Calcolo delle Probabilità 2016/17 – Foglio di esercizi 2 bis†

Calcolo delle Probabilità 2016/17 – Foglio di esercizi 2 bis†
Probabilità condizionale e indipendenza (+ calcolo combinatorio).
In vista dell’esercitazione del 17/10/2016, si consiglia in particolare di svolgere l’esercizio 2
di questo foglio, e gli esercizi n. 9, 8, 12, 13 del foglio 2.
Parte I. Probabilità condizionale e indipendenza
Esercizio 1. Da un’urna contenente N palline di cui M rosse e N − M verdi, con 1 ≤ M ≤
N − 1, si estrae una pallina e quindi, senza reimmetterla nell’urna, si estrae una seconda
pallina. Si calcoli la probabilità degli eventi A1 := “la prima pallina estratta è rossa” e A2 :=
“la seconda pallina estratta è rossa”. Essi sono indipendenti?
Che cosa succede nel limite N, M → ∞ con M/N → p ∈ [0, 1]?
Esercizio 2. Un commerciante acquista certe componenti elettriche in egual misura da due
fornitori A e B. Viene a sapere che il 15% delle componenti provenienti da B è difettosa,
cioè si rompono dopo poche ore di utilizzo, contro solo il 3% di quelle provenienti da A.
Dato che il numero di componenti prodotte da A e B è presumibilmente molto elevato,
si può interpretare tale informazione nel modo seguente: le componenti provenienti da A
hanno probabilità del 3% di essere difettose, indipendentemente le une dalle altre, mentre
tale probabilità è pari al 15% per le componenti provenienti da B. (Si pensi alle estrazioni
con e senza reimmissione di palline da un’urna popolosa.)
Il commerciante è in procinto di mettere in vendita una confezione di tali componenti,
tutte provenienti dallo stesso fornitore, ma di cui non ha registrato la provenienza. Per
conoscerne la provenienza, testa le componenti della confezione. Sia A l’evento “le componenti
provengono da A” e sia Di l’evento “l’i-esima componente testata è difettosa”.
(a) Ci si convinca che, rispetto alla probabilità P( · | A), gli eventi (Di )i∈N sono indipendenti
e hanno probabilità . . . . Analogamente, rispetto alla probabilità P( · | Ac ), . . .
(b) Si calcolino P(D1 ), P(D2 ), P(D1 ∩D2 ) e si concluda che D1 e D2 non sono indipendenti
(rispetto alla probabilità originale P( · )). Si cerchi una spiegazione intuitiva.
(c) Qual è la probabilità che, su 20 componenti testate, 2 risultino difettose?
(d) Se accade che su 20 componenti testate 2 risultano difettose, con quale grado di
confidenza può ritenere che la partita gli sia stata fornita da B?
Esercizio 3 (Es. 1 del compitino 2015/16 – versione arricchita di due domande). Ho due
urne contenenti ciascuna dieci palline:
• l’urna A ne contiene 6 bianche, 3 rosse e 1 nera;
• l’urna B ne contiene 3 bianche, 5 rosse e 2 nere.
(a) Estraendo una coppia di palline dall’urna A, qual è la probabilità pA che almeno una
sia nera? Si calcoli l’analoga probabilità pB per l’urna B.
Si consideri ora il gioco seguente. Lancio una moneta equilibrata e scelgo l’urna A se
esce testa, l’urna B se esce croce. Estraggo una coppia di palline dall’urna scelta, poi
eventualmente una seconda coppia senza reimmissione, e così via, arrestandomi alla prima
estrazione in cui esce almeno una pallina nera.
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Ultima modifica: 13 ottobre 2016.
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(b) Qual è la probabilità che il gioco proceda oltre la prima estrazione?
(c) Sapendo che il gioco procede oltre la prima estrazione, è più probabile che sia uscita
testa o croce?
Supponiamo ora di modificare il gioco precedente, effettuando estrazioni con reimmissione.
(Per semplificare le notazioni, può essere utile porre qA := 1 − pA e qB := 1 − pB .)
(d) Qual è la probabilità che il gioco proceda oltre la n-esima estrazione, per n ∈ N fissato?
(e) Sapendo che il gioco procede oltre la n-esima estrazione, qual è la probabilità che sia
uscita testa? Se ne determini il limite per n → ∞.
Esercizio 4. Quante volte n è necessario lanciare un dado regolare a N facce, affinchè
la probabilità di ottenere almeno una volta il numero “1” sia superiore al 90%? Si calcoli
esplicitamente il valore di n per N = 6, N = 100, N = 1000.
Esercizio 5 (Es. 1 del II appello 2013/14). Siano A, B, C eventi.
(a) Si dimostri la seguente formula (assumendo che P(B ∩ A) > 0 e P(B c ∩ A) > 0):
P(C|A) = P(C|B ∩ A)P(B|A) + P(C|B c ∩ A)P(B c |A) .
Consideriamo ora un’urna contiene 3 palline bianche e 2 palline rosse. Pesco una pallina,
dopodiché lancio una moneta equilibrata: se esce testa reinserisco la pallina estratta nell’urna,
mentre se esce croce non la reinserisco. Estraggo quindi una seconda pallina dall’urna.
(b) Qual è la probabilità che le palline estratte siano entrambe rosse?
(c) Sapendo che le palline estratte sono entrambe rosse, è più probabile che la moneta
abbia dato come esito testa, oppure croce?
Esercizio 6 (Urna di Polya). Un’urna contiene inizialmente una pallina bianca e una pallina
nera. Estraggo una pallina dall’urna, dopodiché la reinserisco insieme a un’altra pallina dello
stesso colore. Qual è la probabilità che le prime n palline estratte siano tutte nere?
Esercizio 7 (Monty Hall, con strategia del presentatore). Ho in mano tre buste, di cui una
contiene un premio, mentre le altre due sono vuote. Voi pescate una busta (e non la aprite).
Io apro una delle buste che ho in mano, che risulta vuota, e vi propongo di cambiare la
busta che avete in mano con quella ancora chiusa. Vi conviene cambiare?
La risposta dipende dalla strategia che adotto nell’aprire le buste. Si calcoli la probabilità
di vincere il premio, cambiando o non cambiando busta, nei due casi seguenti.
(a) Apro volutamente una busta vuota (almeno un delle buste che ho in mano è vuota).
(b) Scelgo “a caso” la busta da aprire, e accade che questa risulti vuota.
Esercizio 8. (*) Siano assegnati tre numeri: α1 , α2 ∈ [0, 1] e β ∈ (0, 1).
(a) Si mostri che esiste uno spazio di probabilità contenente due eventi A, B tali che
P(B) = β ,
P(A|B) = α1 ,
P(A|B c ) = α2 .
[Sugg. Si consideri Ω = {ab, ab̄, āb, āb̄} = {a, ā} × {b, b̄}, definendo A := {ab, ab̄}, B := {ab, āb}
e mostrando che esiste un’unica probabilità P su Ω che soddisfa le specifiche richieste.]
(b) Si mostri che come spazio di probabilità per il punto precedente si può prendere
(Ω = (0, 1), A = B((0, 1)), P = Leb), con B := (0, β) e definendo opportunamente A.
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Parte II. Esercizi aggiuntivi di calcolo combinatorio.
Esercizio 9. Una lotteria emette n biglietti, di cui m < n sono vincenti. Qual è la probabilità
che un possessore di r biglietti ne abbia almeno uno di vincente?
Esercizio 10. Quattro coppie di sposi salgono su un minibus con otto posti a sedere,
disposti in quattro coppie di sedili adiacenti.
Se le otto persone scelgono i posti in modo casuale, qual è la probabilità che ciascuno sposo
sieda accanto alla propria consorte?
Esercizio 11. Si supponga di avere un mazzo di n chiavi diverse. Dovendo aprire una
serratura di cui si ha la chiave, si provano a caso le n chiavi, mettendo da parte quello già
provate, fino a che non si è trovata la chiave giusta. Qual è la probabilità di trovare la chiave
giusta al k-esimo tentativo, con 1 ≤ k ≤ n?
Esercizio 12. In una estrazione del Lotto su una determinata ruota vengono estratti a caso
5 numeri tra 1 e 90. Si calcoli la probabilità di fare:
(a) ambata giocando un numero n (cioè n è tra i 5 numeri estratti);
(b) ambo giocando due numeri n, m (cioè n e m sono tra i 5 numeri estratti);
(c) terno giocando tre numeri n, m, k (cioè n, m e k sono tra i 5 numeri estratti);
[Nella realtà che le vincite vengono pagate molto meno di quanto sarebbe “equo”: per
l’ambata si oggiene 11.23 volte la giocata (invece di 18), per l’ambo 250 volte (invece di
400.5), per il terno 4500 volte (invece di 11748).]
Esercizio 13. (*) n paia di guanti vengono mescolate, e poi distribuite a caso a n persone
(due guanti per persona).
(a) Qual è la probabilità pn che ognuno riceva un guanto per la mano destra e uno per la
sinistra?
il comportamento asintotico pn per n → ∞ usando la formula di Stirling
(b) Si determini√
n! ∼ nn e−n 2πn.
Esercizio 14. (*) Sia Ω 6= ∅ un insiemeSfissato e si consideri una sua partizione finita
A1 , . . . , An (ossia Ai ∩ Aj = ∅ per i 6= j e ni=1 Ai = Ω). Si consideri A = σ(A1 , . . . , An ), la
σ-algebra generata da tale partizione.
(a) Mostrare che A è formata dall’insieme vuoto e da tutte le possibili unioni degli insiemi
Ai , vale a dire
[
A = BI =
Ai : I ⊆ {1, . . . , n}
i∈I
(dove
S
i∈∅ Ai := ∅). Mostrare inoltre che BI ∩ BJ = ∅ per I 6= J.
(b) Mostrare che la cardinalità di A è pari a 2n .