Gli elementi di Euclide

1
Gli elementi di Euclide
18 novembre 2009
F.Odetti
DIPTEM
2
Un fatto poco noto
Quale libro ha avuto più
edizioni al mondo?
La Bibbia
Quale libro viene al
secondo posto?
Gli Elementi di Euclide
F.Odetti
DIPTEM
3
Euclide questo sconosciuto
Cosa sono gli Elementi di Euclide ?
I
I
I
I
I
I
Euclide - Justus di Ghent
ca. 1474 - Urbino
È un trattato di Geometria.
Risale circa al III secolo a.C.
È diviso in 13 Libri.
È scritto in greco classico
(attico).
Geometria del piano e dello
spazio.
Teoria delle proporzioni
Aritmetica dei numeri
Solidi platonici.
F.Odetti
DIPTEM
4
Chi era Euclide
I
I
I
I
Quasi nessun dato biografico
A volte è detto Euclide di Alessandria.
Proclo nel V secolo scrisse un
“Commento agli Elementi” e ci dà
qualche scarsa indicazione.
Altri indizi da Pappo (II sec.d.C.) e
Stobeo (V sec.d.C.).
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F.Odetti
DIPTEM
5
Euclide come Omero. È esistito davvero?
È presente in tutte le biblioteche
di matematica un’opera colossale:
N.Bourbaki
Éléments de mathématique”
Più di venti volumi
Pubblicata in Francia tra il 1935 e
il 1968 (e anche dopo).
Ma l’autore N.Bourbaki
non è mai esistito
È un pool di matematici che hanno voluto mantenere l’anonimato
Forse anche Euclide è uno pseudonimo
F.Odetti
o un pool di matematici...
DIPTEM
6
Euclide primo geometra di cui abbiamo un’opera
Secondo Proclo: Euclide attinse da
Talete, che imparò la matematica dagli Egizi (secondo Erodoto).
Pitagora, il sommo.
La matematica pre-euclidea è
praticamente sconosciuta.
Talete e Pitagora sono avvolti nella
leggenda.
Euclide (dalla “Scuola di Atene”)
Raffaello - ca. 1510 - Vaticano
Di Teeteto, Ippocrate di Chio e Eudosso di Cnido non si sa quasi niente.
F.Odetti
DIPTEM
7
Ci sono giunti due aneddoti
(da Proclo e Stobeo, V secolo d.C.)
I
Non esistono vie regie alla
geometria
I
Dategli una monetina perché
possa dire di aver ricavato
qualcosa
F.Odetti
DIPTEM
8
Dove sono stati scritti gli Elementi?
Alessandro Magno voleva costruire una città col suo nome
L’architetto Dinocrate
propose di modellare il
monte Athos come statua di Alessandro.
F.Odetti
DIPTEM
9
Dove sono stati scritti gli Elementi?
Alessandro Magno voleva costruire una città col suo nome
Alessandro preferı̀ far
costruire a Dinocrate
una città su una lingua
di sabbia in Egitto.
E nacque nel 332 a.C. la città di Alessandria
F.Odetti
DIPTEM
10
Alessandria, una città modernissima
F.Odetti
DIPTEM
11
Alessandria centro culturale e tecnologico
Il Faro
(
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F.Odetti
DIPTEM
12
Purtroppo gran parte della scienza
alessandrina è andata perduta
Di Euclide ci sono rimasti gli Elementi,
ma non si sa niente dell’autore
F.Odetti
DIPTEM
13
Come ci sono pervenuti gli Elementi?
F.Odetti
DIPTEM
14
Il primo libro
stampato al mondo
con figure
geometriche
Venezia - 1482
Preclarissimus liber
elementorum Euclidis
Traduzione in latino
dall’arabo di
Giovanni Campano
da Novara
F.Odetti
DIPTEM
15
Gli Elementi di Euclide
EÎkleÐdou Stoiqeĩa
stoiqeĩon
= elemento
Per i platonici stoiqeĩa
erano i quattro elementi
Euclide è detto
Stoiqeiwt c
Comunque useremo “Libro” invece di “Elemento”
F.Odetti
DIPTEM
16
Piano generale dell’opera:
È costituito da 13 Libri (
ig' stoiqeĩa
)
1 geometria del piano:
dalle definizioni elementari al teorema di Pitagora
2 3 4 geometria del piano; i poligoni, la circonferenza
5 teoria delle proporzioni
6 uso delle proporzioni: similitudini
7 8 9 numeri primi, massimo comun divisore, numeri perfetti
10 grandezze incommensurabili (il più vasto e difficile)
11 12 geometria dello spazio:
parallelepipedi, prismi, piramidi, coni, sfere
13 solidi platonici
F.Odetti
DIPTEM
17
Come sono strutturati i Libri?
Ogni libro è diviso in proposizioni numerate.
Euclide non usa un termine per proposizione, pone solo un
numero.
I
I
I
I
I
I
Alcune proposizioni sono costruzioni.
Alcune proposizioni sono teoremi
(Euclide non usa questa parola)
A volte c’è un lemma (lh̃mma).
A volte c’è un corollario (pìrisma).
Quasi ogni Libro inizia con le definizioni (íroi).
Il primo Libro ha un’introduzione più articolata.
F.Odetti
DIPTEM
18
Le definizioni del primo Libro
Il primo Libro inizia con 23 definizioni (kg'
íroi
)
Le prime quattro definizioni
VOroi
a'. Shmeĩìn âstin, oÝ mèroc oÎjèn.
b'. Gramm˜ dà mh̃koc ‚platèc.
g'. Grammh̃c dà pàrata shmeĩa.
d'. EÎjeĩa gramm âstin, ¡tic âx Òsou toĩc âf' áauth̃c
shmeÐoic keĩtai.
íroc
significa confine, termine.
F.Odetti
DIPTEM
19
La prima definizione
Il primo
íroc
a'. Shmeĩìn âstin, oÝ mèroc oÎjèn.
1. Il punto è ciò che non ha parti
Letteralmente
1. Punto è, [ciò che] non [ha] nessuna parte
Euclide per punto usa shmeĩon
Prima di Euclide per punto si usava
stigm Sesto Empirico (II secolo d.C.) in Präc majhmatikoÔc
(Contro i matematici) dice che i matematici affermano:
stigm˜n màn eÚnai shmeĩon ‚meràc kaÈ ‚di€staton
essere il punto un segno senza parti e senza estensione
Forse non l’ha scritta Euclide
F.Odetti
DIPTEM
20
Seconda e terza definizione
Secondo e terzo
íroc
b'. Gramm˜ dà mh̃koc ‚platèc.
2. E linea è una lunghezza senza larghezza.
g'. Grammh̃c dà pàrata shmeĩa.
3. E gli estremi di una linea sono punti
F.Odetti
DIPTEM
21
La quarta definizione
Quarto
íroc
d'.
EÎjeĩa gramm âstin,
¡tic âx Òsou toĩc âf'
áauth̃c shmeÐoic keĩtai.
4. La linea retta è quella che giace allo stesso modo
rispetto ai suoi punti.
Forse la definizione è apocrifa
Retta è
eÎjeĩa
La retta è sempre terminata, peperasmènh aggiunge Euclide
diverse volte, cioè un segmento
F.Odetti
DIPTEM
22
Altre definizioni interessanti
e'. >Epifˆneia dè âstin, í mh̃koc kaÈ plˆtoc mìnon êqei.
5. Superficie è ciò che ha solo lunghezza e larghezza.
z'. >EpÐpedoc âpifˆneiˆ âstin, ¡tic âx Òsou taĩc âf áauth̃c
eÎjeÐaic keĩtai.
7. Il piano è una superficie che giace allo stesso modo rispetto
alle sue rette.
F.Odetti
DIPTEM
23
Altre definizioni
gwnÐa
angolo : inclinazione di due linee (anche non rette).
eÎjÔgrammoc gwnÐa
angolo rettilineo (tra due rette).
La retta perpendicolare: kˆjetoc eÎjeĩa
kˆjetoc significa cadente (ortogonalmente).
È la retta che forma due angoli uguali:
ognuno è detto angolo retto: ærjeĩa gwnÐa.
ia'. >Ambleĩa gwnÐa âstin ™ meÐzwn ærjh̃c.
11. L’angolo ottuso è quello maggiore del retto
ib'. >Oxeĩa dà ™ âlˆsswn ærjh̃c.
12. E l’acuto è quello minore del retto.
F.Odetti
DIPTEM
24
Altre definizioni
cerchio
kèntron centro
perifereÐa circonferenza
Raggio come distanza tra centro e circonferenza:
diˆsthma, cioè distanza.
Raggio come segmento dal centro alla circonferenza:
™ âk toũ kèntrou: la [retta] dal centro.
™ diˆmetroc (sottinteso gramm ) il segmento
kÔklon
triangolo
quello equilatero
Êsoskelèc quello isoscele (stesse gambe)
skalhnìn quello scaleno (forse deriva da skˆzein zoppicare).
áterìmhkec rettangolo, cioè con diverse misure,
ma è un ‰pax, poi usa la parola ærjog¸nion
trapèzion quadrilatero qualunque (lett. piccola mensa).
trÐgwnon
Êsìpleuron
F.Odetti
DIPTEM
25
La ventitreesima definizione
kg'.
ParˆlleloÐ
eÊsin
eÎjeĩai,
aÑtinec
ân
tÄ
aÎtÄ
âpipèdú oÞsai kaÈ âkballìmenai eÊc Špeiron âf ákˆtera
t€ mèrh epÈ mhdètera sumpÐptousin ‚ll laic.
23. Sono rette parallele, quelle che essendo nello stesso piano e prolungate all’infinito da entrambe le parti, da nessuna
delle due parti si incontrano tra loro.
Per vedere se due rette sono
parallele occorre prolungarle.
Ma è possibile farlo?
F.Odetti
DIPTEM
26
I postulati
AÊt mata
Il verbo aÊtèw significa “domando, richiedo”
In geometria viene tradotto con “postulo”.
Euclide enuncia cinque postulati:
Primo postulato
a'. >Hit sjw ‚pä pantäc shmeÐou âpÈ pãn shmeĩon
eÎjeĩan gramm˜n ‚gageĩn.
1. Risulti postulato, richiesto che si possa condurre una retta
da un qualunque punto a un qualunque punto.
>Hit sjw
postulati.
(perfetto imperativo del verbo
) regge tutti i 5
aÊtèw
F.Odetti
DIPTEM
27
Secondo, terzo e quarto postulato
b'.
KaÐ
peperasmènhn
eÎjeĩan
kat€
tä
suneqàc
âp'
eÎjeÐac âkbaleĩn.
2. e [risulti postulato] che si possa prolungare una retta finita
in una retta [infinita] senza interruzione.
g'. KaÈ pantÈ kèntrú kaÈ diast mati kÔklon grˆfesjai.
3. e che si possa tracciare un cerchio con qualunque centro e
raggio.
e'. KaÈ pˆsac t€c ærj€c gwnÐac Òsac ‚ll laic eÚnai.
4. e che tutti gli angoli retti siano uguali.
F.Odetti
DIPTEM
28
Il quinto postulato
e'. KaÈ â€n eÊc dÔo eÎjeÐac eÎjeĩa âmpÐptousa t€c ântäc
kaÈ âpÈ t€ aÎt€ mèrh gwnÐac dÔo ærjw̃n âlˆssonac poi¬,
âkballomènac t€c dÔo eÎjeÐac âp' Špeiron sumpÐptein,
âf' ƒ mèrh eÊsÈn aÉ tw̃n dÔo ærjw̃n âlˆssonec.
Traduzione libera
Se una retta interseca altre due altre rette e forma angoli
interni dalla stessa parte che siano minori di due angoli retti,
allora le due rette, prolungate all’infinito si incontrano dalla
parte di questi due angoli.
F.Odetti
DIPTEM
29
Osservazioni sul quinto postulato
I
I
I
I
I
I
Enunciato di Playfair:
Da un punto esterno a una retta è possibile condurre
un’unica retta parallela.
Molte altre formulazioni equivalenti, ma usano concetti
sviluppati più avanti. Euclide vuole introdurlo ora.
Euclide non adopera immediatamente questo postulato.
Euclide non dice che le due rette devono
essere sullo stesso piano. (dimenticanza?)
Euclide dice minore di due angoli retti
non minore di un angolo piatto.
Euclide non dice mai somma di angoli e ignora l’angolo
piatto.
F.Odetti
DIPTEM
30
Le nozioni comuni
KoinaÈ ênnoiai
a'. T€ tÄ aÎtÄ Òsa kaÈ ‚ll loic âstÈn Òsa.
1. Cose uguali a un’altra sono uguali tra loro
e'. KaÈ tä ílon toũ mèrouc meĩzìn [âstin].
5. E il tutto è più grande della parte
F.Odetti
DIPTEM
31
Proposizione 1
a'.
>EpÈ
th̃c
dojeÐshc
eÎjeÐac
peperasmènhc
trÐgwnon
Êsìpleuron sust sasjai.
Su una data retta terminata, si collochi un triangolo equilatero.
#
!
"
$
%
Ma chi ci assicura che le due
circonferenze si incontrino in G?
F.Odetti
DIPTEM
32
Il finale della proposizione:
>Isìpleuron
kaÈ
Šra
sunèstatai
âstÈ
âpÈ
tä
th̃c
ABG
trÐgwnon,
dojeÐshc
eÎjeÐac
peperasmènhc th̃c AB; íper êdei poih̃sai.
Šra
perciò
íper êdei poih̃sai.
ciò che bisognava fare.
come dovevasi fare
Questa frase ricorre dopo ogni proposizione che sia una
costruzione geometrica.
F.Odetti
DIPTEM
33
Proposizione 4: “Primo criterio di eguaglianza dei triangoli”
>E€n dÔo trÐgwna t€c dÔo pleur€c [taĩc] dusÈ pleuraĩc Òsac êqù ákatèran ákatèrø kaÈ
t˜n gwnÐan th̃| gwnÐø Òshn êqù t˜n Ípä tw̃n Òswn eÎjeiw̃n perieqomènhn, kaÈ t˜n bˆsin tœ
bˆsei Òshn éxei, kaÈ tä trÐgwnon tw̃| trig¸nú Òson êstai, kaÈ aÉ loipaÈ gwnÐai taĩc loipaĩc
gwnÐaic Òsai êsontai ákatèra ákatèrø, Íf> ƒc aÉ Òsai pleuraÈ ÍpoteÐnousin.
Se
#
AB=DE
!
AG=DZ
BAG=EDZ
i triangoli sono
congruenti.
"
$
%
&
La tesi di Euclide:
I le basi sono uguali
I i triangoli sono uguali
I gli angoli alla base adiacenti ai lati uguali sono uguali a
ciascuno degli angoli corrispondenti.
F.Odetti
DIPTEM
34
L’aggettivo Òsoc
Per Euclide Òsoc significa equivalente e non congruente.
Per esempio, nella proposizione 35
&
!
%
'
$
"
#
x
F.Odetti
DIPTEM
35
L’aggettivo Òsoc
Per Euclide Òsoc significa equivalente e non congruente.
Nella proposizione 4 ci sono 7 elementi equivalenti (Òsoi)
#
"
!
$
%
&
Questo primo “teorema” termina con
íper êdei deĩxai.
ciò che bisognava dimostrare.
come dovevasi dimostrare
Questa frase ricorre dopo ogni proposizione che sia un
teorema.
F.Odetti
DIPTEM
36
Proposizione 5:
Proposizione 6:
"
Se il triangolo è isoscele, gli angoli alla
base sono uguali.
#
&
$
%
'
!
Se gli angoli alla base sono uguali, il
triangolo è isoscele.
Teorema inverso
(‚ntÐstrofoc)
Dimostrata ‘per assurdo’ Cosa è la dimostrazione per assurdo ?
Regola di logica (modus tollens)
Sono logicamente equivalenti:
Se P, allora T
Se non T , allora non P
Non diciamo “Se T fosse falsa” , diciamo “Se T è falsa”
Cosı̀ fa Euclide:
EÊ g€r Šnisìc âstin ™ AB t¬ AG, ™ átèra aÎtw̃n meÐzwn âstÐn.
Se infatti
AB
è diversa da
E termina con
, una delle due è più grande.
AG
íper Štopon;
ciò è assurdo;
ciò è fuori luogo;
F.Odetti
DIPTEM
37
I tre criteri di eguaglianza
Nei testi di geometria correnti
Primo criterio
Secondo criterio
A
B
A
C
In Euclide
Primo criterio
B
A
C
B
Secondo criterio
!
"
Terzo criterio
Terzo criterio
!
#
"
C
!
#
"
#
F.Odetti
DIPTEM
38
La proposizione 17
Pantävc trig¸nou aÉ dÔo gwnÐai dÔo ærjw̃n âlˆssonèc
eÊsi pˆnt¬ metalambanìmenai.
Per ogni triangolo, due angoli presi insieme sono meno di
due angoli retti
!
In modo più chiaro:
La somma di due angoli interni di un
triangolo è inferiore a un angolo piatto.
"
#
Euclide dimostrerà nella proposizione 32 che
La somma dei tre angoli interni di un
triangolo è un angolo piatto
Perché Euclide enuncia un teorema “debole”, se poi
dimostrerà la versione “forte” ?
F.Odetti
DIPTEM
39
Le proposizioni 17 e 32
Proposizione 17
La somma di due angoli interni di un triangolo è
inferiore a un angolo piatto.
Proposizione 32
La somma dei tre angoli interni di un triangolo è un
angolo piatto
Perché Euclide enuncia un teorema “debole”, se poi
dimostrerà la versione “forte” ?
!
I
I
Per dimostrare la proposizione 17
non occorre il quinto postulato
Per dimostrare la proposizione 32
occorre il quinto postulato
"
#
Euclide non userà mai la proposizione 17
Ma vuole far vedere fino a che punto si può arrivare senza
usare il quinto postulato.
F.Odetti
DIPTEM
40
Le prime 28 proposizioni
Le prime 28 proposizioni del Libro 1
non usano il quinto postulato.
Euclide non lo usa fintantoché non gli è indispensabile.
Nelle geometria iperbolica (geometria non-euclidea) non vale il
quinto postulato.
Fino alla proposizione 28
Euclide è un geometra non-euclideo
F.Odetti
DIPTEM
41
Le proposizioni 28 e 29
Proposizione 28 :
Se due rette sono tagliate da una
trasversale e la somma degli angoli interni è pari a due retti, le
due rette sono parallele.
(
'
"
#
$
%
&
!
Ora Euclide vuol dimostrare il viceversa (‚ntÐstrofoc)
Proposizione 29 :
Se due rette sono parallele e
sono tagliate da una trasversale, allora la somma degli angoli
interni è pari a due retti.
ma per questo è
indispensabile il
quinto postulato
E senza questa proposizione e le successive non
si potrà dimostrare il teorema di Pitagora
F.Odetti
DIPTEM
42
La proposizione 47
>En toĩc ærjogwnÐoic trig¸noic tä ‚pä th̃c t˜n ærj˜n
gwnÐan
ÍpoteinoÔshc
pleurãc
tetrˆgwnon
Òson
âstÈ
toĩc ‚pä tw̃n t˜n ærj˜n gwnÐan perieqousÀn pleurw̃n
tetrag¸noic.
Letteralmente:
Nei triangoli rettangoli, il quadrato sul lato teso sotto l’angolo retto è uguale ai quadrati sui lati che circondano
(
l’angolo retto.
È universalmente nota come
Teorema di Pitagora.
!
"
)
$
#
'
Euclide non usa qui la parola cateto
(ma kˆjetoc eÎjeĩa = retta ortogonale)
però usa ipotenusa (ÍpoteinoÔsa, tesa sotto)
F.Odetti
%
&
DIPTEM
43
La dimostrazione originale di Euclide
)
!
"
*
$
#
(
%
&
'
mulino a vento sedia della sposa coda di pavone
pons asinorum
F.Odetti
DIPTEM
44
Alcune curiosità tratte dai Libri successivi
I
Nel secondo, sesto e tredicesimo Libro la sezione aurea.
T˜n dojeĩsan eÎjeĩan peperasmènhn Škron kaÈ mèson
lìgon temeĩn.
I
Dividere una data retta terminata in estrema e media
ragione.
Nel quinto Libro si definisce la proporzione (‚nalogÐa).
La definizione di quattro grandezze in proporzione è
molto complicata e fu criticata come inutilmente pedante
da molti, tra cui Galileo.
Solo nella seconda metà del XIX secolo si riconobbe che
Euclide aveva anticipato di 22 secoli la definizione di
numero reale.
F.Odetti
DIPTEM
45
Alcune curiosità tratte dai Libri successivi
I
Nel settimo ottavo e nono Libro, Euclide tratta i numeri
che però sono visti come grandezze.
%
&
'
!
"
# $
e dà le definizioni di
I
I
I
Numero primo : prw̃toc ‚rijmìc
Massimo Comun Divisore : tä mègiston koinän mètron
Nel decimo definisce le
grandezze incommensurabili
‚sÔmmetra megèjh
F.Odetti
DIPTEM
46
Un papiro trovato a Ossirinco
che contiene una proposizione del Libro 2
ærjog¸nion
e
tetrˆgwnon
a2 − b2 = (a − b)(a + b)
Non esiste una via regia alla Geometria, ma quella che
troviamo nei libri attuali è sicuramente più agevole.
F.Odetti
DIPTEM