Equazioni identità DEF 2.pptx

Abbiamoiniziatoprendendoinesamealcunienuncia3
veriedesprimendoliinterminimatema3ci,usandox
perindicareilnumero:
a)Ladifferenzatraunnumeroezeroèugualeal
numerostesso
x–0=x
b)Ilprodo=odiunnumeroperzeroèugualeazero
x.0=0
c)Unnumeromol3plicatopersestessotrevolteè
ugualealsuocubo
x.x.x= x 3
Abbiamoo=enutodelleuguaglianzetraespressioni
le=erali,semprevere,qualunquesiailvalore
assegnato.InfaB:
a)perx=5abbiamo5–0=5
perx=-3abbiamo-3-0=-3
perx=3/5abbiamo3/5–0=3/5
b)perx=6abbiamo6x0=0
perx=-5abbiamo-5.0=0
perx=1/4abbiamo1/4.0=0
3
4
c)perx=4abbiamo4x4x4=
perx=-2abbiamo(-2)(-2)(-2)=−23
3
⎛1⎞
perx=1/3abbiamo(1/3)(1/3)(1/3)= ⎜ ⎟
⎝ 3⎠
Possiamoaffermarechequesteuguaglianzeche
esprimonointerminimatemaDcienunciaDverisi
diconoiden%tà.
Quindil’iden*tàèun’uguaglianzafradueespressioni
verificataperqualunquevaloredellele:erepresen*.
Prendiamoorainesamealcunienuncia3aper3edesprimiamoli
interminimatema3ci,usandoxperindicareilnumero:
a)Ladifferenzatraunnumeroetreèugualeaqua=ro
x–3=4
b)Ilprodo=odiunnumeroperdueèugualeadieci
x
x.2=10
c)Ilquadratodiunnumeroèugualea36
2
x=36
Abbiamoo=enutodelleuguaglianzetraespressionile=erali,vere
soloperalcunivaloridix
2
Possiamoaffermarechequesteuguaglianze
sonosoddisfaHesoloperdeterminaDvalori:si
diconoequazioni.
Quindil’equazioneèun’uguaglianzafradue
espressioniverificatasoloperdetermina*
valoridellele:erepresen*.
Se consideriamo quindi ora le due
uguaglianze letterali
x+2x =3x
Qual è la differenza?
x+5 =7
DEFINIZIONE E TERMINOLOGIA
IDENTITA’
SI CHIAMA IDENTITA’ UN’UGUAGLIANZA FRA
DUE ESPRESSIONI LETTERALI CHE RISULTA
VERIFICATA PER QUALUNQUE VALORE DATO
ALLE LETTERE CHE IN ESSA COMPAIONO.
ESEMPI D’IDENTITA’:
X+2X=3X
3a-6b=3(a-2b)
DEFINIZIONE E TERMINOLOGIA
EQUAZIONE
SI CHIAMA EQUAZIONE UN’UGUAGLIANZA FRA
DUE ESPRESSIONI LETTERALI CHE RISULTA
VERIFICATA SOLO PER PARTICOLARI VALORI
DELLE LETTERE CHE COMPAIONO IN ESSA.
ESEMPIO: 5X – 4 = 1
verificata solo per x = 1
è
equazioni
È un’uguaglianza valida solo per particolari
valori attribuiti alla x
es. 3x = 21
x =21 = 7
7 è la soluzione o radice dell’equazione
3
➨  x è l’incognita
ax=b
➨  a è il coefficiente della x
➨  b è il termine noto
Iden*tàedequazioni
•  Unaiden*tàèunauguaglianzatradueespressioni
le=eralicheèveraperqualsiasivalorenumericochesi
puòa=ribuireallele=ere.
(x+2x=3x
èunaiden3tà,perchésemprevera)
•  Unaequazioneèunauguaglianzatradueespressioni
le=eralicheèverasoltantoperalcunivalorinumerici
chesipossonoa=ribuireallele=ere.Ivaloriche
rendonovalidal'uguaglianzasidiconosoluzioni
dell'equazione,lele=ereallequalisisos3tuisconoi
valorisidiconoincognite.
(x+2=2x
èun'equazione)
ILLinguaggiodelleEquazioni
•  Inun'equazionesidis3nguetraprimomembro(i
terminiprimadelsegno=)esecondomembro(i
terminidopoilsegno=).
•  3x+2=2x+3 •  Lele=erechecompaionoinun'equazionesidicono
incognite.Iterminichenoncontengonolele=ere
incognitesidiconoterminino*
•  Ilvalorenumerico(oivalori)dell'incognitache
soddisfanol'equazionesidiconosoluzioni
3x+2=2x+3hapersoluzionex=1,infaI3·1+2=2·1+3
Esempiodiequazione:
3saccheBcontengonotuBlostessonumerodicaramellee
complessivamentenecontengono6.
Seindichiamolecaramellediognisacche=oconx(incognita)
avremo:
x+x+x=6 3x=6
Laxsichiamaincognitaperchénonconosciamoilsuovalore
Eccoquestaèunequazione….Dunquesichiamaequazione
l’uguaglianzadidueespressioniconnumeriele=ere:
Ledueespressionisonomembridell’equazione
Ilvaloredixèlasoluzionedell’equazione
COSAPOSSOFAREPERRISOLVERE
UN’EQUAZIONE?
Tu=oquellochevoglioconunasolaregola:
Ogniazionechesifadevemantenere
l’uguaglianza
COME RISOLVERE LE EQUAZIONI
•Non esiste un metodo unico per la risoluzione di tutti i tipi di
equazioni. Vi sono però due principi di equivalenza che hanno
validità di carattere generale.
PRIMO PRINCIPIO DI
EQUIVALENZA
SECONDO PRINCIPIO DI
EQUIVALENZA
Se si aggiunge o si sottrae
uno stesso numero o una
stessa espressione letterale,
contenente o no l’ incognita,
per entrambi i membri, si
ottiene un’equazione
equivalente.
Se si moltiplica o si divide
entrambi i membri di
un’equazione per uno stesso
numero, diverso da 0, una
stessa espressione letterale
( escludere i valori delle
lettere che la annullano o
che la rendono priva di
significato), si ottiene
un’equazione equivalente
alla precedente.
Principidiequivalenza
Iprincipidiequivalenzasonodueteoremi
fondamentalidellateoriadelleequazioni,essi
perme=onoditrasformareun’equazione
complicatainun’equazionemoltosemplice.
PrimoPrincipio
Secondoprincipio
15
Primoprincipiodiequivalenza
Addizionandooso:raendoaentrambii
membridiun'equazionelostessonumerosi
oIeneun'equazioneequivalenteaquella
data.
Imembro
=
IImembro
Equivalentea
Imembro
+
=
IImembro
+
16
Labilanciaeilprimoprincipio
24/04/16
17
Regoladeltrasporto
Inun'equazionesipuòtrasportareuntermineda
unmembroall'altropurchélosicambidi
segno;l'equazioneo:enutaèun'equazione
equivalenteaquelladipartenza.
4x+5
=
2x+8
Equivalentea
4x
24/04/16
=
2x+8-5
18
Eliminazionedeiterminiuguali
Seunostessoterminecomparesiaalprimomembro
dell'equazionesiaalsecondomembroèpossibile
semplificarel'equazioneeliminandoiduetermini
uguali.
4x+5
=
2x+8+5
=
2x+8
Equivalentea
4x
24/04/16
19
Secondoprincipiodiequivalenza
Mol*plicandoodividendoperunostesso
numero(diversodazero)entrambiimembri
diun'equazionesioIeneun'equazione
equivalenteaquelladipartenza.
Imembro
=
IImembro
Equivalentea
Imembro
24/04/16
x
=
IImembro
x
20
Labilanciaeilsecondoprincipio
24/04/16
21
Cambiamentodisegno
(conseguenzadelSecondoprincipiodiequivalenza)
CambiandosegnoatuIiterminidi
un'equazionesioIeneun'equazione
equivalenteaquelladipartenza.
-2x-12
=
6-x
Equivalentea
2x+12
24/04/16
=
-6+x
22
Come si calcola il valore di x?
Tutti i termini con la x vanno al primo
membro, tutti i termini noti vanno al
secondo membro.
Quando un termine si sposta da un membro
all’altro, cambia segno.
Regola del trasporto
Si può portare un termine qualsiasi da un
membro all’altro purché lo si cambi di segno.
(sullabasedel1°principiodiequivalenza)
Come si calcola il valore di x?
4x + 8 = 48
4x= 40
Tutti i termini con la x
vanno al primo
membro, tutti i
termini noti vanno al
secondo membro.
x= 40
4
x = 10
Quando un termine si
sposta da un membro
all’altro, cambia
segno.
4x = 48-8
FORMA NORMALE
Per risolvere un’equazione bisogna
ridurla a forma normale
a x = b in questo modo la soluzione è
x=b
es.
a
Forma normale 3x = 15
x =15
3
Verifica di un’equazione
per vedere se è corretta la soluzione che
abbiamo trovato , dobbiamo sostituire a x il
valore ottenuto.
4x + 8 = 48
4*10 +8 = 48
40 + 8 = 48
48 = 48
Poiché il primo membro è uguale al secondo
membro, la soluzione travata è corretta
Come si calcola il valore di x
se i coefficienti sono frazionari?
Bisogna moltiplicare sia il primo membro sia il secondo membro
per il m.c.m. dei denominatori.
In questo modo si ottiene un’equazione equivalente con
coefficienti interi. (sullabasedel2°principiodiequivalenza)
3x x 7
− +
=2
2
5 10
m.c.m.=10
⎛ 3x x 7 ⎞
10 • ⎜
− +
⎟ = 10 • (2 )
5 10 ⎠
⎝2
Procedimento per trovare i
coefficienti interi
10:2x3=15
10:5x1=2
10:10x7=7
10x2=20
Dopoavermol3plicatox10iduemembrisioBene:
15x-2x+7=20esiprocedesecondoleregolestudiate
Discussionediun’equazionediprimogrado
a ≠0
x=b/a
Equazionedeterminata
b=0
Equazioneindeterminata
b ≠0
Equazioneimpossibile
ax=b
a=0
24/04/16
Matema3zzazionedisemplicisituazioni
problema3che(M.P.)
28
Equazionideterminate
Un'equazionesidicedeterminataseamme=eun
numerofinitodisoluzioni;sel’equazioneèdi
primogradosidicedeterminataseamme=euna
solasoluzione.
•  Un'equazionediprimogradocherido:aaforma
normalesipresentanellaformaax=b,cona≠0è
sempredeterminataeamme:eunasoluzione.
3x+2=-5x+1 por3amoiterminiconlaxalprimomembroequellisenzaxal
secondomembro
3x+5x=1-2 sommiamoiterminisimili
8x=-1 dividiamoprimoesecondomembroper8
SioBenex=-1/8
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29
Equazioniimpossibili
Un'equazionesidiceimpossibilesenonamme=e
soluzioni.
•  Un'equazionediprimogradocherido:aaforma
normalesipresentanellaforma0x=b,conb≠0è
impossibileperchénonhasoluzioni.
5x+2-3x=2x+1 por3amoiterminiconlaxaprimomembroequellisenza
xalsecondomembro
5x-3x-2x=1-2
sommiamoiterminisimili
0x=-1
0=-1
24/04/16
Matema3zzazionedisemplicisituazioni
problema3che(M.P.)
30
Equazioniindeterminate
Un'equazionesidiceindeterminataseamme=eun
numeroinfinitodisoluzioni;cioèun'equazionesidice
indeterminataseèverificataperqualsiasivaloredella
variabileeinquestosensonondeterminauna
soluzionespecifica,qualsiasisoluzionevabene.
Un'equazionediprimogradocherido:aaforma
normalesipresentanellaforma0x=0è
indeterminata,precisamenteèunaiden*tà.
7x-3+2x=12x-3-3xpor3amoiterminiconlaxalprimomembroequellisenzax
alsecondomembro
7x+2x-12x+3x=-3+3 sommiamoiterminisimili
0x=0
0=0
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Matema3zzazionedisemplicisituazioni
problema3che(M.P.)
31
ComesirisolveunaequazionediI°grado
Equazione1
10(x+2)+20=6(x-2)+22-x
Soluzione
10x+20+20=6x-12+22–x
10x+x-6x=-12+22-20
5x=-30
5x/5=-30/5
x=(-30)/5=-6
Verifica
10[(-6)+2]+20=6[(-6)-2]+22-(-6)
10(-6+2)+20=6(-6-2)+22+6
10(-4)+20=6(-8)+22+6
-40+20=-48+22+6
-20=-26+6
-20=-20verificata
Equazione2
4(-3–x)–14(x+2)+15=-15–8x
Soluzione
-12-4x-14x-28+15=-15-8x
4x-14x+8x=-15+12+28-15
-10x=+10
-10x/(-10)=+10/(-10)
x=(-10)/(10)x=-1
Verifica
4[-3-(-1)]-14[(-1)+2]+15=-15-8(-1)
4(-3+1)-14(-1+2)+15=-15+8
4(-2)-14(1)+15=-7
-8-14+15=-7
-7=-7verificata
Test di verifica
Che cosa si intende per uguaglianza?
•  Un’uguaglianza fra due espressioni letterali, è verificata per
qualunque valore dato alle lettere che in essa figurano.
•  Un’uguaglianza fra due espressioni letterali non è verificata per
qualunque valore dato alle lettere che in essa figurano.
•  Un’uguaglianza fra due espressioni letterali, è verificata con un solo
valore dato alle lettere che in essa figurano.
Che cosa si intende per equazione?
•  Le uguaglianze fra due espressioni letterali verificate solo per
particolari valori date alle lettere.
•  Le uguaglianze fra due espressioni letterali verificate per qualsiasi
valori dato alle lettere.
•  Le uguaglianze fra due espressioni letterali mai verificate .
Quanti sono i principi di equivalenza che ti permettono di
risolvere una equazione?
•  2
•  3
•  1
Testdiverifica
Quando un’ equazione è impossibile?
1)  0 • X=5
2)  X=5
3)  X=5/2
Quando un’equazione è indeterminata?
1)  0 • X=0
2)  X=6/7
3)  X=6
Quando un’equazione è determinata?
1)  0 • X=0
2)  X=4
3)  0 • X=4
Testdiverifica
Trova tra le seguenti risoluzioni quella esatta.
3(x-1)-2x=4(x-2)-1
3x-3-2x=4x-8-1
3x-2x-4x=+3-8-1
Risoluzioni:
1)-3x=-6
+3x/3=+6/3
x=2
2)-3x=-6
x=-6-3
x=-9
3)-3x=-6
FINE
•  Ciascunaequazionepuòesseremessa-tramite
trasformazioniequivalen3-inFORMANORMALE
•  ax=boveaebsononumerino3.
•  abbiamoiseguen33casi:
Se
a=0eb=0
INDETERMINATA
Se
a = 0 e b‡0
qualsiasi numero
reale è una
soluzione.
non ammette
soluzione
Se
a‡0 e b‡0
ammette l'unica
soluzione x = b/a
DETERMINATA
IMPOSSIBILE