ESAME DI GEOMETRIA 2. 1-07-2013, SOLUZIONI: ESERCIZIO 1

ESAME DI GEOMETRIA 2. 1-07-2013, SOLUZIONI:
ESERCIZIO 1 Sia X il sottoinsieme di R3 definito da
X=
[
{(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 1/n2 },
06=n∈N
dotato della topologia indotta.
1. Determinare la parte interna di X.
2. Determinare la chiusura X̄ di X in R3 .
3. Si dica se X è connesso.
4. Si dica se X̄ è localmente connesso.
5. Si dica se X̄ è compatto
6. Si dica se X̄ è omeomorfo alla compattificazione di Alexandrov di X.
7. Sia Y = X ∩ {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 < 1/2}. Si dica se Y è omeomorfo a X.
SOLUZIONE
1. X è l’unione delle sfere di raggio 1/n. Preso un punto che dista dall’origine 1/n
per un intero n, un suo intorno, esempio di raggio , contiene punti che distano
dall’origine (1/n − , 1/n + ) quindi, per opportuno, che non appartengono a X.
Quindi int(X) = ∅.
2. X ∪ {(0, 0, 0)} è contenuto in X̄ in quanto la successione (1/n, 0, 0) di punti di X
ha l’origine come punto limite. D’altra parte il complementare di X ∪ {(0, 0, 0)} è
l’insieme dei punti la cui distanza dall’origine è 6= 0, 6= 1/n. La funzione R3 → R
data da (x, y, z) → x2 + y 2 + z 2 è continua e il complementare di X ∪ {(0, 0, 0)} è la
retroimmagine di R \ {0} ∪ {1/n} che e’ un aperto. Quindi X̂ = X ∪ {(0, 0, 0)}.
3. Ogni sfera Sn := {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 1/n2 } è, nella topologia indotta,
aperta e chiusa in X. Quindi non è connesso.
4. Ogni intorno dell’origine contiene una palla, quindi interseca infinite sfere Sn . In
particolare X̄ non è localmente connesso.
5. Essendo chiuso e limitato in R3 si ha che X̄ è compatto.
6. Sia X̂ la compattificazione di Alexandrov di X. Definiamo F : X̂ → X̄ estende
l’identità su X mandando ”∞” in (0, 0, 0). E’ chiaramante biiettiva. Per il ”compact Hausdorff theorem” basta mostrare che è continua. L’unico punto che si deve
controllare è ∞. Un intorno aperto di (0, 0, 0) ha come complementare un numero
finito di sfere Sn , che è compatto quindi, letto in X̂ è, per la definizione della
topologia sulla compattificazione, un intorno aperto di ∞. L’applicazione dunque è
continua ed è un omoemorfismo.
1
7. Sono omeomorfi: Y = X \ S1 . basta definire omeomorfismi Sn → Sn+1 e metterli
insieme.
ESERCIZIO 2 (punti 2+2+2+4+4+4) Sia τ la topologia di R2 generata dai semipiani
affini aperti. In altre parole la piú piccola (in altre parole la meno fine) topologia contenente
gli insiemi del tipo
Aabc = {ax + by + c > 0}, con a, b, c ∈ R.
1. (R2 , τ ) è connesso?
2. (R2 , τ ) è compatto?
3. (R2 , τ ) è Hausdorff?
Sia ora σ la topologia di R2 generata dai semipiani aperti. In altre parole la piú piccola
topologia contenente gli insiemi del tipo Aab = {ax + by > 0} con a, b ∈ R.
1. (R2 , σ) è connesso?
2. (R2 , σ) è compatto?
3. (R2 , σ) è Hausdorff?
SOLUZIONE
1. Poiché i semipiani affini sono aperti nella topologia euclidea, τ non sar à pi ù fine
di questa. La topologia meno fine che contiene i semipiani affini dovrà contenere
anche le loro intersezioni, quindi conterrà ad esempio i rettangoli. Questi sono una
base per la topologia euclidea. Quindi τ è la topologia euclidea su R2 . In particolare
(R2 , τ ) è connesso, Hausdorff, non compatto.
2. Poiché i semipiani affini sono aperti nella topologia euclidea, σ non sarà pi ù fine di
questa. Quindi (R2 , σ) è ancora connesso. Osserviamo che l’unico aperto di σ contenente l’origine è tutto R2 . Quindi ogni ricoprimento aperto, dovendo contenere un
qualche aperto he contiene l’origine, avrà R2 tra i suoi aperti. In particolare (R2 , σ)
è compatto. Poiché l’unico aperto contenente l’origine è tutto R2 si ha ovviamente
che (R2 , σ) non è Hausdorff.
ESERCIZIO 3 (punti 2+2+2+2) Dimostrare o trovare un controesempio per ciascuna
delle seguenti affermazioni.
1. Sia X un’insieme tale che per ogni topologia τ su X, (X, τ ) sia compatto. Allora X
è un insieme di cardinalità finita.
2. Sia X un’insieme tale che per ogni topologia τ su X, (X, τ ) sia connesso. Allora X
è un insieme di cardinalità zero o uno.
3. Per ogni insieme X esiste una topologia su X che lo rende compatto.
2
4. Uno spazio topologico X dotato della topologia discreta è compatto se e solo se X
è finito.
SOLUZIONE: Intanto osserviamo che se uno spazio ha topologia discreta è connesso
se e solo se è vuoto oppure ha un solo elemento. (altrimenti esiste u sottoinsieme proprio
che sarà aperto e chiuso), ed è compatto se e solo se è finito (altrimenti si prende il
ricoprimento costituito dai suoi punti, che sono aperti. Chiaramente non si può togliere
alcun aperto da questo ricoprimento quindi se lo spazio è compatto questo ricprimento,
che ha cardinalità uguale alo spazio è finito).
1. Prendendo τ = la topologia discreta si vede che è vero.
2. Prendendo τ = la topologia discreta si vede che è vero.
3. Vero, ogni spazio è compatto per la topologia grossolana.
4. Vedi premessa
3