ALGEBRA LINEARE (Corsi di Laurea SSE e SGI)

ALGEBRA LINEARE (Corsi di Laurea SSE e SGI)
Programma d’esame
Numeri complessi: Definizione formale di C come insieme delle coppie ordinate di numeri reali con
due operazioni (somma e prodotto). Struttura di campo di C. L’unità immaginaria e la ciclicità
delle sue potenze intere. Coniugio e sue proprietà. Forma canonica di un numero complesso
(a + ib) e forma trigonometrica (modulo e argomento). Rappresentazione sul piano di ArgandGauss. Modulo ed argomento del prodotto di due complessi, del reciproco di un complesso non
nullo e del quoziente (con dimostrazione). Formula di De Moivre. Soluzioni dell’equazione
z n = y, con y ∈ C, per via trigonometrica. Formule per l’estrazione della radice n-esima di un
complesso (con dimostrazione). Radici dell’unità. L’esponenziale complesso. L’uguaglianza
eiθ = cos θ + i sin θ. Teorema fondamentale dell’Algebra. Teorema di fattorizzazione di polinomi
a coefficienti in C (con dimostrazione) e teorema di fattorizzazione di polinomi a coefficienti in
R (con dimostrazione).
Spazi vettoriali: Lo spazio vettoriale Rn . Definizione formale di spazio vettoriale astratto V
sul campo R. Alcuni esempi di spazi vettoriali diversi da Rn . Combinazione lineare di vettori e nozione di span. Lineare dipendenza ed indipendenza. Caratterizzazione della lineare
dipendenza (con dimostrazione). Sistemi di generatori. Spazi finitamente generati. Basi. La
base canonica di Rn . Unicità della rappresentazione di un vettore rispetto ai vettori di una
base (con dimostrazione). Teorema di esistenza di basi per spazi finitamente generati (con
dimostrazione). Teorema del completamento di vettori linearmente indipendenti. Teorema di
equipotenza delle basi di uno spazio finitamente generato. Dimensione di uno spazio vettoriale.
Sottospazi vettoriali e loro caratterizzazione.
Spazi vettoriali con prodotto interno: Prodotti interni: definizione e proprietà. Un esempio importante: il prodotto interno euclideo in Rn . La disuguaglianza di Cauchy-Schwarz-Bunyakovsky
(con dimostrazione). Norma: definizione. Norma indotta da un prodotto interno (con dimostrazione). La norma euclidea ed altre norme in Rn . Distanza: definizione. Distanza
indotta da una norma. La distanza euclidea in Rn . Ortogonalità. Vettori ortonormali. Lineare
indipendenza di vettori ortonormali (con dimostrazione). Basi ortonormali. Calcolo delle coordinate di un vettore rispetto ad una base ortonormale (con dimostrazione). Metodo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Problema della miglior approssimazione di un vettore con un
elemento di un sottospazio di dimensione finita. Ortogonale di un insieme e complemento ortogonale di un sottospazio. Teorema di decomposizione ortogonale (con dimostrazione). Proiezione
ortogonale su un sottospazio finito dimensionale. Teorema della miglior approssimazione (con
dimostrazione). Distanza di un vettore da un sottospazio di dimensione finita.
Trasformazioni lineari: Trasformazioni lineari tra spazi vettoriali. Proprietà fondamentali. Nucleo ed immagine di una trasformazione lineare; loro relazione con la proprietà di suriettività
ed di iniettività. Nullità e rango di una trasformazione lineare. Teorema della “nullità+rango”
(con dimostrazione). Rappresentazione di trasformazioni lineari T : Rn −→ Rm mediante matrici. Prodotto righe per colonne tra matrici. Composizione di trasformazioni lineari e matrice
di rappresentazione della trasformazione composta.
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Determinante: Definizione ricorsiva di determinante: minori complementari, complementi algebrici e primo teorema di Laplace. Matrici diagonali e loro determinante. Proprietà fondamentali
del determinante. Trasposizione di matrici. Calcolo del determinante della matrice di Vandermonde. Teorema di Binet. Secondo teorema di Laplace. Matrici invertibili: teorema di
caratterizzazione dell’invertibilità di una matrice (con dimostrazione). Calcolo dell’inversa di
una matrice invertibile. Matrice inversa del prodotto di matrici invertibili. Stima del rango di
una matrice attraverso il calcolo di determinanti. Metodo degli orlati.
Sistemi di equazioni lineari: Notazioni e terminologia. Teorema di struttura (con dimostrazione)
sull’insieme delle soluzioni. Esistenza di soluzioni: teorema di Rouché - Capelli (con dimostrazione). Sistemi quadrati: funzioni biettive ed invertibilità. Lemma sull’invertibilità di trasformazioni lineari. Teorema di Cramer (con dimostrazione). Regola di Cramer per il calcolo della
soluzione di sistemi quadrati determinati. Risoluzione di sistemi non quadrati mediante riduzione
a sistemi quadrati.
Similitudine: Matrici che rappresentano una stessa trasformazione lineare: nozione di similitudine. La similitudine come relazione di equivalenza sull’insieme delle matrici quadrate (con
dimostrazione). Autovalori ed autovettori di un endomorfismo. Autospazio e spettro di un
endomorfismo. L’autospazio come nucleo e sua invarianza (con dimostrazione). Autovalori
e non invertibilità di endomorfismi (con dimostrazione). Molteplicità geometrica di un autovalore. Stima della molteplicità geometrica di un autovalore (con dimostrazione). Polinomio
ed equazione caratteristici di una matrice quadrata e relative proprietà. Caratterizzazione degli
autovalori come radici del polinomio caratteristico (con dimostrazione). Invarianza per similitudine del polinomio caratteristico (con dimostrazione). Lineare indipendenza di autovettori
associati ad autovalori distinti (con dimostrazione). Relazione tra molteplicità geometrica e
molteplicità algebrica di un elemento dello spettro (con dimostrazione). Matrici diagonali e loro
proprietà di chiusura rispetto a somma, prodotto per scalari e prodotto righe per colonne. Diagonalizzabiltà. Lemma sulla matrice modale (con dimostrazione). Caratterizzazione della diagonalizzabilità (con dimostrazione). Una condizione solo sufficiente per la diagonalizzabilità (con
dimostrazione). L’operazione di trasposizione di matrici. Matrici simmetriche e loro proprietà
di chiusura rispetto a somma e prodotto per scalari. Il teorema spettrale. Matrici ortogonali
e loro proprietà. Teorema di caratterizzazione delle matrici ortogonali (con dimostrazione).
Isometrie. Teorema sull’ortogonalità di autovettori associati ad autovalori distinti di matrici
simmetriche ed ortogonali (con dimostrazione). Corollario sulla diagonalizzazione di matrici
simmetriche (con dimostrazione).
Forme quadratiche: Definizione di forma quadratica e sue rappresentazioni matriciali. Segno
di una forma quadratica. Criteri per la classificazione di una forma quadratica in base al suo
segno. Caratterizzazione del segno di una forma quadratica in base al segno degli autovalori della
matrice dei coefficienti (con dimostrazione). Minori principali e minori principali di N ord Ovest
di una matrice. Caratterizzazione del segno di una forma quadratica in base al segno dei minori
principali.
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