Soluzioni Problem Set n. 3 - dipartimento di economia e diritto

Sapienza, Università di Roma
Dipartimento di Economia e Diritto
COMPLEMENTI DI ECONOMIA POLITICA
Problem set n. 3 Microeconomia
SOLUZIONI
1. Si consideri un’impresa monopolista che massimizza il suo pro…tto producendo la quantità y = 9. La curva di domanda inversa che fronteggia è p(y) = 42 2y.
(a) Si determini il costo marginale e il prezzo …ssato dall’impresa in corrispondenza dell’equilibrio
(b) Si determini l’elasticità della domanda rispetto al prezzo in corrispondenza dell’equilibrio.
Soluzione
(a) Sappiamo che in corrispondenza dell’equilibrio, il ricavo marginale è uguale al costo
marginale. Abbiamo visto che se la funzione di domanda è lineare allora la funzione del
ricavo marginale ha la stessa intercetta verticale della funzione di domanda e pendenza
doppia. Pertanto, la funzione del ricavo marginale è rm(y) = 42 4y. In corrispondenza
della quantità di produzione ottimale, y = 9, il ricavo marginale è 6. Pertanto, in
equilibrio il costo marginale è 6. Data la funzione di domanda, il prezzo è 24
dy p
.
dp y
1
= 2
(b) L’elasticità della domanda rispetto al prezzo è "(y) =
y(p) = 21
1
p
2
si ha che
dy(p)
dp
=
1
.
2
Pertanto, "(9)
Dalla funzione di domanda
24
9
=
1:33
2. Si consideri un’impresa monopolista che è attiva in un’industria con due segmenti di
mercato, 1 e 2. Le funzioni di domanda in ciascuno dei due segmenti sono rispettivamente
y1 = 56
e
4p1
y2 = 40
5p2
La funzione dei costi totali dell’impresa è la seguente: c = 6y, dove y = y1 + y2 .
(a) Si supponga che l’impresa monopolista sia in grado di praticare la discriminazione di
prezzo nei due segmenti di mercato, in quanto è in grado di identi…care con certezza
l’appartenenza di ciascun consumatore a uno dei due segmenti. Si determinino i prezzi
e le quantità di equilibrio e si chiarisca il tipo di discriminazione di prezzo.
(b) Spiegare il motivo per cui ai consumatori del primo segmento è praticato un prezzo
superiore a quello praticato ai consumatori del secondo segmento
(c) Si determini l’equilibrio nel caso in cui, invece, la discriminazione di prezzo non fosse
possibile.
Soluzione
1
(a) Le funzioni di domanda inverse sono lineari e sono le seguenti
p1 = 14
1
y1
4
e
p2 = 8
1
y2
5
Le corrispondenti funzioni di ricavo marginale sono:
1
2
y1
e
rm2 = 8
y2
2
5
Il costo marginale è 6. La quantità di equilibrio in ciascun segmento si ottiene in corrispondenza del punto in cui il ricavo marginale è uguale al costo marginale. Pertanto, le condizioni
di ottimo sono
2
1
y1 = 6
e
8
y2 = 6
14
2
5
da cui
rm1 = 14
e
y1 = 16
y2 = 5
Sostituendo tali quantità di equilibrio nelle funzioni di domanda si ottiene la coppia dei
prezzi di equilibrio
e
p1 = 10
p2 = 7
(b) Ai consumatori del primo segmento è praticato un prezzo superiore a quello praticato ai consumatori del secondo segmento in quanto, in corrispondenza dell’equilibrio,
l’elasticità della domanda rispetto al prezzo dei consumatori del primo segmento è minore (in valore assoluto) di quella dei consumatori del secondo segmento. La domanda
del segmento 1 è più rigida. Vediamolo:
"1 (p1 ; y1 ) =
dy1 p1
=
dp1 y1
"2 (p2 ; y2 ) =
4
dy2 p2
=
dp2 y2
10
=
16
2:5
7
5 =
5
7
Si può notare come e¤ettivamente: j"1 (p1 ; y1 )j < j"2 (p2 ; y2 )j
(c) Se l’impresa non può fare price discrimination, allora la funzione di domanda fronteggiata dall’impresa è ottenuta aggregando le due funzioni di domanda
y = 96
9p
1
y:
con la corrispondente funzione di domanda inversa: p = 96
9
9
32
2
La corrispondente funzione del ricavo marginale è rm = 3
y
9
Il costo marginale è 6. La quantità di equilibrio si ottiene in corrispondenza del punto in cui
il ricavo marginale è uguale al costo marginale. Pertanto, la condizione di ottimo è
32
3
2
y=6
9
2
da cui la quantità di equilibrio è y = 21: Sostituendo tale quantità nella funzione di domanda
si ottiene il prezzo di equilibrio: p = 25
= 8:33. Si può veri…care agevolmente come in
3
questo caso il pro…tto del monopolista in corrispondenza dell’equilibrio (49 euro) sia minore
del pro…tto di equilibrio nel caso in cui il monopolista possa discriminare il prezzo (69 euro).
3. Si consideri un’industria con due imprese. La funzione di domanda inversa per l’industria
è
p = 328
6y
Entrambe le imprese producono ad un costo unitario costante pari a 40 euro per unità di
prodotto. Qual è il prezzo corrispondente all’equilibrio di Cournot in questa industria?
Soluzione
Il problema dell’impresa 1 è massimizzare i pro…tti p(y1 + y2e )y1
che y = y1 + y2 . Si ha dunque
M ax[328
y1
6(y1 + y2e )]y1
40y1 rispetto a y1 . Si noti
40y1
da cui
6y12
M ax(288y1
y1
6y2e y1 )
La condizione del primo ordine (FOC) è
288
12y1
6y2e = 0
da cui y1 = 24 21 y2e (funzione di reazione dell’impresa 1 ).
Poiché le due imprese hanno gli stessi costi, si ha che anche per l’impresa 2 la condizione di
ottimo è y2 = 24 12 y1e (funzione di reazione dell’impresa 2).
Sommando le due equazioni e imponendo che in equilibrio le attese corripondano alle quantità
e¤ettive, si ha y1 + y2 = 48 12 (y1 + y2 ).
Risulta dunque che y = y1 + y2 = 32. Pertando, sostituendo nella funzione di domanda
inversa si ha che p = 328 6 32 = 136:p = 136 euro
4. Si consideri un’industria con due imprese (duopolio) che hanno la stessa funzione di
costo Ci = 8yi (con i = 1 e 2). La funzione di domanda di mercato è p = 48 2q:
Supponiamo che l’interazione strategica tra le imprese segua il modello di Stackelberg
e che l’impresa 1 sia quella leader. Si determinino il prezzo, le quantità e i pro…tti di
equilibrio.
Soluzione
Nel modello di Stackelberg, l’impresa leader è consapevole del fatto che la quantità prodotta
dall’altra impresa sia funzione della propria quantità; sulla base di questo, il leader formula
una congettura circa il comportamento dell’altra impresa (follower). L’impresa leader massimizza quindi il pro…tto avendo come vincolo la funzione di reazione dell’impresa follower.
3
L’impresa follower, invece, si adatta al comportamento del leader, …ssando la quantità che
massimizza il pro…tto tenuto conto della quantità scelta dal leader.
Il follower, nel massimizzare il prprio pro…tto, giunge alla seguente condizione di equilibrio
che coincide con quella del modello di Cournot:
1
y1 + 10
2
L’impresa leader formula, invece, il seguente problema di scelta ottimale
y2 =
M ax[48
y1
s:t:
2(y1 + y2 )]y1
y2 =
8y1
1
y1 + 10
2
da cui
M ax(48
y1
2y1 + y1
20)y1
8y1
Risolvendo si ottiene y1 = 10 e sostituendo tale valore nella funzione di reazione del follower
si ha y2 = 5. La quantità ottimale prodotta nell’industria è dunque y = 15. Sostituendo
nella funzione di domanda, si ricava che il prezzo è 18. Il pro…tto dell’impresa 1 (leader) è
100, mentre quello dell’impresa 2 (follower) è 50.
5. Si consideri un’economia di puro scambio, in cui vi sono due individui (A e B) e due
A A
A
beni (x1 e x2 ). La funzione di utilità di A è U A (xA
1 ; x2 ) = x1 x2 e la funzione di utilità
B B
B
B
B
di B è U (x1 ; x2 ) = x1 x2 . L’individuo A ha una dotazione iniziale di 6 unità del
bene 1 e 8 unità del bene 2. L’individuo B ha una dotazione iniziale di 14 unità del
bene 1 e 12 unità del bene 2. Si determini l’equilibrio walrasiano.
Soluzione
Nell’equilibrio competitivo, il rapporto delle utilità marginali dei due beni (saggio marginale
di sostituzione) per ciascun individuo è pari al rapporto dei prezzi. Usiamo il bene x1 come
numerario e poniamo dunque il suo prezzo pari ad 1.
Le condizioni dell’equilibrio sono
xA
xB
1
2
= 2B =
A
p
x1
x1
da cui
A
xA
1 = px2
B
xB
1 = px2
A
B
B
xA
1 + x1 = p(x2 + x2 )
4
Ma sappiamo che
B
A
B
xA
1 + x1 = x2 + x2 = 20
Pertanto p = 1
Ogni individuo deve rispettare il suo vincolo di bilancio
A
A : xA
1 + x2 = 6 + 8
B
B : xB
1 + x2 = 14 + 12
L’allocazione corrispondente all’equilibrio walrsiano è dunque
A
xA
1 = x2 = 7
B
xB
1 = x2 = 13
5