Scarica file

FISICA GENERALE II
Ingegneria Civile, Ambientale, Industriale
(A.A. 2005-2006)
COMPITO SCRITTO - 17.07.2006
Cognome………………………………………………..
matricola………………………………………………..
Nome…………………………………………
anno di corso…………………………………
VALUTAZIONE
1° quesito
5………………………………………………………………………………………………………………
2° quesito
5…………………………………………………………………………………………………………….
1° problema
12……………………………………………………………………………………………………
2° problema 12 ……………………………………………………………………………………………………
puneggio. totale
ATTENZIONE!
•
•
•
•
Per la sufficienza bisogna totalizzare almeno 18 punti, di cui almeno 6 in
elettrostatica o in magnetismo.
Scrivere subito cognome, nome e numero di matricola su questo foglio.
Risolvere gli esercizi in forma letterale e successivamente sostituire i valori
numerici.
Consegnare solo i fogli prestampati, non consegnare i fogli di minuta.
QUESITO 1
Una carica elettrica Q= 100 nC è distribuita uniformemente su un segmento di lunghezza l = 5 cm
giacente lungo l’asse x con l’estremo sinistro a distanza d = 20 cm dall’origine.
Una distribuzione sferica uniforme di carica Q2 = 50 nC con raggio r = 5cm viene posizionata con
centro nell’origine. Che forza agisce sul segmento?
Soluzione
dF =
1
Q
4πε 0 x
d +l
2
dq =
dx
Q Q2
dx = K
2
4πε 0 x l
x2
1
d +l
 1
F = ∫ dF = K  − 
 xd
d
,
K=
1 
1
−8
= K −
 = 4.14 ⋅ 10
d d +l
QQ2
4πε 0 l
N
QUESITO 2
Molti fili rettilinei indefiniti sono posti uno accanto all’altro su di una superficie piana. La
densità di corrente lineare è J = 1000 A/m. Si trovi modulo e verso del campo magnetico sopra e sotto
la superficie piana. Un ago magnetico di momento magnetico m = 0.3 Am2 viene disposto come in figura.
Quale è il momento meccanico a cui e’ sottoposto.
Soluzione
Applicando la legge di Ampere
B = µ0
J
= 6.28 x10 − 4
2
Il momento meccanico sull’ago vale:
M= mB= 1.88 x 10-4 Nm
entrante nel foglio se il campo ha verso orario
PROBLEMA 1
Un condensatore cilindrico è costituito da due armature concentriche con raggio interno R1 = 50mm ,
raggio esterno R2 = 60 mm e lunghezza L = 1000 mm. Il cilindro è disposto verticalmente.
Calcolare la capacità del condensatore.
Al sistema viene collegato un generatore di tensione V= 100 V.
Calcolare il campo elettrico tra le armature.
Lo spazio tra le armature viene riempito sino a metà altezza con un liquido avente costante dielettrica
relativa εr = 3 e resistenza R= 1 Ω. Calcolare:
i)
il campo elettrico tra le armature;
ii)
la capacità del condensatore;
iii)
il lavoro svolto dal generatore durante l’inserimento del dielettrico, trascurando la
resistenza del dielettrico.
Successivamente il condensatore viene scollegato dal generatore di tensione.
Calcolare la variazione della carica sulle armature in funzione del tempo.
[(4πεo)-1≅ 8.98 x 109 N m2/C2]
Soluzione:
Da Gauss:
E=
λ
2πrε 0
∆V =
λ=
R2
Q
L
λ
R2
∫ E ⋅ dl = 2πε 0 ln R1
R1
C0 =
2πε 0 L
= 3 ⋅ 10 −10
R
l 2
R1
F
capacità vuoto
∆V=100 V ; si ricava:
λ=
2πε 0 ∆V
= 3 ⋅ 10 − 8 C/m
R
l 2
R1
E0 =
λ
= 5.4 ⋅ 10 2 V
2πε 0 r
Dopo il riempimento, il condensatore risultante è costituito da 2 condensatori in parallelo
CT = C1 + C 2
C1 =
1
C 0 = 1.5 ⋅ 10 −10
2
F
C2 =
1
C 0ε r = 4.5 ⋅ 10 −10
2
F
⇒
− Qi
)
CT = 6 ⋅ 10 −10
F
Il lavoro fatto dal generatore è:
qf
Lg =
∫ Vdq = V∆Q = V (Q f
qi
Qi = C 0V = 3 ⋅ 10 −8 C
Q f = CT V = 6 ⋅ 10 −8 C
∆Q = Q f − Qi = C 0V = 3 ⋅ 10 −8 C
L g = ∆QV =
C0
(ε r − 1)V 2 = 3 ⋅ 10 − 6
2
J
Il circuito equivalente è costituito dal parallelo di 2 condensatori (C1 e C2) e di una resistenza R di valore 1 Ω.
C = CT = C1 + C 2 = 6 ⋅ 10 −10 F
t
Q(t ) = Q0 e RC
−
RC = 6 ⋅ 10 −10
s
PROBLEMA 2
Un pendolo semplice è costituito da un filo metallico di lunghezza L=25 cm e da una sferetta
(considerata puntiforme) di massa m. La massa del filo è trascurabile rispetto la massa della sferetta.
Il pendolo compie piccole oscillazioni in un piano perpendicolare ad un campo di induzione magnetica
uniforme B= 0.7 T. Sapendo che il pendolo viene lasciato al tempo t=0 dalla posizione iniziale θo = 10°
(vedi figura), calcolare:
a) la differenza di potenziale ai capi del filo in funzione del tempo;
b) quando tale differenza di potenziale è massima e quando è minima.
[
µo
= 10 − 7
4π
Tm/A]
Soluzione:
l’equazione del moto del pendolo applicando le equazioni della dinamica risulta:
θ = θ 0 cos(ϖ 0 t )
avendo assunto la velocità iniziale del pendolo zero quando si trova in posizione di massima
ampiezza
g
=6.26 s-1
L
ϖ0 =
ω = θ 0ϖ 0 sin(ϖ 0t )
è la frequenza propria del sistema
= 1.09 sin(6.26 t) è la velocità angolare del pendolo
La differenza di potenziale ai capi del filo si può calcolare sia considerando la forza di Lorentz che tramite il concetto di
flusso tagliato. Ad una distanza y dal punto di vincolo del pendolo e per un tratto dy si trova:
FL = qω yB = qE
a)
L
da cui
2
V = ∫ ω yBdy = ω B L
0
b) V =
dV = Edy = ω yBdy
2
dΦ( B) d
L
L2
= B( Ldθ ) = ωB
= 2.4x10-2 sin (626t)
2
2
dt
dt
Il massimo della tensione si ha per θ = 0 ωot π/2
T= 0.25 s
Vmax= 2.4 x10-2 V