Terzo foglio di Esercizi. MCD, Divisione Euclidea. Primi.

ALGEBRA I: ESERCIZI SU MCD, PRIMI E DIVISIONE EUCLIDEA
(1) Sia n un intero positivo. Calcolare il MCD(n, n + 2).
(2) Fra i numeri 66, 105, 42, 70, e 165, trovare le coppie di numeri coprimi.
(3) Consideriamo le coppie di interi (51, 87), (105, 300), (981, 1234) (34709, 100313). Per
ogni tale coppia calcolare il massimo comune divisore d e scrivere d come combinazione
lineare intera dei due elementi della coppia.
(4) Una cometa appare ogni 17 anni, un’altra ogni 13. Se sono apparse entrambe nel 190, in
quale anno riappariranno insieme?
(5) Trovare tutte le coppie di interi che hanno MCD uguale a 18 e mcm uguale a 540.
(6) Dimostrare che se n1 , n2 , . . . , nr sono interi, allora
M CD(n1 , n2 , . . . , nr ) = M CD(n1 , M CD(n2 , . . . , nr )).
(7) Dimostrare che se n1 , n2 , . . . , nr sono interi a due a due coprimi, mcm(n1 , n2 , . . . , nr ) =
n1 n2 · · · nr .
(8) È sempre vero che se n divide hk, allora o n divide h o n divide k?
(9) Dimostrare che se MCD(h,k)=1, allora n divide hk implica che n divide h o n divide k.
(10) Sia {Fn } l’insieme dei numeri di Fibonacci. Dimostra re che per ogni n, MCD(Fn , Fn+1 ) =
1
(11) Dimostrare che ci sono infiniti numeri primi distinti.
Q
Q
(12) Siano m e n due interi. Siano m = ± phi I , n = ± pki i le fattorizzazioni dei due interi
in primi distinti. Dimostrare che
Y min(h ,k )
Y max(h ,k )
1 i
1 i
M CD(m, n) =
pi
mcm(m, n) =
pi
.
(13) Dimostrare che ogni numero intero N si fattorizza in modo unico come n = `2 k con k
non avente alcun quadrato (> 1) come divisore.
(14) Dimostrare che dato comunque N ci sono due primi consecutivi (ovvero tale che nessun
numero p < h < q sia primo) tali che q − p ≥ N .
(15) Dimostrare che se MCD(n, a)=1 e MCD(n, b)=1, MCD(n, ab)=1.
(16) Dimostrare che se n divide ab e MCD(n, a)=1, allora n divide b.
(17) Dimostrare che se MCD(n, a)=1, allora MCD(nh , ak )=1 per ogni h, k ≥ 1.
(18) Si considerino i numeri interi positivi della forma 3h + 1. Essi si dicono H interi positivi
(in onore di Hilbert).
(a) Dimostrare che il prodotto di due H interi positivi è un H intero positivo.
(b) Diciamo che un H intero positivo n è indecomponibile se non si può scrivere come
prodotto di due H interi entrambi minori di n. Dimostrare che un H intero positivo
è indecomponibile se o è primo o è prodotto di due primi della forma 2h + 2 (per
esempio 4, 7, 25 sono indecomponibili)
1
2
ALGEBRA I
(c) Dimostrare che ogni H intero positivo è prodotto di indecomponibili. Tale decomposizione è unica?
(d) Dimostrare che dato un numero dispari n, o n o −n sono
Qdella forma 3h+1. Dedurne
che ogni H intero positivo n si fattorizza come n = ± pi con pi = 3hi + 1 e o pi o
−pi è primo.
(19) Sia n. Fattorizziamo n come prodotto di primi
n = ph1 1 · · · phmm
Quanti sono i divisori distinti di n?
(20) Quali sono gli interi che hanno un numero di divisori dispari?
(21) Quali numeri fra 1 e 100 hanno il massimo numero di divisori?