Esercizio 2: un esercizio con la sovrapposizione degli effetti.

Esercizio 2
Nel circuito di figura 1 trovare le correnti Ī1, Ī2, Ī5. Le tensioni erogate dai generatori sono
isofrequenziali.
Figura 1
Valori: R1=20Ω; R2=30Ω; R3=10Ω; R4=30Ω; R5=10Ω; X3=20Ω; X4=40Ω;
Ē1=30V; Ē2=20V fase -45°
Usiamo la sovrapposizione degli effetti.
Effetto di Ē1.
Si sostituisce ad Ē2 un circuito chiuso. Ridisegnamo il circuito.
Figura 2 Il circuito dove agisce solo Ē1
Il resistore R2 è in parallelo alla serie R4-X4. Troviamo questa impedenza e ridisegnamo il circuito.
Figura 3
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Modulo:
Fase:
Quindi:
Potevamo usare anche il metodo grafico. Ad ogni impedenza corrisponde univocamente un numero
complesso e, quindi, può essere rappresentata nel piano con un punto avente come ascissa la parte
reale dell’impedenza e come ordinata la sua parte immaginaria.
Troviamo la serie R4-X4 graficamente. Rappresentiamo la resistenza con il segmento in verde di
figura 4. Questo segmento giace sull’ascissa perché una resistenza ha solo la parte reale. Tracciamo
ora il segmento che rappresenta l’induttanda (segmento verde di figura 4), giace sul semiasse
positivo dell’ordinata perché un’induttanza ha solo parte immaginaria ed è positiva.
Figura 4 La serie R4-X4
Troviamo ora la serie con la consueta regola del parallelogramma. La serie avrà modulo e fase
indicati in figura 4. La fase di un’impedenza indica lo sfasamento tra la tensione applicata ai suoi
capi e la corrente che la attraversa.
Adesso dobbiamo calcolare l’impedenza Z2 data dal parallelo dell’impedenza appena trovata con la
resistenza R2. Per usare il metodo grafico dobbiamo servirci delle ammettenze. Troviamo le
ammettenze Y4 e Y2:
Procedendo come descritto precedentemente disegnamo il grafico di figura 5.
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Figura 5 Determinazione grafica di Z1
Abbiamo ottenuto lo stesso risultato.
Calcoliamo adesso l’impedenza Z2 costituita dalla serie Z1-R5.
Figura 6
Calcoliamo ora il parallelo tra Z2 e la serie R3-X3.
Figura 7 Determinazione grafica di Z2
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Figura 8
Soluzione grafica:
Figura 9 La serie R3-X3
Determiniamo graficamente l’impedenza Z3 data dal parallelo della serie R3-X3 e dell’impedenza
Z2. Troviamo le ammettenze:
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Facciamo il grafico:
Figura 10 L'impedenza Z3
Prima di determinare il contributo del generatore Ē1 alla corrente Ī1 troviamo graficamente
l’impedenza data dalla serie
.
Figura 11 La serie Z3-R1
Calcoliamo il contributo del generatore Ē1 alla corrente Ī1.
Dalla figura 6 si vede cha la corrente Ī5 si divide in Ī3 e Ī1. Usiamo il partitore di corrente:
Calcoliamo Ī‘5 (attenzione al verso della corrente
che risulta sfasata di 180°)
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Dalla figura 2 si vede cha la corrente Ī2 si divide in Ī4 e Ī5. Usiamo il partitore di corrente:
Calcoliamo Ī‘2:
Quindi:
Effetto di Ē2.
Si sostituisce ad Ē1 un circuito chiuso. Ridisegnamo il circuito.
Figura 12
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Il resistore R1 è in parallelo alla serie R3-X3. Troviamo questa impedenza e ridisegnamo il circuito.
Figura 13
Modulo:
Fase:
Quindi:
Grafico:
Troviamo le ammettenze Y1 e Y3:
Figura 14 L'impedenza Z4
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Calcoliamo l’impedenza
data dal resistore R5 in serie all’impedenza appena trovata.
Grafico:
Figura 15 L'impedenza Z5.
Ridisegnamo il circuito.
Figura 16
Calcoliamo l’impedenza
data dalla serie R4 – X4 in parallelo all’impedenza appena trovata.
Modulo:
Fase:
Quindi:
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Ridisegnamo il circuito:
Figura 1
Calcoliamo il contributo del generatore di tensione Ē2 alla corrente Ī2:
Dove:
Modulo:
Fase:
Quindi:
Possiamo determinare Ī2:
Modulo:
Fase:
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La corrente Ī2 si divide nelle correnti Ī4 e Ī5. (Vedi figura 16). Troviamo la corrente Ī5 con il partitore
di corrente:
Modulo:
Fase:
Quindi:
Possiamo determinare Ī5:
Modulo:
Fase:
Troviamo
con il partitore di corrente (vedi figura 11).
Modulo:
Fase:
Quindi:
Calcoliamo Ī1:
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Modulo:
Fase:
Le correnti cercate valgono:
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