1. Richiami sui problemi di campo

1. Richiami sui problemi di campo
In questa Nota prima elencheremo le classi di problemi che in questo Corso sono
discussi e risolti numericamente. I problemi trattati sono suddivisi in 5 classi:
-
soluzione di sistemi di equazioni algebriche lineari;
soluzione di sistemi di equazioni algebriche non lineari;
soluzione di equazioni differenziali a derivate ordinarie con condizioni
iniziali;
soluzione di equazioni differenziali a derivate parziali con condizioni al
contorno (ed iniziali);
soluzione di equazioni integrali.
Discuteremo poi il concetto di problema ben posto. Infine richiameremo alcuni
problemi canonici di campo in vista della loro soluzione numerica al calcolatore.
Descriveremo l’equazione della diffusione, l’equazione di Poisson, l’equazione di
Helmholtz ed alcuni problemi canonici di elettromagnetismo risolti attraverso
formulazioni differenziali e formulazioni integrali.
1.1 Equazioni algebriche lineari
La soluzione dell’equazione algebrica lineare
ax = b
(1.1)
è il problema più semplice della matematica. La soluzione è (per a ! 0 )
x=
b
.
a
(1.2)
La soluzioni di un sistema di n equazioni algebriche lineari (con n finito) nelle n
incognite x1 , x2 ,..., xn
G. Miano, Appunti del Corso di Modelli Numerici per i Campi, 2009
2
! a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
# a x + a x + ... + a x = b
# 21 1
22 2
2n n
2
"
# ..............................................
#$an1 x1 + an2 x2 + ... + ann xn = bn .
(1.3)
è un problema molto più complicato. Questo problema, oltre ad essere un modello
matematico di sistemi fisici, ha un ruolo basilare nel calcolo numerico. Ad esempio, la
discretizzazione di equazioni differenziali a derivate parziali lineari con condizioni al
contorno assegnate e di equazioni integrali lineari porta, come vedremo, alla
risoluzione di sistemi algebrici lineari.
Il sistema (1.3) può essere espresso in modo più compatto utilizzando la notazione
matriciale
Ax = b
dove
T
x = x1 , x2 ,..., xn !R n
( Cn )
è
il
(1.4)
vettore
colonna
delle
T
incognite,
( )
b = b1 ,b2 ,...,bn !R n ( C n ) è il vettore colonna dei termini noti e A = aij ,
i, j = 1, 2,..., n , è la matrice quadrata di ordine n dei coefficienti aij , A : R n ! R n
( C n ! C n ). La soluzione dell’equazione (1.4) è (se A è invertibile)
x = A !1b ,
(1.5)
dove A !1 è l’inversa della matrice A . Il costo per il calcolo dell’inversa di una
matrice può essere troppo elevato anche per i più potenti calcolatori attualmente
disponibili. Bisogna ricorrere, come vedremo, a tecniche molto elaborate per risolvere
l’equazione (1.4) con costi di calcolo accettabili.
1.2 Equazioni algebriche non lineari
Consideriamo ora la classe delle equazioni algebriche non lineari. Il problema più
semplice è la soluzione di una singola equazione algebrica non lineare
f ( x) = 0 .
(1.6)
La soluzione di questa equazione non può essere espressa in forma chiusa (con
qualche eccezione) e, quindi, bisogna ricorrere a metodi approssimati. Come vedremo
la soluzione di un’equazione algebrica non lineare può essere ricondotta alla
risoluzione di una successione di equazioni algebriche lineari.
Un sistema di equazioni algebriche non lineari di dimensione finita
G. Miano, Appunti del Corso di Modelli Numerici per i Campi, 2009
3
! f1 ( x1 , x2 ,.., xn ) = 0
#
# f2 ( x1 , x2 ,.., xn ) = 0
"
# .............................
#$ fn ( x1 , x2 ,.., xn ) = 0
(1.7)
può essere sia il modello matematico di un sistema fisico, che il modello discreto di
equazioni differenziali a derivate parziali non lineari con condizioni al contorno
assegnate ed equazioni integrali non lineari. Il sistema (1.7) può essere espresso in
modo più compatto utilizzando la notazione vettoriale
f (x) = 0
(1.8)
dove x !R n e f : R n ! R n . Come nel caso di un’equazione algebrica non lineare, la
soluzione di un sistema di equazioni algebriche non lineari può essere ricondotta alla
risoluzione di una successione di sistemi di equazioni algebriche lineari.
1.3 Equazioni differenziali a derivate ordinarie
Consideriamo ora la classe delle equazioni differenziali a derivate ordinarie con
condizioni iniziali assegnate. Il problema più semplice consiste nella soluzione
dell’equazione
du
= f ( u;t )
dt
(1.9)
u ( t = t 0 ) = u0 .
(1.10)
con la condizione iniziale
Questo problema, salvo qualche caso particolare, non ha soluzione in forma chiusa e,
quindi, deve essere risolto attraverso tecniche numeriche approssimate. In realtà i
metodi numerici per la soluzione di questo problema si estendono senza grosse
difficoltà, almeno in principio, alla soluzione di un generico sistema di equazioni
differenziali
! du1
# dt = f1 ( u1 ,u2 ,..,un ;t )
#
## du2 = f ( u ,u ,..,u ;t )
2
1
2
n
" dt
# .............................
#
# dun = f ( u ,u ,..,u ;t )
n
1
2
n
#$ dt
(1.11)
G. Miano, Appunti del Corso di Modelli Numerici per i Campi, 2009
4
con la condizione iniziale
! u1 ( t = t 0 ) = u1( 0 )
#
(0)
# u2 ( t = t 0 ) = u2
"
# .......................
#u ( t = t ) = u ( 0 ) .
0
n
$ n
(1.12)
Il sistema (1.11) con la condizione iniziale (1.12) può essere espresso in modo più
compatto utilizzando la notazione vettoriale
du
= f ( u;t ) ,
dt
u (t = t0 ) = u0 ,
(1.13)
(1.14)
dove u !R n e f : R n ! R " R n .
Un sistema di equazioni differenziali a derivate ordinarie con condizioni iniziali
assegnate può essere sia il modello matematico di un sistema fisico, che il modello
discreto di equazioni differenziali a derivate parziali non lineari con condizioni al
contorno ed iniziali assegnate. La soluzione di un sistema di equazioni differenziali a
derivate ordinarie con condizioni iniziali assegnate può essere ricondotta alla
soluzione di una successione di problemi algebrici lineari.
1.4 Equazioni differenziali a derivate parziali
Una grandezza di campo è una grandezza fisica che dipende dallo spazio ed,
eventualmente, dal tempo. Le grandezze di campo sono scalari o vettoriali. Le leggi
che governano le grandezze di campo sono espresse da equazioni differenziali a
derivate parziali. L’esigenza di sviluppare modelli matematici basati su equazioni
differenziali a derivate parziali nasce semplicemente dal fatto che la realtà fisica è
pluridimensionale (tre dimensioni spaziali ed una temporale). Le equazioni che
considereremo sono di seguito riportate. Nella seconda parte di questa Nota
analizzeremo approfonditamente alcune di esse.
a. Equazione di diffusione scalare: u = u ( P;t ) , P !" , t 0 ! t ! t f
!u
" D# 2u = b ( P;t )
!t
dove ! 2 (
)
(1.15)
è l’operatore laplaciano1, ! è la regione di spazio in cui il problema è
definito e !"t 0 ,t f #$ è l’intervallo di tempo in cui il problema è definito. Essa descrive,
1
La divergenza di un campo vettoriale A ( ! " A ) è un campo scalare così definito: si consideri una
regione Ω in cui A è definito, un dominio spaziale τ contenuto in Ω e limitato da una superficie chiusa
G. Miano, Appunti del Corso di Modelli Numerici per i Campi, 2009
5
ad esempio, la propagazione del calore per diffusione attraverso un mezzo omogeneo
ed isotropo. In questo caso u è la temperatura e D è un parametro caratteristico delle
proprietà termiche del materiale.
b. Equazione delle onde scalare: u = u ( P;t ) , P !" , t 0 ! t ! t f
!2u
" c 2# 2u = b ( P;t ) .
!t 2
(1.16)
Essa descrive, ad esempio, la propagazione di onde trasversali di piccola ampiezza in
una corda (ad esempio di chitarra), in una membrana elastica (ad esempio quella di un
tamburo); essa può descrivere la propagazione di onde sonore o di onde
elettromagnetiche (le componenti del campo). Qui u rappresenta l’ampiezza delle
oscillazioni e c è la velocità di propagazione.
La variante
!2u
" c# 2u + m 2u = b ( P;t ) ,
2
!t
(1.17)
ottenuta aggiungendo all’equazione di propagazione il termine m 2u , si chiama
equazione di Klein-Gordon, importante in meccanica quantistica. Infine, l’altra
variante
!2u
!u
+"
# c 2$ 2u = b ( P;t )
2
!t
!t
(1.18)
regolare Σ orientata con la normale rivolta verso l'esterno e sia V il volume di τ. Si faccia contrarre la
regione τ attorno a un punto fisso P . Il limite per V ! 0 (se esiste ed è finito indipendentemente dalla
"" S A ! ndS ) / V è la divergenza di A in P . In un sistema di coordinate
forma di Σ) del rapporto ( !
cartesiane rettangolari si ha ! " A = # Ax / # x + # Ay / # y + # Az / # z dove Ax , Ay , Az sono le componenti del
campo A nel sistema di coordinate considerato. Il teorema della divergenza afferma che
!
## A ! n̂dS = ### $ ! AdV dove !V è la frontiera della regione V con la normale n̂ rivolta verso
"V
V
l’esterno. In modo analogo si definisce la divergenza superficiale ! s " A s di un campo vettoriale
superficiale A s .
Il gradiente di un campo scalare U ( !U ) è un campo vettoriale così definito: si consideri una regione
Ω in cui il campo scalare U è definito, un punto P0 di Ω, e una generica retta orientata s passante per
P0 e un altro punto P di essa. Si faccia tendere a zero la distanza d ( P, P0 ) tra P e P0 . Il limite per
d ( P, P0 ) ! 0 del rapporto incrementale #"U ( P ) ! U ( P0 ) %$ / d ( P, P0 ) (se esiste ed è finito), al variare di
s, corrisponde alla componente, secondo le direzione s, di un vettore univocamente individuato. Esso è
il gradiente di U in P0 . In un sistema di coordinate cartesiane rettangolari si ha
!u = x̂"u / "x + ŷ"u / "y + ẑ"u / "z .
L’operatore laplaciano ! 2 (") è per definizione dato da ! 2 u = ! " ( !u ) . In un sistema di coordinate
cartesiane rettangolari si ha ! 2 u = " 2 u / "x 2 + " 2 u / "y 2 + " 2 u / "z 2 .
G. Miano, Appunti del Corso di Modelli Numerici per i Campi, 2009
6
ottenuta aggiungendo il termine ! ( "u / "t ) con ! > 0 descrive la propagazione in un
mezzo dissipativo. L’equazione (1.18) dà anche l’equazione dei telegrafisti, che
governa la propagazione dei segnali elettrici lungo una linea di trasmissione.
c. Equazione di Laplace (e di Poisson): u = u ( P ) , P !" ,
! 2u = 0 .
(1.19)
L’equazione di diffusione e l’equazione delle onde descrivono fenomeni evolutivi.
L’equazione di Laplace descrive le soluzioni stazionarie di entrambe queste equazioni
quando i termini noti sono nulli. La sua variante non omogenea
! 2u = b
(1.20)
è l’equazione di Poisson. Le equazioni di Laplace e Poisson rivestono un ruolo
fondamentale nell’elettromagnetismo stazionario e quasi-stazionario.
d. Equazione di Helmholtz scalare: u = u ( P;t ) , P !" ,
! 2u + k 2u = b ( P )
(1.21)
dove k 2 è una costante. L’equazione di Helmholtz descrive le soluzioni sinusoidali
dell’equazione di diffusione e dell’equazione delle onde.
e. Equazione di Schroedinger: ! = ! ( P;t ) , P !" , t 0 ! t ! t f ,
!i!
"#
! 2
=
$ # + V ( P;t )#
"t
2m
(1.22)
dove i è l’unità immaginaria, ! la costante di Planck, m è la massa della particella e
V = V ( P;t ) è l’energia potenziale della particella. Questa equazione descrive, in
meccanica quantistica, l’evoluzione di una particella carica in un campo di forze a
2
potenziale. La funzione ! ha il significato di densità di probabilità.
f. Equazioni di Maxwell in mezzi continui lineari: d = d ( P;t ) , e = e ( P;t ) ,
b = b ( P;t ) , h = h ( P;t ) , j = j ( P;t ) , P !" , t 0 ! t ! t f ,
! " d = # (legge di Gauss)
! " b = 0 (solenoidalità campo magnetico)
$b
(legge di Faraday-Neumann)
!"e=#
$t
#d
(legge di Ampere-Maxwell)
!" h = j+
#t
G. Miano, Appunti del Corso di Modelli Numerici per i Campi, 2009
(1.23)
(1.24)
(1.25)
(1.26)
7
dove ! " (#) denota l’operatore di rotore2 e
d = !e
b = µh
(1.27)
j = " ( e + Em )
sono le relazioni costitutive del mezzo che abbiamo supposto implicitamente lineare e
non dispersivo; e è il campo elettrico, d è il campo di spostamento elettrico, h è il
campo magnetico, b è il campo di induzione magnetica e j è il campo di densità di
corrente; ! è la densità di carica elettrica. Il campo densità di corrente e il campo
densità di carica soddisfano l’equazione di continuità della carica
!"
= #$ % j .
!t
(1.28)
Alle equazioni (1.24)-(1.26) e (1.28) bisogna aggiungere le condizioni di raccordo
su eventuali superfici di discontinuità ! del materiale
n̂ ! ( D1 " D 2 )
n̂ ! ( B1 " B2 )
n̂ ! ( E1 " E2 )
n̂ ! ( H1 " H 2 )
#
=$,
(1.29)
#
= 0,
(1.30)
#
= 0,
(1.31)
#
= jS ,
(1.32)
!"
= #$ S % jS # n̂ % ( j1 # j2 ) & .
!t
(1.33)
Abbiamo indicato il valore di ciascuna grandezza sulle due facce della superficie !
con i pedici “ 1 ” e “ 2 ”; n̂ è la normale alla superficie ! orientata dalla faccia “2” alla
2
Il rotore di un campo vettoriale A ( ! " A ) è un altro campo vettoriale così definito: si consideri una
regione Ω, in cui A è definito e sia P un punto di tale regione. Data una qualsiasi superficie aperta S
passante per P , sia γ la linea chiusa orientata (l'orientazione di γ e la normale n devono essere
concordi secondo la regola del cavatappi), che ne costituisce l'orlo. Si faccia contrarre la superficie S
attorno a P mantenendo fissa la normale n a S in P . È possibile dimostrare che, al variare di n il
limite per S ! 0 (se esiste ed è finito indipendentemente dalla forma di S e γ ) del rapporto
( !# A ! tdl) / S
"
corrisponde alla componente, secondo le direzione n, di un vettore univocamente
individuato. Esso è il rotore di A in P . In un sistema di coordinate cartesiane rettangolari si ha
! " A = ( x̂# / # x + ŷ# / # y + ẑ# / # z ) " (A x x̂ + A y ŷ + A z ẑ) effettuando formalmente i prodotti vettoriali
considerati.
Il teorema del rotore afferma che
!#
"S
A ! t̂dl =
## ($ % A ) ! n̂dS
S
dove ! S è la frontiera della superficie
(aperta) S : il versore t̂ tangente alla frontiera ! S e la normale n̂ alla superficie S hanno versi
concordi con la regola della “mano destra”.
G. Miano, Appunti del Corso di Modelli Numerici per i Campi, 2009
8
faccia “1”; ! è la densità di carica superficiale e jS è il campo di densità di corrente
superficiale.
g. Equazione di Poisson non lineare: u = u ( P ) , P !" ,
! 2u = F ( u; P )
(1.34)
Un’equazione di questo tipo governa i fenomeni di carica spaziale in equilibrio
statico, come, ad esempio, nelle giunzioni tra due semiconduttori.
Figura 1.1 Tipico andamento di una funzione non lineare con saturazione.
h. Equazione di diffusione non lineare: u = u ( P;t ) , P !" , t 0 ! t ! t f tale che
$ !b
2
& " # u = f ( P;t )
% !t
&'
b = B (u )
(1.35)
dove B = B ( u ) è una funzione non lineare continua, invertibile e differenziabile del
tipo illustrato in Figura 1.1. Un’equazione di questo tipo governa, ad esempio, la
diffusione del campo magnetico in un materiale conduttore ferromagnetico.
i. Un’equazione di propagazione non lineare: u = u ( P;t ) , P !" , t 0 ! t ! t f tale
che
$ !2 d
2
& 2 " # u = f ( P;t )
% !t
&
d = D (u )
'
(1.36)
dove D = D ( u ) è una funzione non lineare continua, invertibile e differenziabile.
Un’equazione di questo tipo governa, ad esempio, la propagazione in un dielettrico
non lineare del tipo illustrato in Figura 5.1.
G. Miano, Appunti del Corso di Modelli Numerici per i Campi, 2009
9
Tutte le equazioni a derivate parziali considerate devono essere risolte con
opportune condizioni al contorno. Per le equazioni (1.15)-(1.18), (1.22)-(1.28), (1.35)
e (1.36) bisogna assegnare anche opportune condizioni iniziali. Osserviamo che le
equazioni (0.25), (0.26) e (1.28) implicano le equazioni (0.23) e (1.24) se queste
ultime sono verificate all’istante iniziale.
In questo Corso introdurremo i principi sui quali si basano i metodi numerici per
risolvere le equazioni a derivate parziali con condizioni al contorno. In generale, la
soluzione di un’equazione differenziale a derivate parziali con condizioni al contorno
può essere ricondotta alla soluzione di una successione di sistemi di equazioni
algebriche; la soluzione di un’equazione differenziale a derivate parziali con
condizioni al contorno e condizioni iniziali può essere ricondotta alla soluzione di una
successione di sistemi di equazioni differenziali a derivate ordinarie.
1.5 Equazioni integrali
Consideriamo ora la classe delle equazioni integrali. L’esigenza di sviluppare
modelli matematici basati su equazioni integrali nasce essenzialmente dalla necessità
di limitare il dominio di definizione delle grandezze incognite. Ιn questo Corso
considereremo solo qualche esempio di equazione integrale allo scopo di illustrarne le
caratteristiche fondamentali.
Un esempio molto semplice di equazione integrale è il seguente. Consideriamo un
corpo metallico che occupa la regione ! e sia !" la sua frontiera. La densità di
carica elettrica superficiale ! = ! ( P ) che nasce su !" quando il potenziale elettrico
del corpo è uguale a U 0 (il potenziale elettrico all’infinito è posto uguale a zero), è
soluzione dell’equazione integrale
#
!"
( )
G rPQ $ (Q ) dSQ = U 0 %P &!"
(1.37)
dove rPQ è la distanza tra i punti P e Q ,
G (r ) =
1 1
4!" 0 r
(1.38)
è la funzione di Green per il vuoto dell’elettrostatica e ! 0 è la costante dielettrica del
vuoto. L’equazione (0.28) è un esempio di equazione integrale di Fredholm di prima
specie (la funzione incognita compare solo sotto l’operatore integrale).
Una volta risolta l’equazione (1.37) è possibile determinare attraverso l’integrale di
Coulomb il potenziale elettrico (e quindi anche il campo elettrico) in tutto lo spazio
U (P) =
#
!"
( )
G rPQ $ (Q ) dSQ .
(1.39)
Il potenziale U ( P ) può essere ottenuto anche risolvendo il problema differenziale:
G. Miano, Appunti del Corso di Modelli Numerici per i Campi, 2009
10
! 2U = 0 "P #$% \ $
(1.40)
con
U
!"
= U0
U regolare all’infinito
(1.41)
(1.42)
dove !" è l’intero spazio e !" \ ! è la regione complemento della regione !
occupata dal corpo metallico rispetto all’intero spazio !" . In questo caso, però, il
dominio di definizione dell’incognita è !" \ ! , che è un dominio illimitato, e ciò
rappresenta un grosso problema nella soluzione numerica. La formulazione integrale
non soffre di queste limitazioni perché la grandezza incognita è la sorgente del campo,
quindi il dominio in cui essa è definita è intrinsecamente limitato.
Come vedremo anche la soluzione di un’equazione integrale può essere ricondotta
alla soluzione di una successione di sistemi di equazioni algebriche.
1.6 Problemi ben posti
Nella soluzione di un problema del tipo che abbiamo appena descritto è
fondamentale stabilire condizioni sui dati affinché il problema abbia le seguenti
caratteristiche:
a) esista almeno una soluzione;
b) esista una sola soluzione;
c) la soluzione dipenda con continuità dai dati.
L’esistenza e l’unicità della soluzione garantisce che il modello “sta in piedi”, nel
senso che ha le potenzialità per rappresentare adeguatamente un fenomeno osservabile
e ripetibile. La condizione c) richiede che ad una piccola variazione dei dati
corrisponda una piccola variazione della soluzione. Si tratta di una proprietà molto
importante, denominata anche stabilità locale della soluzione rispetto ai dati. La
soluzione numerica (con il calcolatore) di un problema che non verifica questa
condizione può essere molto lontana dalla soluzione vera a causa degli errori
(inevitabili) dovuti alle procedure di calcolo. Un problema si dice ben posto secondo
Hadamard se possiede le caratteristiche a), b) e c).
1.7 Equazione di diffusione
In questa paragrafo ed in quelli successivi deriveremo e/o commenteremo alcune
equazioni di campo di particolare interesse sia teorico che applicativo. In particolare,
affronteremo il problema dell’unicità della soluzione. Iniziamo con l’equazione di
diffusione, che è un’equazione di campo scalare.
1.7.1 Problema della diffusione del calore
È utile mostrare almeno in un caso come si costruisce un’equazione di campo. In
questa sezione ricaveremo l’equazione di diffusione del calore. Consideriamo la
G. Miano, Appunti del Corso di Modelli Numerici per i Campi, 2009
11
diffusione del calore per conduzione in un corpo rigido, omogeneo ed isotropo, con
densità di massa costante, che può ricevere energia da una sorgente esterna (per
esempio, dal passaggio di corrente elettrica all’interno del corpo o da una reazione
chimica, oppure per irraggiamento dall’esterno). Indichiamo con ! la regione di
spazio occupata dal corpo e con !" la sua frontiera, orientata concordemente con il
versore normale n̂ uscente da ! .
Isoliamo una regione elementare3 arbitraria !" del corpo, centrata nel punto P e
con frontiera ! ( "# ) orientata concordemente con il versore normale n̂ P uscente da
!" . L’energia interna U !" = U !" ( t ) dell’elemento !" varia nel tempo sia a causa
del calore che fluisce attraverso la superficie ! ( "# ) , che a causa della sorgente
esterna di energia presente in !" . Indichiamo con dU !" la variazione di energia
interna dell’elemento !" nell’intervallo di tempo elementare4 ( t,t + dt ) , con dQ!"
la quantità di calore che attraversa la superficie ! ( "# ) nello stesso intervallo di
tempo concordemente con l’orientazione scelta per ! ( "# ) e con dW!" l’energia
generata dalla sorgente esterna nella regione !" sempre nello stesso intervallo di
tempo. Dalla legge della conservazione dell’energia applicata all’elemento !"
nell’intervallo di tempo ( t,t + dt ) abbiamo
dU !" = #dQ!" + dW!" .
(1.43)
Le grandezze che compaiono nell’equazione (1.43) non sono grandezze di campo in
quanto esse dipendono, oltre che dal punto P , anche dall’elemento di volume !" e
dall’intervallo di tempo elementare dt .
La variazione di energia interna dell’elemento !" nell’intervallo di tempo
elementare ( t,t + dt ) può essere espressa attraverso una grandezza di campo, la
densità di energia interna u = u ( P;t ) , che dipende solo dal punto P e dall’istante t .
Dalla definizione di densità di energia interna si ha immediatamente
U !" ( t ) = u ( P;t ) !"
(1.44)
quindi
dU !" =
#u
dt!" .
#t
(1.45)
In questa relazione compare la derivata parziale rispetto al tempo perchè la densità di
energia dipende anche dalla variabile spaziale.
La quantità di calore che attraversa la superficie ! ( "# ) nell’intervallo di tempo
(t,t + dt ) può essere espressa attraverso il campo vettoriale densità di flusso di calore.
3
Con “regione elementare” intendiamo una pezzo di materia così piccolo da poter assumere tutte le
grandezze di campo uniformi in esso.
4
Con “intervallo di tempo elementare” intendiamo un intervallo di tempo così piccolo da poter
assumere tutte le grandezze costanti in esso.
G. Miano, Appunti del Corso di Modelli Numerici per i Campi, 2009
12
Si consideri una generica superficie elementare aperta !S , con baricentro nel punto
M , orientata secondo il versore normale n̂ M . Dalla definizione del campo di densità
di flusso di calore si ha che la quantità di calore dQ!S che attraversa la superficie
elementare orientata !S nell’intervallo di tempo elementare ( t,t + dt ) è data da
dQ!S = #$ q ( M;t ) " n̂ M !S %& dt ,
(1.46)
dove q ( M;t ) è il campo di densità di calore nel punto M ed all’istante t (che è
indipendente sia da !S che da dt ). Le grandezze q e dQ!S svolgono,
rispettivamente, ruoli analoghi ai ruoli che svolgono nell’elettromagnetismo il campo
di densità di corrente elettrica e la carica elettrica. Nel Sistema Internazionale il calore
si misura in joule ([J]), quindi q si misura in J/m 2s . Il flusso di calore dQ!" può
essere, allora, espresso come
dQ!" = & % q ( M;t ) # n P ( M ) dSM ( dt .
' $"
)
(1.47)
L’energia generata dalla sorgente esterna nell’elemento !" nell’intervallo di
tempo elementare ( t,t + dt ) può essere espressa attraverso un’altra grandezza di
campo, la densità di potenza generata dalla sorgente esterna pS = pS ( P;t ) , che
dipende anch’essa solo dal punto P e dall’istante t . Dalla definizione di densità di
potenza generata si ha immediatamente
dW!" = p ( P;t ) !"dt .
(1.48)
Sostituendo le (1.45), (1.47) e (1.48) nell’equazione (1.43) otteniamo:
!u
"#dt = $ ' & q ( M;t ) % n P ( M )dSM ) dt + pS "#dt .
( !#
*
!t
(1.49)
Dividendo tutto per !"dt abbiamo:
!u
1
="
q ( M;t ) % n P ( M )dSM + pS .
!t
#$ &!$
(1.50)
Ricordando infine che ( !" è una regione elementare sufficientemente piccola)
1
q ( M;t ) # n P ( M )dSM = & # q
!" %$"
è la divergenza nel punto P del campo vettoriale q dalla (1.50) si ha
!u
= "# $ q + pS .
!t
G. Miano, Appunti del Corso di Modelli Numerici per i Campi, 2009
(1.51)
(1.52)
13
Questa è la legge della conservazione dell’energia in forma locale e coinvolge solo
grandezze di campo.
Assumiamo ora le seguenti leggi costitutive:
di Fourier per la conduzione del calore: in condizioni “normali”, il campo
densità di flusso di calore è direttamente proporzionale al gradiente di temperatura
●legge
q = !k"T
(1.53)
dove T è la temperatura assoluta (nel Sistema Internazionale è misurata in kelvin
[K]) e k > 0 è la conducibilità termica, che è legata alle proprietà del materiale. In
generale, k può dipendere dalla temperatura. Qui la consideriamo costante. Il segno
meno tiene conto del fatto che il calore fluisce dalle regioni a temperatura più alta alle
regioni a temperatura più bassa. Le dimensioni di k sono J ! K -1 ! s-1 ! m -1 .
● La
densità di energia interna è direttamente proporzionale alla temperatura
assoluta
u = !cvT
(1.54)
dove ! è la densità di massa del materiale, che abbiamo assunto costante, e cv è il
calore specifico a volume costante. Anche il calore specifico a volume costante può
essere considerato una costante. Le dimensioni di ! sono kg ! m -3 e le dimensioni di
cv sono J ! K -1 ! kg -1 .
Tenuto conto di queste leggi, la (1.52) diventa
!cv
"T
= k# 2T + pS .
"t
(1.55)
Questa equazione può essere riscritta nella forma
!T
" D# 2T = f
!t
(1.56)
dove D ! k / "cv è il coefficiente di diffusione e f ! pS / "cv è il termine noto.
L’equazione (1.56) è l’equazione di diffusione. Essa è definita in ogni punto del
materiale e in un intervallo di tempo ben definito t 0 ! t ! t f dove t 0 e t f sono,
rispettivamente, l’istante iniziale e l’istante finale dell’intervallo di osservazione (in
particolare, si può avere t 0 ! "# e/o t f ! +" ).
Basta l’equazione (1.56) per prevedere come evolve la distribuzione di temperatura
nel materiale per assegnato coefficiente di diffusione e termine noto?
Se vogliamo studiare l’evoluzione della temperatura risolvendo l’equazione (1.56)
bisogna conoscere anche la distribuzione della temperatura nel materiale all’istante
iniziale t 0 , che equivale a conoscere la distribuzione dell’energia interna nell’istante
G. Miano, Appunti del Corso di Modelli Numerici per i Campi, 2009
14
iniziale. In generale a diverse distribuzioni iniziali di energia interna corrispondono
evoluzioni diverse. Occorre dunque assegnare la condizione iniziale per la
distribuzione della temperatura. Questa è la condizione di Cauchy.
Questo però non è sufficiente: è necessario tener conto di come il corpo interagisce
con l’ambiente circostante. Per convincersene, basti pensare al fatto che, partendo da
una data distribuzione iniziale di temperatura, potremmo influire sull’evoluzione di T
controllando ciò che succede sulla superficie del corpo. Un modo per farlo è, per
esempio, usare un termostato per mantenere !" ad una temperatura desiderata. Ciò
equivale ad assegnare la distribuzione della temperatura sulla frontiera !" . Questa è
la condizione al contorno di Dirichlet.
Anziché la temperatura, si potrebbe controllare la densità di flusso di calore
attraverso la frontiera !" . Ciò equivale ad assegnare su !" la distribuzione della
derivata normale della temperatura. !" . Questa è la condizione al contorno di
Neumann.
Può presentarsi il caso in cui occorre assegnare condizioni miste: su una parte della
frontiera !" una condizione di Dirichlet e sulla restante parte una condizione di
Neumann. In altre situazioni può essere appropriata una condizione di Robin (o di
radiazione): si assume che il flusso di calore attraverso !" è direttamente
proporzionale alla differenza tra la temperatura di !" e la temperatura del mezzo
circostante tenuto ad una temperatura assegnata.
1.7.2 Equazione di diffusione scalare
I problemi considerati costituiscono modelli di diffusione molto più generali, dove
per diffusione si intende, per esempio, il trasporto di materia dovuto al moto
molecolare nel mezzo in cui essa è immersa. In tal caso, la soluzione potrebbe
rappresentare la concentrazione di un soluto o di un inquinante oppure anche una
densità di probabilità.
Le condizioni al contorno che abbiamo illustrato sono fra le più usate e i problemi
associati prendono il nome dai tipi di dati assunti sulla frontiera. Riassumendo,
abbiamo i seguenti tipi di problemi: determinare u = u ( P;t ) (dove ora u è una
generica grandezza) tale che
( !u
2
** !t " D# u = f ( P;t ) $P %&, t 0 < t ' t f
) u ( P;t = t ) = u ( P ) $P %&
0
0
*
*+ + condizioni al contorno
(1.57)
dove D > 0 e le condizioni al contorno possono essere, ad esempio, le seguenti:
− Problema di Cauchy-Dirichlet: u
− Problema di Cauchy-Neumann:
!"
!u
!n
= g ( P;t ) #P $!", t 0 < t % t f ;
!"
= p ( P;t ) #P $!", t 0 < t % t f ;
G. Miano, Appunti del Corso di Modelli Numerici per i Campi, 2009
(1.58)
(1.59)
15
& u !" = g ( P;t ) #P $!"1 , t 0 < t % t f ,
1
(
− Problema di Cauchy-misto: ' !u
(1.60)
=
p
P;t
#P
$!"
,
t
<
t
%
t
;
(
)
(
"
2
0
f
) !n 2
# !u
&
+ " u ( !) = q ( P;t ) *P +!), t 0 < t , t f . (1.61)
− Problema di Cauchy-Robin: %
$ !n
'
I problemi considerati sotto ipotesi non troppo onerose sono ben posti, cioè la
soluzione esiste, è unica e dipende con continuità dai dati iniziali. Di seguito
affronteremo il problema dell’unicità della soluzione con il metodo dell’energia.
1.7.3 Unicità della soluzione
Tutti i problemi definiti prima hanno al più una soluzione se D > 0 e ! > 0 .
Mostreremo questa proprietà utilizzando il metodo dell’energia. Supponiamo che u e
v siano due soluzioni distinte di uno dei problemi considerati. Poniamo w = u ! v ;
vogliamo dimostrare che w = 0 assumendo D > 0 e ! > 0 . Per il momento non ci
preoccupiamo troppo delle condizioni precise da porre su u e v . Supponiamole
sufficientemente regolari ed osserviamo che w soddisfa l’equazione di diffusione
omogenea
!w
" D# 2 w = 0 $P %&, t 0 < t ' t f
!t
(1.62)
w ( P;t = t 0 ) = 0 !P "#
(1.63)
con la condizione iniziale
ed una delle seguenti condizioni al contorno
− Problema di Cauchy-Dirichlet: w
− Problema di Cauchy-Neumann:
!"
!w
!n
= 0 #P $!", t 0 < t % t f ;
!"
= 0 #P $!", t 0 < t % t f ;
(1.64)
(1.65)
& w !" = 0 #P $!"1 , t 0 < t % t f ,
1
(
− Problema di Cauchy-misto: ' !w
(1.66)
(
" = 0 #P $!" 2 , t 0 < t % t f ;
) !n 2
# !w
&
+ " w ( !) = 0 *P +!), t 0 < t , t f (1.67)
− Problema di Cauchy-Robin: %
$ !n
'
con ! > 0 .
Moltiplichiamo ambo i membri dell’equazione (1.62) per w ed integriamo su ! ; si
trova
G. Miano, Appunti del Corso di Modelli Numerici per i Campi, 2009
16
#
"
w
!w
dV $ D # w% 2 wdV = 0 .
"
!t
#
w
Ora
"
!w
1 d
dV =
!t
2 dt
#
(1.68)
w 2 dV ,
(1.69)
$w
2
dS % # !w dV .
"
$n
(1.70)
"
e, dalla formula di Gauss5
#
"
Posto E ( t ) =
"
!
w! 2 wdV =
#
$"
w
w 2 dV dalle equazioni (1.68)-(1.70) otteniamo
1 dE
!w
2
= D # w dS $ D # %w dV .
!"
"
2 dt
!n
(1.71)
Se vale la condizione di Robin si ha
#
!"
w
!w
dS = $% # w 2 dS .
!"
!n
(1.72)
!w
dS = 0 .
!n
(1.73)
In tutti gli altri casi si ha
#
!"
w
Di conseguenza, essendo D > 0 ed ! > 0 ,
dE
! 0,
dt
(1.74)
! w ( P;t = t 0 ) #$ dV = 0 ed
%"
E ( t ) ! 0 , deduciamo che E ( t ) = 0 per t 0 ! t ! t f . Essendo w è regolare E ( t ) = 0
cioè la funzione E ( t ) non può crescere. Essendo E ( 0 ) =
&
2
implica w ( P;t ) = 0 , che è quanto si voleva provare.
1.8 Equazione di Poisson
In condizioni di equilibrio, cioè quando non c’è variazione nel tempo, la soluzione
dell’equazione di diffusione soddisfa la versione stazionaria
Innanzitutto richiamiamo l’identità vettoriale ! " ( w!w ) = !w + w! 2 w . Applicando a questa
identità la formula di Gauss si ottiene la (1.70).
5
2
G. Miano, Appunti del Corso di Modelli Numerici per i Campi, 2009
17
! 2u = f ( P ) "P #$
(1.75)
che è l’equazione di Poisson. Se f = 0 si ha l’equazione di Laplace. Le condizioni al
contorno possono essere, ad esempio, le seguenti:
− Problema di Dirichlet: u
− Problema di Neumann:
!"
!u
!n
= g ( P ) #P $!" ,
!"
= p ( P ) #P $!" ,
% u !" = g ( P ) #P $!"1 ,
1
'
− Problema di Cauchy-misto: & !u
'
" = p ( P ) #P $!" 2 ,
( !n 2
# !u
&
+ " u ( !) = q ( P ) *P +!) ,
− Problema di Cauchy-Robin: %
$ !n
'
(1.76)
(1.77)
(1.78)
(1.79)
dove !" è la frontiera di ! ed n̂ è il versore normale a !" , orientato verso
l’esterno.
Ora vedremo che l’equazione di Poisson (o Laplace) non si presenta solo come
versione stazionaria dell’equazione di diffusione. L’equazione di Poisson svolge un
ruolo principale nella teoria dei campi conservativi (campo elettrostatico, campo
gravitazionale,…).
1.8.1 Un problema di elettrostatica in un dominio limitato
Consideriamo il seguente problema. Nella regione ! delimitata dalla superficie
!" c’è una distribuzione di carica costante nel tempo con densità volumetrica ! . La
costante dielettrica del mezzo ! è uniforme. Le equazioni in forma locale del campo
elettrostatico sono
#
!P "# ,
$
! " E = 0 !P "# .
!"E =
(1.80)
(1.81)
Essendo il campo elettrico irrotazionale (ovunque, anche all’esterno di ! ), esso può
essere espresso attraverso il gradiente di un campo scalare U = U ( P ) definito in !
(il segno meno è una convenzione)
E = !"U .
(1.82)
Sostituendo la (1.82) nell’equazione (1.80) otteniamo l’equazione di Poisson
! 2U = "
#
!P "# .
$
(1.83)
G. Miano, Appunti del Corso di Modelli Numerici per i Campi, 2009
18
Per poter risolvere questa equazione bisogna tener conto anche di tutto ciò che è al
di fuori della regione ! attraverso le condizioni al contorno su !" . Le condizioni al
contorno tipiche dei problemi di elettrostatica sono del tipo Dirichlet – si assegna il
potenziale, ovvero la componente tangente del campo elettrico, sulla superficie !" –
e del tipo Neumann – si assegna la componente normale del campo elettrico sulla
superficie !" .
Se il dielettrico non è omogeneo la costante dielettrica è funzione del punto dello
spazio, l’equazione (1.80) deve essere sostituita dall’equazione
! " (# E) = $
(1.84)
! " ( #!V ) = $ !P "# .
(1.85)
e l’equazione (1.83) con l’equazione
I problemi ben posti associati a questa equazione sono gli stessi associati
all’equazione di Poisson.
1.8.2 Unicità della soluzione
I problemi ben posti associati all’equazione di Poisson
% ! 2u = f ( P ) "P #$
&
'+ condizioni al contorno
(1.86)
sono sostanzialmente quelli già visti per l’equazione di diffusione, naturalmente senza
condizione iniziale. Le condizioni al contorno che considereremo sono le seguenti:
− Problema di Dirichlet: u
− Problema di Neumann:
!"
!u
!n
= g ( P ) #P $!" ;
!"
= p ( P ) #P $!" ;
% u !" = g ( P ) #P $!"1 ,
1
'
− Problema di Cauchy-misto: & !u
'
" = p ( P ) #P $!" 2 ;
( !n 2
# !u
&
+ " u ( !) = q ( P ) *P +!) , ! > 0 .
− Problema di Cauchy-Robin: %
$ !n
'
(1.87)
(1.88)
(1.89)
(1.90)
Per il problema di Neumann bisogna tenere conto di una condizione di
compatibilità, senza la quale il problema non ammette soluzione. Integrando ambo i
membri dell’equazione di Poisson (1.86) sul dominio ! si ha applicando la formula
di Gauss
!u
dS =
!" !n
#
#
"
fdV .
G. Miano, Appunti del Corso di Modelli Numerici per i Campi, 2009
(1.91)
19
Di conseguenza la soluzione del problema di Neumann esiste solo se la condizione al
contorno è compatibile con la (1.91), ovvero se le due funzioni f e p sono tali che
#
!"
pdS =
#
"
fdV .
(1.92)
Nel problema di Neumann il termine noto dell’equazione e la condizione al contorno
non sono indipendenti.
Studiamo ora l’unicità della soluzione dell’equazione di Poisson (1.86) con una
delle condizioni al contorno (1.87)-(1.90). Il ragionamento è simile a quello svolto nel
§ 7.1 per l’equazione di diffusione, utilizzeremo il metodo dell’energia. Supponiamo
che u e v siano due soluzioni distinte di uno dei problemi (1.87)-(1.90). Poniamo
w = u ! v . Supponiamole sufficientemente regolari ed osserviamo che w soddisfa
l’equazione di diffusione omogenea
! 2 w = 0 "P #$
(1.93)
con una delle seguenti condizioni al contorno
− Problema di Dirichlet: w
− Problema di Neumann:
!"
!w
!n
= 0 #P $!" ;
= 0 #P $!" ;
!"
% w !" = 0 #P $!"1 ,
1
'
− Problema di misto: & !w
'
" = 0 #P $!" 2 ;
( !n 2
# !w
&
+ " w ( !) = 0 *P +!) con ! > 0 .
− Problema di Robin: %
$ !n
'
(1.94)
(1.95)
(1.96)
(1.97)
Moltiplichiamo ambo i membri dell’equazione (1.93) per w ed integriamo su ! ; si
trova
#
"
w! 2 wdV = 0 .
(1.98)
Utilizzando la (1.70) otteniamo
#
"
$w
dS .
$n
(1.99)
!w
dS = $% # w 2 dS .
!"
!n
(1.100)
!w dV =
2
#
$"
w
Se vale la condizione di Robin si ha
#
!"
w
In tutti gli altri casi si ha
G. Miano, Appunti del Corso di Modelli Numerici per i Campi, 2009
20
#
!"
w
!w
dS = 0 .
!n
(1.101)
Di conseguenza, essendo ! > 0 si ottiene che
#
"
!w dV $ 0 ,
2
(1.102)
che implica necessariamente !w = 0 ovunque in ! e cioè w = u ! v = costante in
! . Per i problemi di Dirichlet, misto e di Robin questa costante deve essere
necessariamente uguale a zero a causa delle condizioni al contorno (1.94), (1.96) e
(1.97), quindi la soluzione è unica. Per il problema di Neumann la costante può essere
diversa da zero, dunque il problema di Neumann ammette al più una sola soluzione a
meno di una costante additiva arbitraria.
1.8.3 Integrale di Coloumb
Un problema molto particolare, ma allo stesso tempo molto importante, è il calcolo
del potenziale elettrostatico generato da una distribuzione di carica con densità
volumetrica !0 nel vuoto assegnata. Il problema è governato dall’equazione
#0 ( P )
%P &'(
$0
(1.103)
U regolare all’infinito6;
(1.104)
! 2U = "
con la condizione al contorno
!" indica l’intero spazio. La soluzione di questo problema può essere espressa in
forma chiusa. Essa è data da (integrale di Coulomb)
U (P) =
1
4!" 0
#0 (Q )
%$ rPQ dVQ
(1.105)
dove ! è il supporto di !0 7. Il potenziale elettrostatico generato da una distribuzione
di carica superficiale di densità superficiale ! è dato da una simile espressione,
U (P) =
1
4!" 0
# 0 (Q )
dSQ
$%
rPQ
&
(1.106)
dove !" è il supporto di ! 0 . In entrambi i casi il potenziale è ovunque continuo. Se
! e !" sono limitate il potenziale è regolare all’infinito.
6
Il potenziale elettrostatico tende a zero all’infinito in modo tale che l’energia associata al campo
elettrostatico sia finita.
7
Il supporto di una funzione è la parte del suo dominio di definizione in cui la funzione è quasi
ovunque diversa da zero.
G. Miano, Appunti del Corso di Modelli Numerici per i Campi, 2009
21
1.8.4 Formulazione variazionale dell’equazione di Poisson
Il problema della soluzione dell’equazione di Poisson con condizioni al contorno di
Dirichlet può essere trasformato in un problema variazionale. Il problema
& J ( u ) = min J ( v ) con v "# = g e
v!W
(
trovare u !W : '
1
2
( J ( v ) = %# $v dV + %# fvdV
2
)
(1.107)
dove W è lo spazio delle funzioni a quadrato integrabile e con gradiente a quadrato
integrabile definite in ! fin sulla frontiera, è equivalente alla soluzione
dell’equazione di Poisson con condizioni al contorno di Dirichlet. Ora dimostriamo
questa interessante proprietà.
Si supponga che u = u ( P ) sia la soluzione del problema variazionale (1.107).
Allora, ponendo v = u ( P ) + ! w ( P ) con ! numero reale e w
!"
= 0 , si ha che
J ( u ) ! J ( u + " w ) !w "W .
(1.108)
La funzione ! (" ) = J ( u + " w ) è una funzione quadratica in ! con minimo raggiunto
per ! = 0 . Pertanto abbiamo
d!
d"
" =0
= 0.
(1.109)
Per definizione di derivata si ha
J (u + " w ) $ J (u )
d!
= lim
%w &W .
d" " #0
"
(1.110)
Consideriamo il termine J ( u + ! w ) :
1
2
" ( u + ! w ) dV + $ ( u + ! w ) fdV
$
#
2 #
(1.111)
1
2
2
=J ( u ) + $ ! "w + 2!"w % "u dV + $ ! fwdV.
#
2 #
J (u + ! w ) =
(
)
Di conseguenza
J (u + ! w ) " J (u ) 1
2
= & ! #w + 2#w $ #u dV + & fwdV .
%
%
!
2
(
)
(1.112)
Passando al limite per ! " 0 ed imponendo che esso si annulli, si ottiene
G. Miano, Appunti del Corso di Modelli Numerici per i Campi, 2009
22
$
#
!u " !wdV + $ fwdV = 0 %w &W .
#
(1.113)
Applicando la formula di Gauss la (1.113) diventa (ricordiamo che abbiamo supposto
w !" = 0 )
$ (! u " f ) wdV = 0
2
#
%w &W ,
(1.114)
il che equivale a dire che ! 2u " f è la funzione quasi ovunque nulla in ! , ovvero
! 2u = f .
(1.115)
Viceversa se u è soluzione dell’equazione di Poisson si dimostra procedendo in
modo analogo che J ( u ) ! J ( v ) "v #W .
1.9 Formulazioni differenziali di problemi di elettromagnetismo
In questa Sezione descriveremo alcune formulazioni differenziali di problemi
canonici di elettromagnetismo. Come già accennato le formulazioni differenziali si
prestano bene alla soluzione di problemi in cui il campo elettromagnetico incognito è
definito in un dominio limitato.
1.9.1 Equazione delle onde vettoriale
Consideriamo il campo elettromagnetico in una regione finita ! generato da una
distribuzione di densità di carica !0 = !0 ( P;t ) e da un campo di densità di corrente
j0 = j0 ( r;t ) assegnati; ovviamente !0 e j0 sono compatibili con l’equazione di
continuità della carica
!"0
(1.116)
= #$ % j0 .
!t
La regione ! è delimitata dalla superficie !" orientata concordemente con il verso
della normale n̂ uscente. Il materiale che riempie ! è lineare, isolante elettricamente,
non dispersivo ed omogeneo; ! e µ sono, rispettivamente, la costante dielettrica e la
permeabilità magnetica.
Le equazioni che governano il campo elettromagnetico ( e, b ) all’interno della
regione ! sono per t 0 < t ! t f :
!b
+"#e = 0,
!t
"e
µ! # $ % b = # µ j0 .
"t
G. Miano, Appunti del Corso di Modelli Numerici per i Campi, 2009
(1.117)
(1.118)
23
Queste equazioni devono essere risolte con le condizioni iniziali all’istante t 0 per il
campo elettromagnetico e ( P;t = t 0 ) = e 0 ( P ) e b ( P;t = t 0 ) = b 0 ( P ) 8 e con opportune
condizioni al contorno su !" che tengono conto dell’interazione con l’ambiente
circostante.
Riduciamo il sistema (1.117)-(1.118) ad una sola equazione nell’incognita e .
Derivando una volta rispetto al tempo la seconda equazione e combinando il risultato
così ottenuto con la prima, otteniamo l’equazione per il campo elettrico
!2 e
1 !j0
+ c 2" # " # e = $
2
!t
% !t
(1.119)
dove c = 1 / !µ . Questa equazione è tra le forme più generali di equazione di
propagazione del campo elettromagnetico in un mezzo lineare, non dispersivo,
omogeneo e privo di perdite. Essa è un’equazione delle onde vettoriale.
L’equazione (1.119) ha al più una sola soluzione se, oltre alle condizioni iniziali
per e e !e / !t
e ( P;t = t 0 ) = e 0 ,
!e
!t
t =0
1
1
= " # b 0 $ j ( P;t = t 0 ) ,
c
%
(1.120)
si assegna anche la componente tangente del campo elettrico su !" ,
e ! n̂
"#
= g ( P;t ) $P %"#, t 0 < t & t f .
(1.121)
Se il materiale che riempie la regione ! avesse una conducibilità elettrica diversa
da zero all’equazione (1.119) bisogna aggiungere un altro termine,
! 2 e 1 !e
1 !j0
+
+ c 2# $ # $ e = %
2
!t
" !t
& !t
(1.122)
dove ! = " / # è il tempo di rilassamento delle cariche. Questa è l’equazione delle
onde vettoriale con perdite. Inoltre, se 1 / ! è molto più grande della frequenza
caratteristica del problema e la lunghezza caratteristica di variazione del campo è
molto più piccola rispetto alla lunghezza d’onda caratteristica allora il primo termine a
sinistra della (1.122) è trascurabile rispetto agli altri due e l’equazione può essere
semplificata nella forma
!e
1 !j0
+ D" # " # e = $
!t
% !t
8
(1.123)
Le condizioni iniziali ( e 0 , b 0 ) per il campo elettromagnetico devono essere compatibili con leggi
! " e 0 = # ( P; t = 0 ) / $ e ! " b 0 = 0 ; ciò garantisce che le soluzioni del sistema (1.117)-(1.118)
verificano naturalmente le leggi ! " e = # / $ e ! " b = 0 per ogni istante di tempo. Inoltre, assegnare la
distribuzione del campo elettromagnetico in un dato istante equivale ad assegnare l’energia
immagazzinata nel campo elettromagnetico in quell’istante.
G. Miano, Appunti del Corso di Modelli Numerici per i Campi, 2009
24
dove D = 1 / !µ . Questa equazione è un esempio di equazione di diffusione vettoriale.
1.9.2 Equazione di Helmholtz vettoriale
Nel dominio della frequenza l’equazione (1.119) diventa l’equazione di Helmholtz
vettoriale. Infatti, posto j ( P;t ) = Re { J ( P ) exp ( i! t )} e e ( P;t ) = Re {E ( P ) exp ( i! t )} ,
dalla (1.119) otteniamo
! " ! " E # k 2 E = #i$µ J
(1.124)
dove k = ! / c . Ricordando che ! " ! " E = #! 2 E + !! $ E e tenendo conto che
! " E = # / $ , dalla (1.124) otteniamo9
1
(1.125)
! 2 E + k 2 E = i"µ J + !$ .
#0
Questa è un’equazione di Helmholtz vettoriale con forzamento. Essa deve essere
risolta con la condizione al contorno
n̂ ! E
"#
= G ( P ) $P %"# .
(1.126)
L’equazione vettoriale di Helmholtz governa anche le soluzioni sinusoidali
dell’equazione delle onde con perdite (in questo caso è k 2 = ! 2 " i! / # / c 2 ) e
(
)
dell’equazione di diffusione vettoriale (in questo caso è k = !i" / #µ ).
2
1.9. 3 Unicità della soluzione
Prima mostreremo che l’equazione (1.119) con le condizioni iniziali (1.120) e la
condizione al contorno (1.121) ha al più una sola soluzione.
Supponiamo che e1 e e 2 siano due soluzioni distinte di uno dei problemi
considerati. Poniamo w = e1 ! e 2 ; vogliamo dimostrare che w = 0 . Osserviamo che
w soddisfa l’equazione omogenea
!2 w 1
+ "#"#w= 0
!t 2 c 2
(1.127)
con la condizioni iniziali
w ( P;t = t 0 ) = 0 ,
!w
!t
t =0
=0
9
(1.128)
Il laplaciano vettoriale di un generico campo E è così definito ! 2 E = "! # ! # E + !! $ E . Il
laplaciano vettoriale in coordinate cartesiane rettangolari è dato da ! 2 E = x̂! 2 E x + ŷ! 2 E y + ẑ! 2 Ez .
G. Miano, Appunti del Corso di Modelli Numerici per i Campi, 2009
25
e della seguente condizione al contorno
w ! n̂
"#
= 0 $P %"#, t 0 < t & t f .
(1.129)
Moltiplichiamo ambo i membri dell’equazione (1.127) per !w / !t ed integriamo su
! ; si trova
!w ! 2 w
1
$# !t " !t 2 dV + c2
$
#
!w
" % & % & wdV = 0 .
!t
(1.130)
Ora
!w ! 2 w
1 d
$# !t " !t 2 dV = 2 dt
% !w (
$# '& !t *) dV ,
2
(1.131)
e, dalla formula di Gauss10
!w
1 d
" # $ # $ wdV =
% !t
2 dt
&
2
( !w
+
# $ w dV ' & *
$ ( # $ w ) - " n̂dS .
%
!% !t
)
,
&
(1.132)
Posto
1 " !w %
1
E (t ) = + $
dV + 2
'
2 * # !t &
2c
2
+
*
( ) w dV
2
(1.133)
dalle equazioni (1.130) e (1.129) otteniamo
dE
=
dt
,
!+
!
$ !w
'
&% !t " ( # " w ) )( * n̂dS = - ,!+ !t ( w " n̂ ) * ( # " w ) dS = 0 . (1.134)
Di conseguenza, la funzione E ( t ) è costante. Essendo E ( 0 ) = 0 deduciamo che
E ( t ) = 0 per t 0 ! t ! t f . Poiché entrambi i termini nell’espressione di E sono positivi
si conclude che !w / !t = 0 in ogni punto di ! e ciò implica w ( P;t ) = 0 , che è
quanto si voleva provare. E’ immediato dimostrare che l’unicità della soluzione è
garantita anche imponendo la componente tangente del campo magnetico sulla
frontiera !" .
Ora studieremo l’unicità della soluzione dell’equazione di Helmholtz vettoriale con
la condizione al contorno (1.126). Conviene partire direttamente dalla forma (1.124).
Supponiamo che E1 e E2 siano due soluzioni distinte dell’equazione (1.124).
#w .
#w
% #w
( +
$ (! $ w )* = - ! $
" %! $ ( ! $ w ) () ; il
Richiamiamo l’identità vettoriale ! " '
0/ " ( ! $ w ) 1
,
#t
#t &
& #t
)
1 !
primo termine del secondo membro può essere riscritto nel seguente modo
%( " # w ) $ ( " # w ) '( .
2 !t &
Applicando a questa identità la formula di Gauss si ottiene la (1.132).
10
G. Miano, Appunti del Corso di Modelli Numerici per i Campi, 2009
26
Poniamo W = E1 ! E2 ; vogliamo determinare sotto quali condizioni W = 0 .
Osserviamo che W soddisfa l’equazione omogenea:
! " ! " W # k 2W = 0
(1.135)
con la condizione al contorno
n̂ ! W
"#
= 0 $P %"# .
(1.136)
Moltiplichiamo ambo i membri dell’equazione (1.135) per W! ( W! è il complesso
coniugato di W ) ed integriamo su ! ; si trova
&
%
W! " # $ # $ WdV ' k 2 & W dV = 0 .
2
%
(1.137)
Ora dalla formula di Gauss11
&
%
W! " # $ # $ WdV =
1
2
# $ w dV ' & () W! $ ( # $ W ) *+ " n̂dS .
&
%
,%
2
(1.138)
Utilizzando la (1.138) dalle (1.137) e (1.136) si ha
1
2
2
! " W dV % k 2 $ W dV =
$
#
#
2
$
,#
'( W& " ( ! " W ) )* + n̂dS .
(1.139)
Imponendo la condizione al contorno (1.136) si ottiene finalmente
1
2
2
! " W dV = k 2 $ W dV .
$
#
#
2
(1.140)
Se k 2 è reale e positivo (caso senza perdite), l’equazione (1.140) ha soluzioni diverse
da zero se k 2 coincide con un autovalore del problema12. Portando in conto gli effetti
delle perdite k 2 è complesso, l’equazione (1.140) ha solo la soluzione identicamente
nulla e l’equazione di Helmholtz vettoriale con la condizione al contorno sulla
componente tangente ha un’unica soluzione.
Richiamiamo l’identità vettoriale ! " %& W# $ ( ! $ W ) '( = ! $ W ) W# " %&! $ ( ! $ W ) '( . Applicando
a questa identità la formula di Gauss si ottiene la (1.138).
12
Se k 2 coincide con un autovalore del problema “ ! 2 w + " w = 0 in ! con la condizione al contorno
n̂ ! w "# = 0 ”, possono verificarsi due casi: l’equazione “ ! 2 u + k 2 u = f con la condizione al contorno
11
n̂ ! u
2
"#
= g ” ha infinite soluzioni se f è ortogonale (nel senso dell’analisi funzionale) alla
corrispondente autofunzione, altrimenti l’equazione non ha soluzione.
G. Miano, Appunti del Corso di Modelli Numerici per i Campi, 2009
27
1.9.4 Propagazione nello spazio vuoto
Un altro problema molto particolare, ma allo stesso tempo molto importante, è il
calcolo del campo elettromagnetico nel dominio della frequenza generato da una
distribuzione di densità di corrente e di carica nel vuoto. Le equazioni che governano
questo problema sono:
! " E = #i$ B !P "#$ ,
i#
! " B = 2 E + µ0 J 0 !P "#$ ,
c
(1.141)
(1.142)
dove il campo di densità di corrente J 0 è legato al campo di densità di carica !0
dall’equazione di continuità della carica.
La soluzione di questo problema è semplice se si introducono i potenziali
elettromagnetici: il potenziale vettore magnetico A = A ( P ) ed il potenziale scalare
elettrico ! = ! ( P ) . Il campo elettromagnetico è espresso nel seguente modo in
funzione dei potenziali:
E = !i" A ! #$ ,
B = !"A.
(1.143)
(1.144)
Il campo elettromagnetico così rappresentato verifica automaticamente l’equazione
(1.141). Imponendo che sia anche verificata anche l’equazione (1.142) otteniamo 13
"2
i" )
&
! A + 2 A # ! (! $ A + 2 % + = # µ0 J !P "#$ .
c
c *
'
2
(1.145)
Sostituendo ancora l’espressione (1.143) nell’equazione che governa la divergenza del
campo elettrico (questa equazione può essere ottenuta dall’equazione (1.142) e
dall’equazione di continuità della carica)
!"E =
#0
$0
(1.146)
abbiamo un’equazione simile alla (1.145) ma con i potenziali scambiati di posto
#2
i# (
,
%
!P "#$ .
! " + 2 " + i# '! $ A + 2 " * = +
c
c )
-0
&
2
(1.147)
Siccome per un assegnato campo elettromagnetico esistono infiniti potenziali
elettromagnetici che lo rappresentano (il potenziale vettore è definito univocamente a
meno di un gradiente di potenziale scalare !" ed il potenziale scalare a meno di
13
Abbiamo utilizzato l’identità ! " ! " A = #! 2 A + !! $ A dove ! 2 A è il laplaciano vettoriale del
campo vettoriale A .
G. Miano, Appunti del Corso di Modelli Numerici per i Campi, 2009
28
!i"# ) si può imporre una condizione aggiuntiva ai potenziali elettromagnetici. Noi
qui useremo la gauge di Lorentz
!"A +
i#
$ = 0.
c2
(1.148)
Con questa scelta le equazioni (1.145) e (1.147) diventano
"2
! A + 2 A = # µ0 J !P "#$ .
c
#2
%
!P "#$ .
! 2" + 2 " = $
c
&0
2
(1.149)
(1.150)
Queste equazioni devono essere risolte imponendo la condizione di regolarità
all’infinito per il campo elettromagnetico. Le soluzioni sono
µ0
G rPQ J (Q ) dVQ ,
4! #"
1
! (P) =
G rPQ & (Q ) dVQ ,
4"# 0 %$
A(P) =
( )
(1.151)
( )
(1.152)
dove G è la funzione di Green (completa) per lo spazio vuoto
e!ikr
G (r ) =
.
r
(1.153)
Le espressioni dei potenziali elettromagnetici (1.151) e (1.152) verificano la gauge di
Lorentz in quanto J 0 e !0 verificano l’equazione di continuità della carica.
1.10 Formulazioni integrali di problemi di elettromagnetismo
Nella maggior parte delle applicazioni dell’elettromagnetismo bisogna analizzare
problemi definiti in tutto lo spazio. In queste situazioni le formulazioni differenziali
soffrono del fatto che le funzioni incognite sono definite in un dominio illimitato. Un
modo per risolvere questo problema consiste nel determinare le equazioni al contorno
su frontiere fittizie al finito che tengono conto degli effetti delle condizioni
all’infinito. Un altro modo consiste nel riformulare il problema in modo tale che le
incognite siano definite in domini limitati. Ora mostreremo con due esempi il secondo
metodo.
1.10.1 Un problema di elettrostatica
Consideriamo il campo elettrostatico generato da una distribuzione di carica con
densità volumetrica !0 = !0 ( P ) assegnata, il cui supporto è la regione !0 , in
presenza di un corpo metallico che occupa la regione ! . La carica totale del corpo
G. Miano, Appunti del Corso di Modelli Numerici per i Campi, 2009
29
metallico è uguale a zero. Come al solito indichiamo con !" la sua frontiera e con n̂
il versore normale uscente da ! .
In elettrostatica sono assenti le correnti, quindi il campo elettrico nel corpo
metallico è uguale a zero. Siccome la componente tangente del campo elettrico è
continua anche in corrispondenza di superfici di discontinuità, la componente
tangente del campo elettrico sulla faccia esterna del corpo metallico è zero. Allora le
equazioni che governano il problema sono:
#0
in !" \ ! ,
$0
! " E = 0 in !" \ ! ,
E ! n "# = 0 su !" ,
E regolare all’infinito;
!"E =
(1.154)
(1.155)
(1.156)
(1.157)
con !" \ ! intendiamo la regione di spazio complementare di ! rispetto a !" . Il
modulo del campo elettrico deve tendere a zero all’infinito almeno come 1 / r 2 per
garantire la limitatezza dell’energia associata al campo elettrico (condizione (1.157)).
Introducendo il potenziale elettrico scalare, E = !"U , il problema in esame è
ricondotto alla soluzione dell’equazione di Poisson:
! 2U = "
#0
in !" \ ! ,
$0
(1.158)
con le condizioni al contorno:
U
!"
= U M su !" ,
U regolare all’infinito,
(1.159)
(1.160)
dove U M è una costante da determinare imponendo che la carica totale su !" è
uguale a zero. La condizione al contorno (1.159) è una diretta conseguenza del fatto
che la componente tangente del campo elettrico è uguale a zero su !" (la
componente tangente del campo elettrico è uguale, a meno del segno, alla derivata
direzionale del potenziale lungo la direzione tangente). Il modulo del potenziale
elettrico deve tendere a zero all’infinito almeno come 1 / r per garantire la limitatezza
dell’energia associata al campo elettrico (condizione (1.160)).
La funzione incognita di questo problema è definita in un dominio illimitato. Ora
riformuleremo il problema in modo tale che l’incognita (una nuova incognita) sia
definita in un dominio limitato.
Il corpo metallico reagisce al campo elettrico generato dalla distribuzione di carica
di densità !0 attraverso una distribuzione di carica superficiale ! = ! ( P ) che nasce
sulla sua superficie. L’azione di questa distribuzione è quella di controbilanciare il
campo elettrico generato da !0 all’interno del corpo metallico di modo ché il campo
elettrico complessivo nel corpo metallico sia uguale a zero.
Il campo elettrico totale può essere, allora, rappresentato attraverso la
sovrapposizione del campo elettrico generato dalla distribuzione di carica di densità
!0 come se fosse nel vuoto, che indichiamo con E0 = E0 ( P ) , e del campo elettrico di
G. Miano, Appunti del Corso di Modelli Numerici per i Campi, 2009
30
“reazione” generato dalla distribuzione di carica superficiale ! indotta sulla
superficie del metallo, come se fosse anche essa nel vuoto, che indichiamo con
Er = Er ( P ) .
Il contributo E0 è dato da E0 = !"U 0 dove
1
4!" 0
U0 ( P ) =
%
$0
#0 (Q )
dVQ
rPQ
(1.161)
ed rPQ è il vettore che parte dal punto sorgente Q e termina nel punto campo P . Il
contributo Er è dato da Er = !"U r dove
1
4!" 0
Ur ( P ) =
&
$%
# (Q )
dSQ .
rPQ
(1.162)
Il contributo al potenziale dovuto a !0 è sufficientemente regolare da consentire
l’inversione dell’operatore gradiente con l’operatore integrale di volume nel calcolo di
E0 ,
E0 ( P ) =
1
4!" 0
%
r̂PQ
$0
# (Q ) dVQ ,
2
rPQ
(1.163)
dove r̂PQ = rPQ / rPQ . Il campo E0 è ovunque continuo.
Il potenziale dovuto alla densità di carica superficiale ! , invece, non è
sufficientemente regolare in corrispondenza di !" da consentire l’inversione
dell’operatore gradiente con l’operatore integrale di superficie nel calcolo di Er in
corrispondenza di !" . Infatti pur essendo la componente tangente di Er continua
ovunque, la componente normale è discontinua in corrispondenza di !" a causa della
presenza della carica superficiale.
Indichiamo con l’apice “ ! ” le grandezze valutate sulla faccia interna di !" e con
l’apice “ + ” le grandezze valutate sulla faccia esterna di !" . Si dimostra che
Er ( P ) =
n̂ ( P ) ! E(r± ) ( P ) =
1
4"# 0
'
1
4!" 0
&
$%
n̂ ( P ) ! r̂PQ
%&
rPQ
2
r̂PQ
# (Q )
rPQ
2
dSQ !P "#$ ,
$ (Q ) dSQ ±
1
$ ( P ) !P "#$ .
2# 0
(1.164)
(1.165)
Siccome la componente tangente di Er è continua attraverso !" può essere calcolata
attraverso la (1.164). La funzione n̂ ( P ) ! r̂PQ / rPQ
2
nell’integrale a secondo membro
della (1.165) è limitata Q ! P .
G. Miano, Appunti del Corso di Modelli Numerici per i Campi, 2009
31
In conclusione, se conoscessimo ! il problema sarebbe risolto. Purtroppo non
conosciamo ! , però possiamo cercare l’equazione che la governa. E’ interessante
cercare questa equazione perché il dominio di definizione di ! è limitato, coincide
con la frontiera del corpo metallico.
Esistono due strade per determinare l’equazione che governa ! , noi le
percorreremo entrambe.
1.10.1.1 Equazione integrale di Fredholm di prima specie
E’ possibile determinare l’equazione che governa ! imponendo che il potenziale
elettrostatico totale dato dalla somma di U r e U 0 sia uguale sulla superficie del
metallo alla costante U M ,
1
4!" 0
# (Q )
dSQ = U M ' U 0 ( P ) !P "#$ .
$%
rPQ
&
(1.166)
L’equazione (1.166) è l’equazione che governa la densità di carica. Essa è
un’equazione integrale di Fredholm di prima specie: la funzione incognita ! compare
solo sotto l’operazione di integrale. La funzione 1 / rPQ è il nucleo dell’equazione
integrale, che è singolare per Q ! P .
In realtà anche il parametro U M è incognito. Esso può essere determinato
utilizzando la linearità dell’operatore integrale. Indichiamo con " ! = " ! ( P ) la
soluzione dell’equazione integrale
$ # (Q )
1
(1.167)
dSQ = 1 !P "#$
'
%&
4!" 0
rPQ
e con " !! = " !! ( P ) la soluzione dell’equazione integrale
1
4!" 0
'
%&
$ ## (Q )
dSQ = (U 0 ( P ) !P "#$ .
rPQ
(1.168)
La soluzione dell’equazione (1.166) è data allora da
! = U M ! " + ! "" .
(1.169)
Imponendo che la carica totale sulla superficie del conduttore sia uguale a zero
otteniamo:
UM = !
&
&
$%
# "" (Q ) dSQ
$%
# " (Q ) dSQ
.
(1.170)
G. Miano, Appunti del Corso di Modelli Numerici per i Campi, 2009
32
1.10.1.2 Equazione integrale di Fredholm di seconda specie
Il problema di determinare l’equazione che governa la densità di carica superficiale
! può essere affrontato anche in un altro modo. La componente normale del campo
elettrico totale in corrispondenza della superficie metallica è discontinua, all’interno
del corpo è uguale a zero, all’esterno è uguale a ! / " 0 ,
n̂ ( P ) ! E( + ) ( P ) = " / # 0 $P %&' .
(1.171)
D’altronde n̂ ( P ) ! E( + ) ( P ) è dato da
n̂ ( P ) ! E( + ) ( P ) = n̂ ( P ) ! E0 ( P ) +
1
4"# 0
'
n̂ ( P ) ! r̂PQ
%&
rPQ
2
$ (Q ) dSQ +
1
$ ( P ) . (1.172)
2# 0
Combinando le (1.171) e (1.172) otteniamo l’equazione integrale
1
4!" 0
'
%&
n̂ ( P ) # r̂PQ
rPQ
2
$ (Q ) dSQ (
1
$ ( P ) = ( n̂ ( P ) # E0 ( P ) !P "#$ . (1.173)
2" 0
Questa è una equazione integrale di Fredhlom di seconda specie: la funzione
incognita appare anche fuori dall’operatore di integrale. Inoltre, il nucleo
dell’equazione integrale K ( P,Q ) = n̂ ( P ) ! r̂PQ / rPQ
2
è, come già osservato, regolare.
1.10.2 Un problema di scattering elettromagnetico
In questo paragrafo analizzeremo il seguente problema: determinare, nel dominio
della frequenza, il campo elettromagnetico generato da una distribuzione di correnti
con densità di corrente volumetrica J 0 in presenza di un conduttore perfetto che
occupa la regione di spazio ! . In un conduttore elettrico perfetto il campo elettrico è
uguale a zero in qualsiasi condizione. Come al solito indichiamo con !" la sua
frontiera e con n̂ il versore normale uscente da ! .
Il problema è governato dalle equazione
! " ! " E # k 2 E = #i$µ J 0
(1.174)
con le condizioni al contorno
E ! n̂
"#
= 0,
E regolare all’infinito.
(1.175)
(1.176)
Questo problema può essere riformulato in modo tale che l’incognita è definita in un
dominio limitato come nel precedente problema.
G. Miano, Appunti del Corso di Modelli Numerici per i Campi, 2009
33
Indichiamo con E0 il campo elettrico generato dal campo di corrente J 0 se non vi
fosse il conduttore elettrico perfetto (come se fosse nel vuoto). Il campo E0 induce
sulla superficie del conduttore elettrico perfetto una corrente superficiale di densità jS
che a sua volta genera un campo elettrico che controbilancia il campo E0 di modo
ché il campo elettrico totale sia uguale a zero. Al campo di densità jS è associata
anche una distribuzione di carica superficiale di densità ! in accordo con l’equazione
di continuità della carica
! S " jS = #i$%
(1.177)
dove ! S " ( ) è l’operatore divergenza superficiale definito su !" .
Indichiamo con Er il campo elettrico di reazione generato dalle sole correnti e
cariche superficiali indotte su !" come se fossero nel vuoto. Il campo elettrico totale
è dato, allora, da
E = Er + E0 .
(1.178)
Imponendo la condizione al contorno (1.175) otteniamo
Er ! n̂
"#
= $E0 ! n̂
"#
,
(1.179)
ovvero la componente tangente del campo elettrico di reazione sulla superficie del
conduttore deve essere opposta alla componente tangente del campo “incidente”
prodotto dalla sorgente esterna.
Il campo elettrico di reazione può essere espresso in funzione jS e ! utilizzando i
potenziali elettromagnetici del campo di reazione A r e !r . Abbiamo
(1.180)
Er = !i" A r ! #$r
dove
µ0
G rPQ jS (Q ) dSQ ,
4! $"#
1
! (P) =
G rPQ ' (Q ) dSQ .
4"# 0 &$%
Ar ( P ) =
( )
(1.181)
( )
(1.182)
Sostituendo le espressioni (1.181) e (1.182) nella (1.180) e sostituendo l’espressione
così ottenuta nella (1.179) si ottiene l’equazione
) i!µ0
+
* 4"
%
#$
( )
G rPQ jS (Q ) dSQ +
,
1
' P % G rPQ ( (Q ) dSQ . / n̂
#$
4"& 0
-
( )
#$
= 0E0 / n̂
#$
(1.183)
da imporre per ogni P !"# . Questa equazione è accoppiata all’equazione di
continuità della carica (1.177). Sostituendo la (1.177) nella (1.183) otteniamo
l’equazione per il campo di densità di corrente superficiale jS
G. Miano, Appunti del Corso di Modelli Numerici per i Campi, 2009
34
* i!µ0
,
+ 4"
%
#$
( )
G rPQ jS dSQ &
1
( P % G rPQ ( S ) jS dSQ / 0 n̂
#$
4" i!' 0
.
( )
#$
= &E0 0 n̂
#$
(1.184)
da imporre per ogni P !"# . Abbiamo ottenuto un’equazione integro-differenziale
nell’incognita jS definita sulla superficie !" , che è un dominio limitato.
G. Miano, Appunti del Corso di Modelli Numerici per i Campi, 2009