Testo e soluzioni della prova di esonero del 12 novembre 2012

Quesiti di esonero dalla prova scritta finale di Fisica 2
Prof. R. Santonico – 12 novembre 2012
Quesito 1
Un condensatore piano di superficie S è isolato e carico con carica Q. Al suo interno si trova un dipolo
elettrico p (carica q), fermo e di momento d’inerzia I=mp2/2q2.
1. Determinare le posizioni (orientazioni) di equilibrio del dipolo, specificando di volta in volte se si
tratti di equilibrio stabile o instabile.
2. Determinare il periodo delle piccole oscillazioni del dipolo attorno alla posizione di equilibrio
stabile.
Quesito 2
Due lastre metalliche piane di superficie pari a  = 0.8 m2 sono affacciate alla distanza h = 4 mm e formano
quindi un condensatore piano. Le due armature sono connesse ad un generatore di tensione con differenza
di potenziale V. L’armatura inferiore è fissa, quella superiore è mantenuta in equilibrio meccanico dalla
massa M = 0.8 Kg come in figura.
1. Calcolare, trascurando gli effetti
di bordo, la capacità del
condensatore.
2. Considerando trascurabili le
masse delle lastre, della fune e
della carrucola calcolare la
tensione V alla quale il sistema è
in equilibrio.
Successivamente (tenendo connesso il generatore) viene bloccata la carrucola e si inserisce parallelamente
alle armature una lastra conduttrice a facce piane e parallele ciascuna di area  e di spessore d = 2 mm.
3. Calcolare la nuova capacità, la variazione di energia elettrostatica del sistema e il lavoro compiuto
dal generatore per compiere questo processo.
Si ricorda che  0  8.8542 1012
C2
.
Nm2
Quesito 3
Si considerino due superfici conduttrici cilindriche, coassiali, di raggi r ed R (r<R), lunghe L (L>>R), sulle quali
siano distribuite rispettivamente le cariche +q e –q. Il volume compreso tra le due sia riempito di un
materiale dielettrico omogeneo, isotropo e lineare, di costante dielettrica relativa . Si determinino:
1.
2.
3.
4.
Il vettore di induzione elettrica in funzione della distanza dall’asse geometrico del sistema.
Il potenziale elettrico in funzione della distanza dall’asse geometrico del sistema.
La densità superficiale di carica di polarizzazione sulle pareti del dielettrico.
La densità di carica all’interno del dielettrico.
Si trascurino gli effetti di bordo.
Soluzioni
Quesito 1
Il campo elettrico all’interno del condensatore è
, diretto ortogonalmente alle armature del
condensatore. L’energia elettrostatica del dipolo è quindi
tra il dipolo e il campo.
Ci sono quindi due posizioni di equilibrio, tali che
, ovvero
, dove θ indica l’angolo
e
. Dallo studio di
si
vede che la prima è di equilibrio stabile, mentre la seconda è di equilibrio instabile.
L’energia attorno alla posizione di equilibrio
si può esprimere anche come
, quindi per piccole oscillazioni il momento della forze elettrostatica si può scrivere
. Dall’equazione fondamentale della dinamica rotazionale
direttamente il periodo delle piccole oscillazioni
, si ricava
.
Quesito 2
Il condensatore ha capacità:
C0 
 0
h
 1.77nF
La tensione deve bilanciare la forza di attrazione elettrostatica che si calcola nota la pressione
elettrostatica:
1
P  0E2
2
1
1
V2
F   0 E 2    0 2   Mg  7.84N
2
2
h
V
2Mgh 2
 5951V
 0
Quando la lastra è completamente inserita c’è induzione completa tra i conduttori. Una volta inserita la
lastra conduttrice il sistema è equiparabile a due condensatori in serie per cui la capacità è data da:
d
d
1 1
1
hd
 
 1  2 
C C1 C2  0   0   0 
C
 0
hd
 3.54nF
L’inserzione della lastra avviene a potenziale costante quindi il campo elettrico deve aumentare per
compensare il fatto di essere nullo dentro la lastra.
E' 
V
h  d 
1
1
V2
'2
W   0  h  d  E   0
 0.063J
2
2
h  d 
'
1
1
V
W0   0 hE 2   0  0.031J
2
2
h
'
W  W  W0  0.032J
In corrispondenza deve essere aumentata la carica sulle armature del condensatore di una quantità
q  q '  q0 .
Risulta che:
Lgen  qV   q'  q0 V   C  C0 V 2  2 W '  W0   2W '  0.064J
Quesito 3
Considerazioni di simmetria permettono di stabilire che l’induzione dielettrica abbia direzione ortogonale
all’asse geometrico del sistema e sia funzione della sola distanza da tale asse. Applicando il teorema di
Gauss a una superficie cilindrica centrata sull’asse, di raggio variabile d e altezza l (l<<L), si ottiene
per
,
ovvero
per
, D=
per
e
per
, dove indica la densità superficiale di carica libera sul cilindro più interno.
Il dielettrico è omogeneo, isotropo e lineare, da cui
può quindi scrivere
V
per
, con
. Posto
e
per
. Per il potenziale si
, si ottiene
per
,
.
Il vettore di polarizzazione P è legato all’induzione dielettrica dalla relazione
. Per questo,
sulla superficie interna del dielettrico la densità superficiale di carica di polarizzazione sarà
(versore normale alla superficie opposto al vettore P). Sulla superficie esterna si avrà invece
Il dielettrico è omogeneo, pertanto per la densità di carica di polarizzazione vale
.
.