Le origini della Geometria analitica Livia Giacardi, 20 novembre 2007 “Fino a quando l’algebra e la geometria avanzarono su sentieri separati il loro progresso fu lento e le loro applicazioni limitate. Ma quando queste due scienze unirono le loro forze, esse trassero l’una dall’altra fresca vitalità e da allora in poi marciarono a rapidi passi verso la perfezione” (J.-L. Lagrange, OC, VII, p. 271) 1 Grecia ►Talete di Mileto - Asia Minore, primi decenni del VI sec. a.C. inizio di una razionalizzazione del sapere dimostrazioni in forma embrionale ► Scuola Pitagorica - Crotone in Italia meridionale, VI-V sec. a.C. fondata da Pitagora di Samo (VI sec a.C.) esigenza dimostrativa, tutto è numero, aritmogeometria scoperta delle grandezze incommensurabili ► Zenone di Elea - V sec. a.C. entra l’infinito nella matematica greca con i famosi paradossi ► I tre problemi classici: quadratura del cerchio, duplicazione del cubo, trisezione dell’angolo - Atene, V-IV secolo a.C. La duplicazione del cubo Ippocrate di Chio riduce il problema della duplicazione del cubo al seguente: Dati due segmenti a, b, costruirne altri due x, y che con a e b , formino la proporzione: a : x = x : y = y : b, ma non lo risolve. a x y = = x y b x2 = ay ab da cui x3 = a 2b e se x = y b = 2a x3 = 2a 3 2 Menecmo (IV sec.) inventa le coniche: usa tre tipi di cono, rettangolo, acutangolo e ottusangolo e taglia ciascuno di essi con un piano perpendicolare a una generatrice parabola iperbole ellisse a3 2 a x y = = x y 2a Risolve il problema della duplicazione del cubo intersecando due parabole x2 = ay e y2 = 2ax o un’iperbole e una parabola ► Prima Scuola di Alessandria III sec. a.C. – 30 a.C. - Euclide (300 a.C.), Elementi La geometria come teoria ipoteticodeduttiva - Archimede (287-212 a. C.) La matematica non è concepita solo come analisi dei problemi astratti, lontani dalle applicazioni, ma anche come studio di problemi concreti con riferimento alle altre scienze (fisica, astronomia, …) Sulla sfera e il cilindro, Misura del cerchio, Sulle spirali, Sull’equilibrio dei piani, Quadratura della parabola, Sui galleggianti, Metodo dei teoremi Meccanici, … - Apollonio (262-190 a. C.), Coniche ► I commentatori e gli enciclopedisti Pappo (III-IV sec.), Collezione matematica Proclo (V sec.), Commentario al I libro degli Elementi di Euclide 3 Apollonio e l’uso delle coordinate Apollonio di Perga (circa 262-190 a. C.) La sua vita trascorse fra Alessandria, dove ricevette la sua educazione scientifica, e Pergamo dove c’erano importanti centri di studi superiori e ricche biblioteche. Le sue doti di matematico erano così notevoli che era chiamato “il grande geometra”. La sua opera più importante sono le Coniche in 8 libri di cui l’ottavo è andato perduto, dove vi è una teoria completa delle sezioni coniche. P. Ver Eecke, Les Coniques d’Apollonius de Perge, 1923 T. Heath, Apollonius of Perga. Treatise on Conic Sections, 1896 4 Diversamente da Menecmo che utilizzava tre diversi tipi di cono, Apollonio ottiene le coniche come sezione di un unico cono (considera le due falde) variando l’inclinazione del piano secante. A AO asse del cono β base del cono E C B O α L’intersezione del piano β con il triangolo assiale ABC è detta diametro della conica. D Libro I, def. 1 “Se una retta, prolungantesi all’infinito e passante sempre per un punto fisso, viene fatta ruotare lungo la circonferenza di un cerchio che non si trovi nello stesso piano del punto in modo che passi successivamente attraverso ogni punto di quella circonferenza, la retta che ruota traccerà la superficie di un cono doppio” (p. 3) β interseca α secondo DE. Se prendo BC (diametro del cerchio base) DE allora ABC è il triangolo assiale (contiene l’asse del cono) 5 Caratteri delle Coniche e strumenti usati ♦ Apollonio usa l’origine stereometrica delle coniche solo per ottenere la proprietà fondamentale di ogni conica (proprietà piana) ed è questa che costituisce poi la base dei successivi sviluppi della teoria ♦ Gli strumenti matematici utilizzati sono: - l’algebra geometrica (che serve per surrogare la mancanza dell’algebra) i cui ingredienti sono la teoria delle proporzioni (V libro, Elementi) che permette di eseguire operazioni di moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza, estrazione di radice; l’applicazione delle aree ( II libro, Elementi) che offre il mezzo di risolvere problemi che conducono a equazioni di 1° e 2° grado (Elementi, II.5, II.14) - l’uso delle coordinate, il modo di dare la relazione fondamentale delle coniche è stabilire un legame fra ascisse e ordinate di un sistema di riferimento: diametro della conica (asse x) e tangente alla conica in un estremo del diametro (asse y). Gli assi possono essere sia ortogonali che obliqui. Ordinata: tetagme/nwj kathgme/nh (tracciata ordinatamente) ♦ La lettura è difficile perché A. salta spesso i passaggi intermedi. Pappo e Eutocio nei loro commenti hanno integrato il testo con dei lemmi. Uso della teoria delle proporzioni per eseguire le operazioni di moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza, estrazione di radice d E a :b = c : d a⋅d = b⋅c a0 a1 a2 a = = = ... = n −1 a1 a2 a3 an an a1 = a0 a0 n C D A c a b B AB : BC = BD : BE a a1 =n n a0 a0 6 Uso dell’applicazione delle aree per “risolvere” un’equazione quadratica pura Trovare un quadrato la cui area sia uguale a quella di un dato rettangolo ABCD G x F A B E Infatti il triangolo AGE è rettangolo perché inscritto in un semicerchio e per il II teorema di Euclide si ha BG2 = AB⋅BE = AB⋅BC b a D Si prolunghi AB di un segmento BE = BC. Si prenda il punto medio F di AE, si tracci il cerchio di centro F e raggio FE. Sia G il punto di intersezione del prolungamento del lato BE del rettangolo dato con la circonferenza, allora BG è il segmento cercato. C x2 = a ⋅ b A β α E Coniche I, 11 PM//AC BC DE QV//DE Se PL ∈ β e PL PM e tale che PL : PA = BC2 : AB·AC TH) PL : lato retto QV2=PL ·PV o}rqi/a Costruisco HK//BC HQK ∈ alla sezione (cerchio) con piano // α, dunque QV2 = HV ·VK Considero i triangoli simili PHV~AKH ~ABC HV : PV = BC : AC Da PM // AC e dalla similitudine di AHK e ABC VK : PA = BC : AB HV · VK : PV · PA = BC2 : AC · AB QV2 PL : PA QV2 : PV · PA = PL : PA QV2=PL ·PV 7 Apollonio utilizza l’origine stereometrica delle coniche come sezioni del cono solo per ottenere la proprietà fondamentale (piana) delle sezioni coniche ed è a partire da questa che ricava i successivi sviluppi della teoria. p QV2=PL ·PV Parabola, Coniche I.11 y 2 = px Quadrato(QV) è equivalente al Rettangolo (PV·PL) Ellisse, Coniche, I.13 QV2=PV ·VR p y 2 = x ⋅ VR d d−x = p VR y 2 = px − VR = p − p x d p 2 x d Quadrato(QV) è equivalente al Rettangolo(PV·VR) 8 Iperbole, Coniche, I.12 y 2 = x ⋅ VQ' d+x d p = VQ' = p + x VQ' p d p y 2 = px + x 2 d QV2=PV ·VQ’ p Quadrato(QV) è equivalente al Rettangolo(PV·VQ’) La tangente alla parabola Q’ K Q T P V V’ Prop. I. 33 “Si prenda un punto T sul diametro di una parabola fuori della curva e tale che TP = PV, dove V è il piede dell’ordinata da Q al diametro PV. La retta TQ sarà tangente alla parabola” A. dimostra che TQ è tale che ogni suo punto diverso da Q giace fuori dalla parabola. Ragiona per assurdo: suppone che K sia un punto di TQ o del suo prolungamento, che cada all’interno della parabola e mostra che si arriva ad un assurdo Quello che A. usa non è un metodo generale che si possa applicare ad ogni curva (come saranno i metodi infinitesimali), ma è un teorema relativo alla parabola. 9 Schema riassuntivo delle Coniche LIBRO I (60 prop.) definizioni e proprietà fondamentali delle sezioni coniche. Nelle Prop. 11, 12, 13 Apollonio trova le proprietà caratteristiche della parabola dell’iperbole e dell’ellisse. Alcune proprietà sulle tangenti (la tangente a una curva C in un punto P è una retta t tale che fra C e t non può essere tracciata nessuna altra retta passante per P, tale cioè che ogni suo punto diverso da P giace fuori della curva); per es. Prop. 33: Se si prende un punto T sul diametro PM di una parabola QPQ’ fuori della curva e tale che TP=PV, dove V è il piede dell’ordinata da Q al diametro PM, la retta TQ sarà tangente alla parabola. LIBRO II (53 prop.) Proprietà degli asintoti (nella Prop.14 dimostra che la distanza fra una curva e il suo asintoto, se prolungati all’infinito, diventa minore di una qualsiasi lunghezza data), delle tangenti e dei diametri coniugati (Def. I, 4: Si dice diametro di una curva piana la retta che taglia in due parti uguali tutte le corde della curva parallele ad una retta qualunque. Def. II, 6: Chiamo diametri coniugati di una curva le rette tali che ciascuna è un diametro che taglia in due parti uguali le rette parallele all’altra). LIBRO III (56 prop.) Proprietà armoniche di polo e polare (vedi per es. Prop. 37) Proprietà dei fuochi (furono chiamati così solo nel Rinascimento a causa delle loro proprietà ottiche). Apollonio usa la perifrasi «punti che nascono dall’applicazione» e li definisce solo per l’ellisse e per l’iperbole: Detto AA’ il diametro della conica e F e F’ i fuochi questi sono definiti come punti tali che AF.FA’=AF’.F’A’= p AA’/4, dove p è il parametro della conica. Apollonio dimostra che in un’ellisse la somma (Prop. 52), in un’iperbole la differenza (Prop. 51) delle distanze di un punto dai fuochi è uguale all’asse AA’. «Il libro terzo contiene molti teoremi notevoli utili per la costruzione dei luoghi solidi. La maggior parte di essi e più belli sono nuovi. Fra l’altro, fu dimostrando questi teoremi che mi resi conto che Euclide non aveva costruito il luogo geometrico rispetto a tre o quattro linee …, non era infatti possibile farlo senza queste mie scoperte» (Prefazione al Libro I). Il problema è il seguente: Date 3 (4) rette giacenti in un piano, trovare il luogo geometrico dei punti P tali che il quadrato della distanza di P da una di queste rette sia proporzionale al prodotto delle distanze dalle altre rette (nel caso di 4 rette, il prodotto delle distanze da due di esse sia proporzionale al prodotto delle distanze dalle altre due), le distanze essendo misurate secondo angoli dati rispetto alle rette. Tale luogo è una sezione conica. (Cfr. Heath 1896, cap. V). Pappo lo generalizzò a n>4. Affrontando questo problema Descartes nel 1637 mostrò la potenza della sua ‘geometria analitica’. 10 LIBRO IV (57 prop.) Apollonio trova «In quanti modi le sezioni coniche possono incontrarsi l’una con l’altra», in particolare ottiene dei teoremi nuovi relativi al numero di punti in cui una sezione conica incontra i due rami di un’iperbole (fu Apollonio a considerare i due rami come un’unica curva) e ne è fiero infatti scrive che sono «degni di essere accettati per amore delle dimostrazioni stesse, allo stesso modo che accettiamo molte altre cose nella matematica per questa e nessuna altra ragione». LIBRO V (77 prop.) È dedicato ai segmenti massimi e minimi che si possono condurre da un punto ad una conica, «argomento degno di essere studiato per se stesso». Si tratta di teoremi sulle tangenti, normali e subnormali (per es. Prop. 8); ci sono proposizioni (Prop. 51 e 52) che conducono alla determinazione dell’evoluta. LIBRO VI (33 prop.) Tratta l’uguaglianza e la similitudine di coniche «Due coniche si dicono simili se, tracciando in esse, delle ordinate in egual numero a distanze proporzionali dal vertice, queste ordinate sono rispettivamente proporzionali alle ascisse corrispondenti» (Def. 2). Per es. dimostra che tutte le parabole sono simili (Prop.11). LIBRO VII Teoria dei diametri coniugati. (51 prop.) Medioevo (476, caduta di Roma, 1453 caduta di Costantinopoli) ► Grande fioritura della cultura islamica 750 - 1400. traduzioni e commenti dei classici ► Omar Al Khayyam (XI-XII sec.) soluzione geometrica delle equazioni di terzo grado critica alla teoria euclidea delle parallele ► In Occidente: geometria pratica ► Nicole Oresme - Parigi XIV sec. introduce i diagrammi: 11 Omar al-Khayyam (1048 - 1123) Astronomo, matematico e poeta persiano, celebre per le sue Quartine (Rubáiyát) Il tuo oggi non ha potere sul domani, e il pensiero del domani non ti frutta che malinconia. Non buttar via questo istante, se il tuo cuore non è pazzo, ché questo resto di vita non si sa quanto possa valere “Sulle dimostrazioni dei problemi di al-jabr e al-muqabala”. Con al-Khayyam l'algebra diventa la teoria generale delle equazioni algebriche di grado minore o uguale a tre e con coefficienti interi positivi I caratteri salienti dell’opera di al-Khayyam si possono così riassumere 9 Osserva il principio di omogeneità dimensionale tra le grandezze 9 Per le equazioni di terzo grado non riconducibili ad equazioni di secondo, riconoscendo il suo fallimento nella ricerca delle radici per via algebrica, ricava le soluzioni per via geometrica mediante intersezione di coniche 9 Considera solo le soluzioni positive (non le radici negative) delle quali discute le condizioni di esistenza 9 Nonostante l’analisi sia profonda e dettagliata gli sfugge il caso della terza soluzione positiva dell’equazione x3+ bx = ax2+ c 12 Classifica le equazioni secondo il loro grado e il numero di monomi che le compongono, in particolare suddivide le equazioni di terzo grado in binomie, trinomie e quadrinomie, come segue (a, b, c costanti e positive): - equazione binomia x3 = c x3 + bx = c - equazioni trinomie senza termine di secondo grado I. x3 + c = bx bx + c = x3 - trinomie senza termine di primo grado x3 + ax 2 = c II. x3 + c = ax 2 ax 2 + c = x3 - quadrinomie in cui tre termini positivi sono uguali ad un termine positivo x3 + ax 2 + bx = c x3 + ax 2 + c = bx I. 3 x + bx + c = ax 2 ax 2 + bx + c = x3 - quadrinomie in cui due termini positivi sono uguali a due termini positivi x3 + ax 2 = bx + c II. x3 + bx = ax 2 + c x3 + c = ax 2 + bx L’equazione trinomia del I tipo x3 + bx = c , (“un cubo più lati sono uguali a un numero”) viene scritta come 2 2 x3 + p 2 x = p 2q con b = p e c = p q per il principio di omogeneità dimensionale. La risoluzione si ottiene per intersezione della circonferenza x2 + y2 = q x e della parabola y = x2 /p. L’ascissa QS del punto P di intersezione delle curve rappresentate in figura è la radice cercata. Al-Khayyam non scrive equazioni, ma usa le proporzioni C(0, q/2) 13 Al-Khayyam dà una dimostrazione di tipo sintetico utilizzando la teoria delle proporzioni. Applica la proprietà della parabola data da Apollonio: x p = PS x (1) Considera ora il triangolo rettangolo QPR, la sua altezza PS è media proporzionale fra QS e RS: x PS = PS q − x Uguagliando le espressioni precedenti ricava: p PS = x q−x (2) D’altra parte dalla (1) PS = x2/p che sostituito nella (2) fornisce l’equazione x3 + p 2 x = p 2q Grafico della funzione y = x3 +3x -10 eseguito con Maple 14 Visualizzazione con Cabri Equazioni trinomie senza termine di secondo grado x3 + bx = c Equazioni trinomie senza termine di primo grado x3 + ax2 = c Equazioni quadrinomie in cui tre termini positivi sono uguali ad un termine positivo x3 + ax2 + bx = c Equazioni quadrinomie in cui due termini positivi sono uguali a due termini positivi x3 + bx = ax2 + c Esercizio Mostrare con l’algebra che si può risolvere l’equazione cubica x3 + d = cx intersecando l’iperbole y2 = x2 - (d/c)x e la parabola x 2 = c y . Trovare al variare di c e d come variano le intersezioni delle due coniche. In ciascun caso tracciare il grafico della curva y = x3 – cx + d e mostrare che il numero di intersezioni di questa curva con il semiasse positivo delle x è in accordo con il numero di intersezioni delle coniche. Visualizzare con Cabri. Katz V. (ed.), Historical Modules for the Teaching and Learning Mathematics, The Mathematical Association of America, 2005 15 Lo studio della variabilità e del moto [ sec XIV] Fu uno dei temi preferiti nelle università, in particolare a Oxford e a Parigi. I filosofi scolastici del Merton College di Oxford formularono la cosiddetta regola mertoniana: se un corpo si muove di moto uniformemente accelerato, la distanza percorsa è uguale a quella che percorrerebbe nello stesso intervallo di tempo un altro corpo con moto uniforme e velocità pari a quella raggiunta dal primo corpo nell’istante di mezzo dell’intervallo temporale. La velocità non era definita in modo rigoroso, ma era intesa come una “qualità del moto” Nicole Oresme (1323?-1382), professore a Parigi e vescovo di Lisieux, ebbe l’idea di rappresentare geometricamente i vari moti: lungo una linea orizzontale segna dei punti che rappresentano gli istanti di tempo (longitudini) e da ogni punto innalza un segmento perpendicolare la cui lunghezza rappresenta la velocità in quell’istante (latitudini) Moto uniforme v = costante Moto uniformemente accelerato [uniformemente difforme] v0=0 v0>0 Moto vario [difformemente difforme] Con i suoi diagrammi Oresme poteva “dimostrare” la regola mertoniana v1 + v2 2 v1 t1 Tractatus de latitudinibus formarum v2 t2 L’area del trapezio rettangolo, che rappresenta lo spazio percorso con moto uniformemente accelerato, è uguale all’area del rettangolo che rappresenta lo spazio percorso con velocità costante pari a v1 + v2 2 16 Rinascimento (secoli XV e XVI) ► 1447 primo libro a stampa Nascita della prospettiva - Leon Battista Alberti (1404-1472) - Piero della Francesca (1410?-1492) - Albrecht Dürer (1471-1528) ► Nel Cinquecento si assiste a: - un formidabile sviluppo dell’algebra ad opera degli algebristi italiani (S. Dal Ferro, N. Tartaglia, G. Cardano, L. Ferrari, R. Bombelli, risoluzione delle equazioni di terzo e quarto grado) - la riscoperta dei classici greci (commenti e traduzioni di Euclide, Archimede e Apollonio ) ► François Viète (1540-1603) getta un ponte fra algebra e geometria classica ► Johann Kepler (1571-1630) le coniche, calcolo di volumi con tecniche infinitesimali Il Seicento ► Nascita della geometria Analitica - René Descartes (1596-1650) Géométrie (1637) - Pierre de Fermat (1601-1665) Ad loco planos et solidos isagoge (∼1629) ► Nascita della geometria proiettiva sostituire lo studio separato di ciascuna conica con una teoria generale valida per tutte - Girard Desargues (1591-1661), Brouillon projet d’une atteinte aux événemens des rencontres du cône avec un plan (1639) - Blaise Pascal (1623-1662) Essai sur les Coniques (1640) 17 La creazione della geometria analitica Durante tutto il ‘500 i matematici si erano preoccupati di giustificare il ragionamento algebrico con dimostrazioni geometriche. François Viète (1540-1603) Isagoge in artem analyticem (1591) l’interazione fra algebra e geometria cambia: l’algebra è usata per risolvere problemi geometrici. L’algebra è vista come uno speciale procedimento di scoperta: si parte dall’assunzione di ciò che si cerca e mediante la deduzione si arriva ad una verità nota (ars analytica) 18 Con Viète l’algebra diventa la scienza del calcolo letterale “speciosa”: “La logistica numerosa è quella che viene trattata mediante i numeri. La logistica speciosa è quella che viene trattata mediante segni o figure, per esempio mediante lettere dell’alfabeto” ♦ egli distingue le quantità incognite dalle note indicando le prime con una vocale e le seconde con una consonante ♦ usa i simboli + e -, ma “in” per la moltiplicazione e “aequ”per l’uguale, Aq (A quadratus) e Ac (A cubus) per A2 e A3 Fra i risultati di Viète: - riuscì a risolvere il caso irriducibile delle equazioni di terzo grado usando un’identità trigonometrica, - individuò alcune delle relazioni fra le radici e i coefficienti dell’equazione oggi note come formule di Viète -Girard. René Descartes (1596-1650) Padre della filosofia moderna. Dallo studio del metodo matematico elaborò un metodo per giungere alla conoscenza basato sui seguenti principi: Opere scientifiche di Réné - “non accettare mai per vera nessuna cosa che non conoscessi con Descartes, evidenza essere tale” Utet, 1983 - “dividere ciascuna difficoltà che stessi esaminando in tante piccole parti quante fosse possibile e necessario per giungere alla miglior soluzione di essa” - “condurre con ordine i miei pensieri cominciando dagli oggetti più semplici e più facili … per salire a poco a poco, come per gradi alla conoscenza dei più complessi” - “procedere in ogni caso ad enumerazioni così complete … da essere certo di non aver omesso assolutamente nulla” (p. 134-135) 19 La Géométrie (1637) Lo scopo dell’opera è enunciato fin dall’esordio: “Tutti i Problemi di Geometria possono facilmente essere riportati a termini tali che poi per costruirli, non c’è da conoscere che la lunghezza di alcune linee rette” (p. 528) Il programma di Descartes è dunque quello di utilizzare l’algebra nell’analizzare i problemi geometrici. Egli crea la geometria analitica. “ Volendo risolvere qualche problema, si deve fin dal principio considerarlo come già risolto, e assegnare una lettera ad ogni linea che si ritiene necessaria per costruirlo, sia a quelle che non sono note, che alle altre. Poi, senza far nessuna differenza tra quelle note e le incognite, bisogna svolgere il problema seguendo quell’ordine che più naturalmente di ogni altro mostra in qual modo le rette dipendano mutuamente le une dalle altre, fino a che non si sia riusciti a trovare il procedimento per esprimere una stessa quantità in due modi, cioè non si sia pervenuti a ciò che si chiama equazione” (pp. 535-536) Il simbolismo algebrico nella Géométrie raggiunge il suo massimo sviluppo ed è sostanzialmente quello attuale, con l’unica differenza per il segno di uguale : Descartes utilizza come noi le prime lettere dell’alfabeto per indicare i parametri e le ultime per le incognite, però mentre noi concepiamo parametri e incognite come numeri , D. le interpreta come segmenti. C’è una rottura rispetto alla tradizione classica, infatti interpreta come segmenti anche x2, x3, e non più come aree e volumi. 20 Il I libro della Géométrie si apre mostrando come interpretare geometricamente la moltiplicazione, la divisione e l’estrazione della radice quadrata ed anche la soluzione delle equazioni di secondo grado. E AB = 1 AB:BC = BD:BE C La moltiplicazione e la divisione BD·BC = BE D A 1 B BE:BD = BC L’estrazione della radice quadrata 1 FG = 1 FG:IG = IG:GH IG2 = FG·GH O La risoluzione delle equazioni di 2° grado N 1 a 2 P L 1 a2 OM = ON + MN = a + + b2 2 4 M b Per risolvere l' equazione x 2 = ax + b 2 1 D. traccia un segmento LM = b e da L innalza un segmento NL = a 2 1 a. 2 Traccia la retta passante per M e N che interseca il cerchio nei punti O e P. x = OM è il segmento cercato. e perpendicolare a LM . Con centro in N costruisce un cerchio di raggio D. trascura la seconda radice perché " falsa", cioè negativa. 21 Scopo della Géométrie Gli scopi della Géométrie coinvolgono due livelli di problemi: uno tecnico e uno metodologico tecnico: il programma di Descartes è quello di usare l’algebra nello studiare i problemi geometrici (banco di prova è il problema di Pappo) metodologico: come trovare la costruzione geometrica del problema quando la riga e il compasso sono insufficienti e quali curve accettare nella costruzione Caratteri della Géométrie abolizione del requisito di omogeneità nelle formule algebriche (artificio: introduce un segmento unitario) Salto qualitativo considera problemi indeterminati. Le due coordinate x e y sono legate da una sola equazione. I punti che risolvono il problema sono infiniti e descrivono una curva La Géométrie è una geometria di curve non di teoremi curve Geometriche, che si possono esprimere con un'equazione algebrica. Sono le sole che D. considera accettabili in geometria Meccaniche (quadratrice, spirale, logaritmica, cicloide,...) Non è un’esposizione didattica 22 Il problema di Pappo banco di prova per il nuovo metodo Il problema di Pappo, enunciato nella sua forma più semplice, si presenta così: Date 2n rette, trovare il luogo dei punti tali che il prodotto delle distanze dalle prime n rette sia uguale al prodotto delle distanze dalle rimanenti. Pappo lo aveva risolto in casi particolari. Ora D. può dare la soluzione generale: identificando la curva con la sua equazione. Siano (x,y) le coordinate di un punto generico C e sia d(C, ri ) = | ai x + bi y + ci | la distanza di C dalla retta i-esima, dove ai , bi , ci sono i parametri della retta ri normalizzati in modo che ai2 + bi2 = 1. Il luogo cercato ha equazione n ∏ ( aix + biy + ci ) = i =1 2n ∏ ( aix + biy + ci) i = n +1 Descartes è quindi consapevole che una soluzione generale è possibile solo usando il formalismo dell’algebra: “ Mi pare di aver così interamente soddisfatto alle ricerche che, secondo Pappo, gli antichi avevano impostato in questo campo e proverò a darne la dimostrazione in pochi tratti, giacché sono già annoiato di averne scritto tanto” “Siano AB, AD, EF, GH, ecc. parecchie linee date per posizione, e occorra trovare un punto, come C, dal quale, condotte su quelle date altre linee rette, come CB, CD, CF, CH, in modo che gli angoli CBA, CDA, CFE, CHG siano dati e tali che il prodotto di una parte di queste linee sia uguale al prodotto delle rimanenti o che l’uno stia all’altro in un rapporto dato: ciò infatti non rende il problema per nulla più difficile. Innanzitutto suppongo il problema come già risolto, e per liberarmi dalla confusione di tutte queste linee, considero una delle rette date e una di quelle che bisogna trovare, per esempio AB e CB come le principali, e a queste cerco così di riferire le altre.” (p. 553). T S E A R G B H F D C 23 Metodo per la ricerca della normale Géométrie, libro II, pp. 600 segg. C(y0, x0) x0 D. suppone il problema risolto. Sia CP la normale alla curva P(x,y)=0 in C BM = v-y0 Considera il cerchio di centro B(v,0) e raggio s: x 2 + (v − y )2 = s 2 s y0 A M B(v,0) Se CP è normale alla curva in C il cerchio di centro B e raggio CB “tocca la curva in C senza intersecarla” P ( x, y ) = 0 ⇒ R( x) = 0 oppure R( y ) = 0 2 2 2 x + (v − y ) = s R(y) = 0 dovrà avere una radice doppia in y0, cioè dovrà essere della forma R( y ) = ( y − y0 ) 2 Q( y ) Dove se P(x,y)=0 ha grado m, R(y)=0 ha grado 2m e Q(y) è un polinomio di grado 2m-2 Uguagliando uno a uno i coefficienti delle potenze omologhe si otterranno 2m+1 equazioni da cui si possono ricavare i coefficienti di Q(y), nonché i due parametri v e s. Caratteri e limiti del metodo ♦ è un metodo algebrico ♦ l’uso della circonferenza raddoppia il grado di P(x,y)=0 ♦ va bene solo per i polinomi e, anche nei casi più semplici dà luogo a calcoli lunghi e complessi Descartes scrive: “Oso anzi dire che questo è il problema più utile e generale non solo tra tutti quelli che conosco, ma anche tra tutti quelli che in Geometria ho sempre desiderato conoscere” (p. 600) In effetti, mentre nella geometria greca e in quella anteriore a D. il problema della ricerca della retta tangente doveva essere affrontato caso per caso, ora definendo la curva mediante la sua equazione si può trovare un metodo generale. 24 Esercizi 1. Trovare la normale alla curva y = x3 in P(1,1) con il metodo di Descartes e con il nostro 3 y = x 2 2 2 ( x − v) + y = s x 2 − 2 xv + v 2 + y 2 = s 2 R ( x) = x 6 + x 2 − 2 xv + v 2 − s 2 = 0 ( x − 1)2 ( x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d ) = ( x − 2 x + 1)( x 4 + ax3 + bx 2 + cx + d ) = = x 6 + (a − 2) x5 + ... ≡ x 6 + x 2 − 2 xv + v 2 − s 2 eguaglio i coefficienti delle potenze omologhe ottengo 6 equazioni da cui ricavo v=4 2. Trovare la normale alla curva y = 1/x in P(2,1/2) con il metodo metodo di Descartes e con il nostro 1 y = x ( x − c) 2 + 1 = s 2 x2 15 c= ... 8 “E spero che i posteri mi saranno grati, non solo per quello che ho qui spiegato, ma anche per tutto ciò che ho omesso intenzionalmente al fine di lasciar loro il piacere della scoperta” (p. 685) In effetti la Géométrie presentava delle oscurità, per cui ne uscirono varie edizioni successive con commenti e Hudde integrazioni. Particolarmente importante è la traduzione latina con commenti di Frans van Schooten Geometria a Renato De Cartes, Leida 1649 che ebbe nel secolo XVII un’altra edizione con aggiunte e commenti di Jan de Witt e Jan Hudde (1659-1661, rist. 1683,1695) Queste edizioni ne favorirono la rapida diffusione. Ch. Adam, P. Tannery, Oeuvres de Descartes, 12 voll, Paris 1897-1913 De Witt 25 Pierre de Fermat (1601-1665) Figlio di un mercante, compì studi giuridici a Tolosa, dove esercitò la professione di magistrato fino al 1648 quando divenne consigliere del re. Non fu quindi un matematico di professione, ma diede contributi rilevanti alla nascita dell’analisi infinitesimale e della geometria analitica. Fu l’iniziatore del calcolo delle probabilità e della teoria dei numeri vera e propria. La maggior parte dei suoi risultati hanno il carattere di brevi saggi o compaiono nelle lettere che scriveva agli amici. Pubblicò poco e molti dei suoi lavori apparvero solo dopo la sua morte. Sarà il maggiore dei suoi figli Samuel a divulgare le sue ricerche in teoria dei numeri sulla base delle annotazioni a margine della Arithmetica di Diofanto edita da C. G. Bachet de Méziriac. Ad loco planos et solidos isagoge [Introduzione ai luoghi geometrici rappresentati da rette e curve di secondo grado] grado] (∼1629, p. 1779) È probabile che F. sia giunto alla geometria delle coordinate dallo studio dell’opera di Apollonio e dalla traduzione dei risultati in forma algebrica. La sua presentazione è più didattica rispetto a quella di Descartes. “Gli antichi hanno trattato i luoghi, ma non erano in grado di trattarli in modo generale” “Ogni volta che in un’equazione finale si trovano due quantità incognite abbiamo un luogo, in quanto l’estremità di una di esse descrive una linea retta o curva” (OF, I, p. 91) P. Tannery, Ch. Henry, Oeuvres de Fermat, 4 voll. Paris, 1891-1912 26 Fermat parte dall’equazione della retta e via via considera equazioni di grado superiore (circonferenza, coniche) I(x,y) Ey N A x Z M Sia NMZ una retta data in posizione, si fissi N, si ponga NZ = A (x, quantità incognita) e ZI (sotto l’angolo dato NZI, non necessariamente retto) = E (y, altra incognita) Sia D·A = B · E, allora I starà su una retta data in posizione. Infatti sarà B/D=A/E, dunque è dato il rapporto A/E, e, essendo dato l’angolo Z, il triangolo INZ è dato, dunque I sarà su una retta data in posizione. D in A aequetur B in E → Dx = By (semiretta con estremo nell’origine, Fermat non usa ascisse negative) Considera poi l’equazione lineare più generale: Zpl – D in A aequetur B in E C2 - Dx = By Si ponga D · R = C2 B/D = (R-x) /y Sia MN=R, sarà allora dato M e MZ = R-x MZ/ZI è dato come è dato l’angolo in Z, dunque è dato anche il triangolo IZM, allora I starà su una retta data in posizione. x I y N R-x Z M Aq aequatur D in E parabola x2 = Dy A in E aequatur Zpl iperbole xy= C2 Bq –Aq aequatur Eq cerchio B2 – x2 = y2 27 La nascita dell’analisi infinitesimale Isaac Newton (1642-1727) Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) 1665-66 biennium mirabilissimum 1684 Nova methodus Nel secolo successivo le interazioni fra la geometria analitica e i metodi infinitesimali sono all’origine della Geometria differenziale Sviluppi della geometria analitica Nella seconda metà del ‘700 si assiste a un grande sviluppo della geometria analitica, che assume la forma moderna. 1748 L. Euler, Introductio in Analysin infinitorum Il volume II è il primo trattato in stile “moderno” di geometria analitica: vi è lo studio sistematico delle coniche e delle cubiche, …, cenni alla geometria in tre dimensioni. 1750 G. Cramer, Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques A.-C Clairaut, J.-L- Lagrange, G. Monge, … 1797, 1802 compare il termine géométrie analytique (S.-F. Lacroix, J.-B. Biot) 1804-1816 Si pubblica la rivista Correspondance sur l’École Polytechnique di J.-N. Hachette, dedicata quasi completamente alla geometria analitica 28 Laboratorio ¾Prop. I, 11 delle Coniche di Apollonio (III sec. a.C.), dove si ricava la proprietà fondamentale (equazione) della parabola ¾ Prop. I, 33 delle Coniche di Apollonio (III sec. a.C.), dove si trova la tangente alla parabola ¾ Problema “un cubo più lati è uguale a un numero” (x3 + bx = c) risolto da O. Al Khayyam mediante l’intersezione di coniche ¾ La ricerca della normale ad una curva ed altri passi della Géométrie di R. Descartes (1637) http://web.math.unifi.it/archimede/archimede/mostra_calcolo/guida/node7.html ¾ Passi da Ad locos plano set solidos isagoge (ca.1629) di P. Fermat. ¾ Passi dalla II parte dell’ Introductio in Analysin Infinitorum (1748) di L. Euler e da S. F. Lacroix, Trattato elementare di applicazione dell’algebra alla geometria (1834). Bibliografia essenziale Boyer C., History of analytic geometry, The Scripta Mathematica Studies, New York, 1956 Freguglia P., La geometria tra tradizione e innovazione 1550-1650, Bollati Boringhieri, Torino, 1999, Cap. 4 Kline M., Storia del pensiero matematico, (1972), Torino, Einaudi, I vol., 1991, pp. 106-118, 227-228, 246-248, 353-354, 359-369, 636-647 Lojacono E., Cartesio, I Grandi della Scienza, Le Scienze, 2000 Katz V. (ed.), Historical Modules for the Teaching and Learning Mathematics, The Mathematical Association of America, 2005 I testi Heath T., Apollonius of Perga. Treatise on Conic Sections, Cambridge University Press, 1896. Ver Eecke P., Les Coniques d’Apollonius de Perge, De Brouwer, Bruges, 1923 Al Khayyam O., L’oeuvre algébrique, etablie, traduite et analysée par R. Rashed et A. Djebbar, Paris 1979 Adam CH., Tannery P., Oeuvres de Descartes, 12 voll., Paris, 1897-1913 Descartes R., Opere scientifiche, Classici della scienza, Utet, Torino, 1983 Tannery P., Henry Ch., Oeuvres de Fermat, 4 voll, Paris, 1891-1912 Euler L., Introductio in analysin infinitorum , II vol. Lausannae, 1748 29