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POLARIZZAZIONE
ESERCIZIO 1
Un fascio di luce naturale attraversa una serie di polarizzatori ognuno dei
quali ha l’asse di polarizzazione ruotato di 45◦ rispetto al precedente. Determinare quale frazione dell’energia del fascio incidente è presente nel fascio
uscente dal terzo polarizzatore.
SOLUZIONE
La luce naturale non è polarizzata, cioè tutti i piani di vibrazione sono ugualmente probabili. Ne segue quindi che se E0 cos ϕ è la componente filtrata
dal polarizzatore risulta:
I
< (E0 cos ϕ)2 >
1
=
=
2
I0
2
E0
(1)
dove < (E0 cos ϕ)2 > è il valore mediato nel tempo.
Perciò dopo il primo polarizzatore risulta I0 /2. Per il secondo polarizzatore, per la legge di Malus:
1
I2 = I1 cos2 (45◦ ) =
I0 1
I0
=
2 2
4
(2)
I0
I0 1
=
4 2
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(3)
e per il terzo polarizzatore:
I3 = I2 cos2 (45◦ ) =
Dopo il terzo polarizzatore la polarizzazione del fascio di luce è ortogonale
a quella del fascio emerso dal primo polarizzatore. Tale risultato (rotazione
di π2 del piano di polarizzazione) può essere ottenuto solo usando almeno 2
polarizzatori.
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ESERCIZIO 2
Una lamina di calcite a quarto (no = 1, 6584, ns = 1, 4864) quarto d’onda per luce con λ = 0, 6µm. Un’onda con tale λ e I= 400 W/m2 incide normalmente
alla lamina. Essaè espressa da Ey = E0 cos (kx − ωtt),
√
Ez = 3E0 sin (kx − ωt) essendo l’asse y parallelo all’asse ottico del cristallo. Calcolare lo spessore minimo della lamina e lo stato di polarizzazione
dell’onda uscente. Se ortogonalmente all’onda uscente viene posto un polarizzatore il cui asse forma un angolo α = 80◦ con l’asse y, calcolare l’intensità
emessa dal polarizzatore. Si supponga ne = 1, 4864 e no = 1, 6585
SOLUZIONE
Nella lamina e quarto d’onda si ha uno sfasamento tra le onde
∆Φ = (2m + 1) π2 con ∆Φ = (n0 − ne ) d 2π
λ .
Il minimo sfasamento si ha per m=0 → ∆Φ = π2
2π
π
λ
1
(n0 − ne ) d = → d =
= 0, 87µm
λ
2
4 n0 − ne
pongo il raggio ordinario in anticipo di π2
√
√
Ey = E0 cos (kx − ωt); Ez = 3E0 sin kx − ωt + π2 = 3E0 cos (kx − ωt)
3
Ez
=
L’onda uscente ha polarizzazione rettilinea, e tra le componenti vale E
y
√
tan ϑ = 3, dove ϑ è l’angolo che il piano di polarizzazione forma con l’asse
ottico: ϑ = 60◦ . Per la legge di Malus dopo il polarizzatore ho I1 = I0 cos2 ϕ,
W
con ϕ = 80◦ − 60◦ → I1 = 400 · 0, 9 = 362 m
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ESERCIZIO 3
Un fascio di luce contenente tutte le λ comprese tra λ1 = 0, 6µm e λ2 =
0, 7µm incide su un sistema di due polaroidi P1 e P2 incrociati, cioè con gli
assi ottici a 90◦ tra loro. Tra i polaroidi c’è una lamina di quarzo (n0 =1,5442,
ne =1,5533) spessa d=600 µm tagliata parallelamente all’asse ottico col quale
gli assi dei polaroidi formano angoli di 45◦ . Assumendo n0 ed ne indipendenti da λ, calcolare per quali λ la luce esce dalla lamina con polarizzazione
rettilinea e quali di tali λ vengono trasmesse dal polarizzatore P2 .
SOLUZIONE
Dopo P1 la luce ha polarizzazione rettilinea −→ la lamina non deve alterare
il rapporto tra le componenti:
∆Φ = mπ
2π
d (n0 − ne ) = mπ
λ
λ=
2 · 6 · 102 · 10−6 · 9, 1 · 10−3
1, 092 · 10−5
2d (n0 − ne )
=
=
metri
m
m
m
m1 da λ1 =
m2 da λ1 =
2d(n0 −ne )
m1
2d(n0 −ne )
m2
quindi ho:
m=16; λ = 0,682 µm −→ ∆Φ = 8 (2π)
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⇒ m1 = 18, 2
⇒ m2 = 15, 6
m=17; λ = 0,642 µm −→ ∆Φ = 8 (2π) + π sfasamento di π
m=18; λ = 0,606 µm −→ ∆Φ = 9 (2π)
affinché P2 trasmetta occore ruotare il piano di polarizzazione di 90◦ con il
cristallo, cioè sfasare una delle due componenti di un angolo π.
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ESERCIZIO 4
Discutere la differenza di fase tra onda ordinaria e straordinaria e lo stato
di polarizzazione dell’onda uscente quando un’onda polarizzata linearmente
incide su una lamina sottile di materiale uniassico.
SOLUZIONE
Il cristalli è spesso d, ha le facce tagliate parallele all’alsse ottico ed
è disposto in modo che l’asse ottico sia perpendicolare alla direzione di
propagazione dell’onda. La direzione dell’asse ottico e Y e l’indice di rifrazione
nella direzione dell’asse ottico è n1 . La direzione Z corrisponde alla direzione
di polarizzazione del raggio ordinario (indice di rifrazione n2 ).
Si suppone che un’onda polarizzata linearmente in direzione che forma un angolo α con l’asse Y incida sulla lamina. Il campo elettrico dell’onda incidente
è descritto da
E = E0 sin(ωt − kx)
e le componenti lungo lasse Y e Z sono:
Ey = E0y sin(ωt − kx)
Ez = E0z sin(ωt − kx)
E0y = E0 cos α
E0z = E0 sin α
Nel cristallo l’onda si separa in due onde con campi elettrici polarizzati lungo
gli assi Y e Z. Tali onde corrispondono rispettivamente all’onda straordinaria
(Y) e ordinaria (Z). Le velocità di propagazione sono rispettivamente
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onda straordinaria: v1 = nc1 → vω1 = ωnc 1 kn1
onda ordinaria: V2 = nc2 → kn2
dove k=ω/c è il vettore dell’onda nel vuoto.
Il campo elettrico delle onde, dopo aver attraversato lo spessore d, hanno
l’espressione:
Ey = E0y sin(ωt − k1 d)
Ez = E0z sin(ωt − k2 d)
La differenza di fase tra le due onde risulterà:
δ = (ωt−k2 d)−(ωt−k1 d) = (k1 −k2 )d = (kn1 −kn2 )d = k(n1 −n2 )d =
2π(n1 − n2
d
λ
Dopo la lamina le due onde si ricombinano dando origine ad un’onda singola.
A causa della differenza di fase δ l’onda non sarà più polarizzata lineamente
ma avrà polarizzazione ellittica. Gli assi dell’ellisse sono paralleli agli assi Y
e Z se δ è multiplo dispari di π/2, cioè se
π
2π
λ (n1 − n2 )d= intero dispari per 2
(n1 − n2 )d= intero dispari per π4
Se δ è un multiplo intero di π
2π
λ (n1
− n2 )d= intero per π (n1 − n2 )d= intero per
λ
2
l’onda trasmessa è polarizzata linearmente.
Se l’intero è pari la direzione di polarizzazione dell’onda trasmessa è la stessa dell’onda incidente; se l’intero è dispari l’onda trasmessa è polarizzata in
un piano simmetrico rispetto al piano XZ. I due piano (dellonda incidente e
dell’onda riflessa) se α = 45 risultano ortogonali tra loro.
Le lamine che corrispondo alle due situazioni sono chiamate rispetivamente
lamina quarto d’onda e lamina mezz’onda.
Le stesse lamine che trasformano una polarizzazione lineare in ellittica possono essere usate in senso inverso: una luce entrante con polarizzazione
lettica può uscire polarizzata in un piano.
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