I frazionari come numeri decimali

I frazionari come numeri decimali
Esiste una altra maniera di pensare i numeri frazionari: come espressioni
decimali. Ad esempio, le espressioni decimali di 1/4, 250/6 e 1/15 si fa tramite
le divisioni:
4
6
15
1
250
1
10 0,25
10
41,66. . .
10 0,066. . .
20
40
100
0
40
100
4. . .
10. . .
Aritmetica
Novembre 2013
1/7
I frazionari come numeri decimali
Esiste una altra maniera di pensare i numeri frazionari: come espressioni
decimali. Ad esempio, le espressioni decimali di 1/4, 250/6 e 1/15 si fa tramite
le divisioni:
4
6
15
1
250
1
10 0,25
10
41,66. . .
10 0,066. . .
20
40
100
0
40
100
4. . .
10. . .
Quindi, 1/4 = 0, 25, 250/6 = 41, 66 . . . , 1/15 = 0, 066 . . . Si può vedere che le
espressioni decimali dei numeri frazionari si possono classificare della
seguente forma:
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1/7
I frazionari come numeri decimali
Esiste una altra maniera di pensare i numeri frazionari: come espressioni
decimali. Ad esempio, le espressioni decimali di 1/4, 250/6 e 1/15 si fa tramite
le divisioni:
4
6
15
1
250
1
10 0,25
10
41,66. . .
10 0,066. . .
20
40
100
0
40
100
4. . .
10. . .
Quindi, 1/4 = 0, 25, 250/6 = 41, 66 . . . , 1/15 = 0, 066 . . . Si può vedere che le
espressioni decimali dei numeri frazionari si possono classificare della
seguente forma:
I
esatti: la parte decimale è finita. (0,25, 1,234, 3453,3)
Aritmetica
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I frazionari come numeri decimali
Esiste una altra maniera di pensare i numeri frazionari: come espressioni
decimali. Ad esempio, le espressioni decimali di 1/4, 250/6 e 1/15 si fa tramite
le divisioni:
4
6
15
1
250
1
10 0,25
10
41,66. . .
10 0,066. . .
20
40
100
0
40
100
4. . .
10. . .
Quindi, 1/4 = 0, 25, 250/6 = 41, 66 . . . , 1/15 = 0, 066 . . . Si può vedere che le
espressioni decimali dei numeri frazionari si possono classificare della
seguente forma:
I
I
esatti: la parte decimale è finita. (0,25, 1,234, 3453,3)
periodici: la parte decimale ha un fragmento, il periodo, che si ripete
infinitamente. Il periodo si marca con una linea sopra: 41, 666 · · · = 41, 6.
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I frazionari come numeri decimali
Esiste una altra maniera di pensare i numeri frazionari: come espressioni
decimali. Ad esempio, le espressioni decimali di 1/4, 250/6 e 1/15 si fa tramite
le divisioni:
4
6
15
1
250
1
10 0,25
10
41,66. . .
10 0,066. . .
20
40
100
0
40
100
4. . .
10. . .
Quindi, 1/4 = 0, 25, 250/6 = 41, 66 . . . , 1/15 = 0, 066 . . . Si può vedere che le
espressioni decimali dei numeri frazionari si possono classificare della
seguente forma:
I
I
esatti: la parte decimale è finita. (0,25, 1,234, 3453,3)
periodici: la parte decimale ha un fragmento, il periodo, che si ripete
infinitamente. Il periodo si marca con una linea sopra: 41, 666 · · · = 41, 6.
I
periodici semplici: la parte decimale coincide con la ripetizione successiva
del periodo. (41, 6, 1, 35, −0, 642)
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I frazionari come numeri decimali
Esiste una altra maniera di pensare i numeri frazionari: come espressioni
decimali. Ad esempio, le espressioni decimali di 1/4, 250/6 e 1/15 si fa tramite
le divisioni:
4
6
15
1
250
1
10 0,25
10
41,66. . .
10 0,066. . .
20
40
100
0
40
100
4. . .
10. . .
Quindi, 1/4 = 0, 25, 250/6 = 41, 66 . . . , 1/15 = 0, 066 . . . Si può vedere che le
espressioni decimali dei numeri frazionari si possono classificare della
seguente forma:
I
I
esatti: la parte decimale è finita. (0,25, 1,234, 3453,3)
periodici: la parte decimale ha un fragmento, il periodo, che si ripete
infinitamente. Il periodo si marca con una linea sopra: 41, 666 · · · = 41, 6.
I
I
periodici semplici: la parte decimale coincide con la ripetizione successiva
del periodo. (41, 6, 1, 35, −0, 642)
periodici misti: c’è una parte decimale, non periodica e che precede al
periodo. Questa parte si chiama antiperiodo. (0, 06, −3, 1213, 10, 510)
Aritmetica
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1/7
I frazionari come numeri decimali
antiperiodo periodo
z}|{ z}|{
123
,
|{z} | 456 {z 789} = 123, 456789789789789789 . . .
parte intera
parte decimale
Data una espressione decimale, per calcolare la sua frazione generatrice,
cioè una frazione tale che abbia quella espressione decimale, si procede così:
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2/7
I frazionari come numeri decimali
antiperiodo periodo
z}|{ z}|{
123
,
|{z} | 456 {z 789} = 123, 456789789789789789 . . .
parte intera
parte decimale
Data una espressione decimale, per calcolare la sua frazione generatrice,
cioè una frazione tale che abbia quella espressione decimale, si procede così:
I
Per gli esatti: il numeratore è il numero composto della parte intera
seguita dalla parte decimale (senza la virgola) e il denominatore è la
unità seguita da tanti 0 come cifre decimali abbia il numero.
Aritmetica
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2/7
I frazionari come numeri decimali
antiperiodo periodo
z}|{ z}|{
123
,
|{z} | 456 {z 789} = 123, 456789789789789789 . . .
parte intera
parte decimale
Data una espressione decimale, per calcolare la sua frazione generatrice,
cioè una frazione tale che abbia quella espressione decimale, si procede così:
I
Per gli esatti: il numeratore è il numero composto della parte intera
seguita dalla parte decimale (senza la virgola) e il denominatore è la
unità seguita da tanti 0 come cifre decimali abbia il numero.
I
Per i periodici semplici: il numeratore è la differenza tra il numero
composto della parte intera seguita dal periodo, e la parte intera; il
denominatore è il numero composto di tanti 9 come cifre abbia il periodo.
Aritmetica
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2/7
I frazionari come numeri decimali
antiperiodo periodo
z}|{ z}|{
123
,
|{z} | 456 {z 789} = 123, 456789789789789789 . . .
parte intera
parte decimale
Data una espressione decimale, per calcolare la sua frazione generatrice,
cioè una frazione tale che abbia quella espressione decimale, si procede così:
I
Per gli esatti: il numeratore è il numero composto della parte intera
seguita dalla parte decimale (senza la virgola) e il denominatore è la
unità seguita da tanti 0 come cifre decimali abbia il numero.
I
Per i periodici semplici: il numeratore è la differenza tra il numero
composto della parte intera seguita dal periodo, e la parte intera; il
denominatore è il numero composto di tanti 9 come cifre abbia il periodo.
I
Per i periodici misti: il numeratore è la differenza tra il numero composto
della parte intera seguita dall’antiperiodo e seguita dal periodo, e la parte
intera seguita dall’antiperiodo; il denominatore è il numero composto di
tanti 9 come cifre abbia il periodo seguito da tanti 0 come cifre abbia
l’antiperiodo.
Aritmetica
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2/7
I frazionari come numeri decimali
Perché funzionano queste regole?
Aritmetica
Novembre 2013
3/7
I frazionari come numeri decimali
Perché funzionano queste regole? Lo vediamo con alcuni esempi.
Aritmetica
Novembre 2013
3/7
I frazionari come numeri decimali
Perché funzionano queste regole? Lo vediamo con alcuni esempi.
Per gli esatti:
Se a = 123, 4567,
allora 10000 · a = 1234567,
a=
e quindi
1234567
10000
Aritmetica
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3/7
I frazionari come numeri decimali
Perché funzionano queste regole? Lo vediamo con alcuni esempi.
Per gli esatti:
Se a = 123, 4567,
allora 10000 · a = 1234567,
a=
e quindi
1234567
10000
Per i periodici puri:
Se a = 123, 45,
allora 100 · a = 12345, 45,
e quindi
99 · a = (100 · a − a) = 12345, 45 − 123, 45 = 12345 − 123.
E allora,
a=
12345 − 123
12222
=
99
99
Aritmetica
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3/7
I frazionari come numeri decimali
Per i periodici misti:
Se a = 123, 45678,
Quindi
allora 100000 · a = 12345678, 678 e 100 · a = 12345, 678.
99900 · a = (100000 · a − 100 · a) = 12345678, 678 − 12345, 678
= 12345678 − 12345.
E allora,
a=
12345678 − 12345
12333333
=
99900
99900
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4/7
I frazionari come numeri decimali
Per i periodici misti:
Se a = 123, 45678,
Quindi
allora 100000 · a = 12345678, 678 e 100 · a = 12345, 678.
99900 · a = (100000 · a − 100 · a) = 12345678, 678 − 12345, 678
= 12345678 − 12345.
E allora,
a=
I
12345678 − 12345
12333333
=
99900
99900
Dimostrare che 0, 9 = 1.
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4/7
I frazionari come numeri decimali
Per i periodici misti:
Se a = 123, 45678,
Quindi
allora 100000 · a = 12345678, 678 e 100 · a = 12345, 678.
99900 · a = (100000 · a − 100 · a) = 12345678, 678 − 12345, 678
= 12345678 − 12345.
E allora,
a=
12345678 − 12345
12333333
=
99900
99900
I
Dimostrare che 0, 9 = 1.
I
Il numero
0, 1010010001000010000010000001 . . .
non è un numero frazionario,
Aritmetica
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4/7
I frazionari come numeri decimali
Per i periodici misti:
Se a = 123, 45678,
Quindi
allora 100000 · a = 12345678, 678 e 100 · a = 12345, 678.
99900 · a = (100000 · a − 100 · a) = 12345678, 678 − 12345, 678
= 12345678 − 12345.
E allora,
a=
12345678 − 12345
12333333
=
99900
99900
I
Dimostrare che 0, 9 = 1.
I
Il numero
0, 1010010001000010000010000001 . . .
non è un numero frazionario, perché non ha un periodo.
Aritmetica
Novembre 2013
4/7
I frazionari come numeri decimali
Per i periodici misti:
Se a = 123, 45678,
Quindi
allora 100000 · a = 12345678, 678 e 100 · a = 12345, 678.
99900 · a = (100000 · a − 100 · a) = 12345678, 678 − 12345, 678
= 12345678 − 12345.
E allora,
a=
12345678 − 12345
12333333
=
99900
99900
I
Dimostrare che 0, 9 = 1.
I
Il numero
0, 1010010001000010000010000001 . . .
non è un numero frazionario, perché non ha un periodo.
Che tipo di numero è?
Aritmetica
Novembre 2013
4/7
I numeri reali R
I numeri reali sono numeri che si possono esprimere come numeri decimali.
In particolare comprendono anche i frazionari, che come abbiamo visto si
possono esprimere come numeri decimali esatti o con sviluppo decimale
periodico (sia puro, sia misto). L’insieme dei numeri reali si rappresenta con la
lettera R:
Aritmetica
Novembre 2013
5/7
I numeri reali R
I numeri reali sono numeri che si possono esprimere come numeri decimali.
In particolare comprendono anche i frazionari, che come abbiamo visto si
possono esprimere come numeri decimali esatti o con sviluppo decimale
periodico (sia puro, sia misto). L’insieme dei numeri reali si rappresenta con la
lettera R:
N⊆Z⊆Q⊆R
Aritmetica
Novembre 2013
5/7
I numeri reali R
I numeri reali sono numeri che si possono esprimere come numeri decimali.
In particolare comprendono anche i frazionari, che come abbiamo visto si
possono esprimere come numeri decimali esatti o con sviluppo decimale
periodico (sia puro, sia misto). L’insieme dei numeri reali si rappresenta con la
lettera R:
N⊆Z⊆Q⊆R
Allora, i numeri reali che non sono frazionari sono numeri che hanno un
sviluppo decimale non periodico. Esempi di reali che non sono frazionari
comprendono alcuni numeri importanti e con nome proprio:
Aritmetica
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5/7
I numeri reali R
I numeri reali sono numeri che si possono esprimere come numeri decimali.
In particolare comprendono anche i frazionari, che come abbiamo visto si
possono esprimere come numeri decimali esatti o con sviluppo decimale
periodico (sia puro, sia misto). L’insieme dei numeri reali si rappresenta con la
lettera R:
N⊆Z⊆Q⊆R
Allora, i numeri reali che non sono frazionari sono numeri che hanno un
sviluppo decimale non periodico. Esempi di reali che non sono frazionari
comprendono alcuni numeri importanti e con nome proprio:
√
√
I
2 = 1, 41421 . . . (vedremo a continuazione che 2 non è infatti
frazionario)
Aritmetica
Novembre 2013
5/7
I numeri reali R
I numeri reali sono numeri che si possono esprimere come numeri decimali.
In particolare comprendono anche i frazionari, che come abbiamo visto si
possono esprimere come numeri decimali esatti o con sviluppo decimale
periodico (sia puro, sia misto). L’insieme dei numeri reali si rappresenta con la
lettera R:
N⊆Z⊆Q⊆R
Allora, i numeri reali che non sono frazionari sono numeri che hanno un
sviluppo decimale non periodico. Esempi di reali che non sono frazionari
comprendono alcuni numeri importanti e con nome proprio:
√
√
I
2 = 1, 41421 . . . (vedremo a continuazione che 2 non è infatti
frazionario)
I
φ=
√
1+ 5
2
(il numero aureo)
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5/7
I numeri reali R
I numeri reali sono numeri che si possono esprimere come numeri decimali.
In particolare comprendono anche i frazionari, che come abbiamo visto si
possono esprimere come numeri decimali esatti o con sviluppo decimale
periodico (sia puro, sia misto). L’insieme dei numeri reali si rappresenta con la
lettera R:
N⊆Z⊆Q⊆R
Allora, i numeri reali che non sono frazionari sono numeri che hanno un
sviluppo decimale non periodico. Esempi di reali che non sono frazionari
comprendono alcuni numeri importanti e con nome proprio:
√
√
I
2 = 1, 41421 . . . (vedremo a continuazione che 2 non è infatti
frazionario)
√
1+ 5
2
(il numero aureo)
I
φ=
I
π = 3, 141592 . . .
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5/7
I numeri reali R
I numeri reali sono numeri che si possono esprimere come numeri decimali.
In particolare comprendono anche i frazionari, che come abbiamo visto si
possono esprimere come numeri decimali esatti o con sviluppo decimale
periodico (sia puro, sia misto). L’insieme dei numeri reali si rappresenta con la
lettera R:
N⊆Z⊆Q⊆R
Allora, i numeri reali che non sono frazionari sono numeri che hanno un
sviluppo decimale non periodico. Esempi di reali che non sono frazionari
comprendono alcuni numeri importanti e con nome proprio:
√
√
I
2 = 1, 41421 . . . (vedremo a continuazione che 2 non è infatti
frazionario)
√
1+ 5
2
(il numero aureo)
I
φ=
I
π = 3, 141592 . . .
I
e = 2, 71828 . . . (la base dei numeri naturali o Neperiani)
Aritmetica
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5/7
I numeri reali R
I numeri reali sono numeri che si possono esprimere come numeri decimali.
In particolare comprendono anche i frazionari, che come abbiamo visto si
possono esprimere come numeri decimali esatti o con sviluppo decimale
periodico (sia puro, sia misto). L’insieme dei numeri reali si rappresenta con la
lettera R:
N⊆Z⊆Q⊆R
Allora, i numeri reali che non sono frazionari sono numeri che hanno un
sviluppo decimale non periodico. Esempi di reali che non sono frazionari
comprendono alcuni numeri importanti e con nome proprio:
√
√
I
2 = 1, 41421 . . . (vedremo a continuazione che 2 non è infatti
frazionario)
√
1+ 5
2
(il numero aureo)
I
φ=
I
π = 3, 141592 . . .
I
e = 2, 71828 . . . (la base dei numeri naturali o Neperiani)
I
0, 10100100010000100000. . .
Aritmetica
Novembre 2013
5/7
√
2 non è frazionario
Useremo un metodo di ragionamento chiamato riduzione all’assurdo:
patiremo di una ipotesi, e cercheremo di trovare una contraddizione
(un’assurdo). E pertanto questo ci dirà che la ipotesi iniziale è infatti falsa.
Aritmetica
Novembre 2013
6/7
√
2 non è frazionario
Useremo un metodo di ragionamento chiamato riduzione all’assurdo:
patiremo di una ipotesi, e cercheremo di trovare una contraddizione
(un’assurdo). E pertanto questo ci dirà che la ipotesi iniziale è infatti falsa.
√
Ipotesi: 2 è un numero frazionario.
Aritmetica
Novembre 2013
6/7
√
2 non è frazionario
Useremo un metodo di ragionamento chiamato riduzione all’assurdo:
patiremo di una ipotesi, e cercheremo di trovare una contraddizione
(un’assurdo). E pertanto questo ci dirà che la ipotesi iniziale è infatti falsa.
√
Ipotesi: 2 è un numero frazionario.
p
Allora, possiamo scrivere (2) = pq come una frazione con p, q numeri
naturali. Possiamo supporre anche che la frazione è irriducibile, perché ogni
frazione si può portare a una frazione irriducibile.
Aritmetica
Novembre 2013
6/7
√
2 non è frazionario
Useremo un metodo di ragionamento chiamato riduzione all’assurdo:
patiremo di una ipotesi, e cercheremo di trovare una contraddizione
(un’assurdo). E pertanto questo ci dirà che la ipotesi iniziale è infatti falsa.
√
Ipotesi: 2 è un numero frazionario.
p
Allora, possiamo scrivere (2) = pq come una frazione con p, q numeri
naturali. Possiamo supporre anche che la frazione è irriducibile, perché ogni
frazione si può portare a una frazione irriducibile. Quindi
√
2=
p
q
√
q 2=p
√ 2
q 2 =p
2q 2 = p2
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(∗)
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6/7
√
2 non è frazionario
Useremo un metodo di ragionamento chiamato riduzione all’assurdo:
patiremo di una ipotesi, e cercheremo di trovare una contraddizione
(un’assurdo). E pertanto questo ci dirà che la ipotesi iniziale è infatti falsa.
√
Ipotesi: 2 è un numero frazionario.
p
Allora, possiamo scrivere (2) = pq come una frazione con p, q numeri
naturali. Possiamo supporre anche che la frazione è irriducibile, perché ogni
frazione si può portare a una frazione irriducibile. Quindi
√
2=
p
q
√
q 2=p
√ 2
q 2 =p
2q 2 = p2
(∗)
A questo punto abbiamo visto che p2 debe essere un numero pari, perché è il
doppio di un’altro numero. Ma, siccome p2 è pari, allora p deve essere pari,
perché il quadrato di numeri dispari non è mai pari.
Aritmetica
Novembre 2013
6/7
√
2 non è frazionario
Useremo un metodo di ragionamento chiamato riduzione all’assurdo:
patiremo di una ipotesi, e cercheremo di trovare una contraddizione
(un’assurdo). E pertanto questo ci dirà che la ipotesi iniziale è infatti falsa.
√
Ipotesi: 2 è un numero frazionario.
p
Allora, possiamo scrivere (2) = pq come una frazione con p, q numeri
naturali. Possiamo supporre anche che la frazione è irriducibile, perché ogni
frazione si può portare a una frazione irriducibile. Quindi
√
2=
p
q
√
q 2=p
√ 2
q 2 =p
2q 2 = p2
(∗)
A questo punto abbiamo visto che p2 debe essere un numero pari, perché è il
doppio di un’altro numero. Ma, siccome p2 è pari, allora p deve essere pari,
perché il quadrato di numeri dispari non è mai pari. Ancora non abbiamo
nessuna contraddizione. Continuiamo.
Aritmetica
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6/7
√
2 non è frazionario
Siccome p deve essere pari, allora p deve essere il doppio di un numero.
Supponiamo che questo numero è k. Allora p = 2k.
Aritmetica
Novembre 2013
7/7
√
2 non è frazionario
Siccome p deve essere pari, allora p deve essere il doppio di un numero.
Supponiamo che questo numero è k. Allora p = 2k.
Ma l’equazione (∗) ci dice che 2q 2 = p2 .
Aritmetica
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7/7
√
2 non è frazionario
Siccome p deve essere pari, allora p deve essere il doppio di un numero.
Supponiamo che questo numero è k. Allora p = 2k.
Ma l’equazione (∗) ci dice che 2q 2 = p2 . Allora:
2q 2 = p2
2q 2 = (2k)2
2q 2 = 4k 2
q 2 = 2k 2
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7/7
√
2 non è frazionario
Siccome p deve essere pari, allora p deve essere il doppio di un numero.
Supponiamo che questo numero è k. Allora p = 2k.
Ma l’equazione (∗) ci dice che 2q 2 = p2 . Allora:
2q 2 = p2
2q 2 = (2k)2
2q 2 = 4k 2
q 2 = 2k 2
E quindi, q 2 è pari, perché è il doppio di un numero. Per lo stesso
ragionamento di prima, q deve essere anche pari, perché i quadrati di
numeri dispari non sono mai pari.
Aritmetica
Novembre 2013
7/7
√
2 non è frazionario
Siccome p deve essere pari, allora p deve essere il doppio di un numero.
Supponiamo che questo numero è k. Allora p = 2k.
Ma l’equazione (∗) ci dice che 2q 2 = p2 . Allora:
2q 2 = p2
2q 2 = (2k)2
2q 2 = 4k 2
q 2 = 2k 2
E quindi, q 2 è pari, perché è il doppio di un numero. Per lo stesso
ragionamento di prima, q deve essere anche pari, perché i quadrati di
numeri dispari non sono mai pari.
A questo punto abbiamo arrivato a una contrazione, perché
irriducibile, ma p e q devono essere entrambi pari!!
Aritmetica
p
q
deve essere
Novembre 2013
7/7
√
2 non è frazionario
Siccome p deve essere pari, allora p deve essere il doppio di un numero.
Supponiamo che questo numero è k. Allora p = 2k.
Ma l’equazione (∗) ci dice che 2q 2 = p2 . Allora:
2q 2 = p2
2q 2 = (2k)2
2q 2 = 4k 2
q 2 = 2k 2
E quindi, q 2 è pari, perché è il doppio di un numero. Per lo stesso
ragionamento di prima, q deve essere anche pari, perché i quadrati di
numeri dispari non sono mai pari.
A questo punto abbiamo arrivato a una contrazione, perché
irriducibile, ma p e q devono essere entrambi pari!!
√
Quindi, l’ipotesi iniziale è falsa, cioè: 2 non è frazionario.
Aritmetica
p
q
deve essere
Novembre 2013
7/7