Integrali doppi su domini normali. Area di un dominio normale.
Costruzione dell’integrale di una funzione continua definita su un rettangolo.
Estensione al
caso di funzioni continue definite su domini normali. Significato geometrico
dell’integrale
doppio. Formule di riduzione per gli integrali doppi (s.d.). Domini regolari. Formule di
integrazione per parti (s.d.). Formule di Gauss-Green. Formula di Stokes. Formule
dell’area.
Cambiamento di variabili negli integrali doppi. Teorema di cambiamento di variabili
(s.d.).
Coordinate polari. Domini normali rispetto ai piani coordinati; volume di un insieme
normale. Costruzione dell'integrale per funzioni continue su un pallelepipedo. Formule
di
riduzione. Cenno sul cambiamento di variabili negli integrali tripli: coordinate sferiche e
coordinate cilindriche.
7. Superfici regolari. Esempi: superfici cartesiane; cono; sfera; superficie cilindrica e
superficie di rotazione generata da una curva. Piano tangente e versore normale. Area
di
una superficie. Integrali di superficie. Superfici regolari a tratti. Teorema della
divergenza
(s.d.). Superfici orientabili, esempio di superficie non orientabile: nastro di Moebius,
superfici con bordo.Teorema di Stokes (s.d.).
c.d.: con dimostrazione
s.d.: senza dimostrazione
Fanno parte integrante del corso gli esempi e gli esercizi svolti a lezione.
Libro di riferimento: N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi Matematica 2. Liguori
Editore.