I frazionari come numeri decimali Esiste una altra maniera di pensare i numeri frazionari: come espressioni decimali. Ad esempio, le espressioni decimali di 1/4, 250/6 e 1/15 si fa tramite le divisioni: 4 6 15 1 250 1 10 0,25 10 41,66. . . 10 0,066. . . 20 40 100 0 40 100 4. . . 10. . . Aritmetica Novembre 2013 1/7 I frazionari come numeri decimali Esiste una altra maniera di pensare i numeri frazionari: come espressioni decimali. Ad esempio, le espressioni decimali di 1/4, 250/6 e 1/15 si fa tramite le divisioni: 4 6 15 1 250 1 10 0,25 10 41,66. . . 10 0,066. . . 20 40 100 0 40 100 4. . . 10. . . Quindi, 1/4 = 0, 25, 250/6 = 41, 66 . . . , 1/15 = 0, 066 . . . Si può vedere che le espressioni decimali dei numeri frazionari si possono classificare della seguente forma: Aritmetica Novembre 2013 1/7 I frazionari come numeri decimali Esiste una altra maniera di pensare i numeri frazionari: come espressioni decimali. Ad esempio, le espressioni decimali di 1/4, 250/6 e 1/15 si fa tramite le divisioni: 4 6 15 1 250 1 10 0,25 10 41,66. . . 10 0,066. . . 20 40 100 0 40 100 4. . . 10. . . Quindi, 1/4 = 0, 25, 250/6 = 41, 66 . . . , 1/15 = 0, 066 . . . Si può vedere che le espressioni decimali dei numeri frazionari si possono classificare della seguente forma: I esatti: la parte decimale è finita. (0,25, 1,234, 3453,3) Aritmetica Novembre 2013 1/7 I frazionari come numeri decimali Esiste una altra maniera di pensare i numeri frazionari: come espressioni decimali. Ad esempio, le espressioni decimali di 1/4, 250/6 e 1/15 si fa tramite le divisioni: 4 6 15 1 250 1 10 0,25 10 41,66. . . 10 0,066. . . 20 40 100 0 40 100 4. . . 10. . . Quindi, 1/4 = 0, 25, 250/6 = 41, 66 . . . , 1/15 = 0, 066 . . . Si può vedere che le espressioni decimali dei numeri frazionari si possono classificare della seguente forma: I I esatti: la parte decimale è finita. (0,25, 1,234, 3453,3) periodici: la parte decimale ha un fragmento, il periodo, che si ripete infinitamente. Il periodo si marca con una linea sopra: 41, 666 · · · = 41, 6. Aritmetica Novembre 2013 1/7 I frazionari come numeri decimali Esiste una altra maniera di pensare i numeri frazionari: come espressioni decimali. Ad esempio, le espressioni decimali di 1/4, 250/6 e 1/15 si fa tramite le divisioni: 4 6 15 1 250 1 10 0,25 10 41,66. . . 10 0,066. . . 20 40 100 0 40 100 4. . . 10. . . Quindi, 1/4 = 0, 25, 250/6 = 41, 66 . . . , 1/15 = 0, 066 . . . Si può vedere che le espressioni decimali dei numeri frazionari si possono classificare della seguente forma: I I esatti: la parte decimale è finita. (0,25, 1,234, 3453,3) periodici: la parte decimale ha un fragmento, il periodo, che si ripete infinitamente. Il periodo si marca con una linea sopra: 41, 666 · · · = 41, 6. I periodici semplici: la parte decimale coincide con la ripetizione successiva del periodo. (41, 6, 1, 35, −0, 642) Aritmetica Novembre 2013 1/7 I frazionari come numeri decimali Esiste una altra maniera di pensare i numeri frazionari: come espressioni decimali. Ad esempio, le espressioni decimali di 1/4, 250/6 e 1/15 si fa tramite le divisioni: 4 6 15 1 250 1 10 0,25 10 41,66. . . 10 0,066. . . 20 40 100 0 40 100 4. . . 10. . . Quindi, 1/4 = 0, 25, 250/6 = 41, 66 . . . , 1/15 = 0, 066 . . . Si può vedere che le espressioni decimali dei numeri frazionari si possono classificare della seguente forma: I I esatti: la parte decimale è finita. (0,25, 1,234, 3453,3) periodici: la parte decimale ha un fragmento, il periodo, che si ripete infinitamente. Il periodo si marca con una linea sopra: 41, 666 · · · = 41, 6. I I periodici semplici: la parte decimale coincide con la ripetizione successiva del periodo. (41, 6, 1, 35, −0, 642) periodici misti: c’è una parte decimale, non periodica e che precede al periodo. Questa parte si chiama antiperiodo. (0, 06, −3, 1213, 10, 510) Aritmetica Novembre 2013 1/7 I frazionari come numeri decimali antiperiodo periodo z}|{ z}|{ 123 , |{z} | 456 {z 789} = 123, 456789789789789789 . . . parte intera parte decimale Data una espressione decimale, per calcolare la sua frazione generatrice, cioè una frazione tale che abbia quella espressione decimale, si procede così: Aritmetica Novembre 2013 2/7 I frazionari come numeri decimali antiperiodo periodo z}|{ z}|{ 123 , |{z} | 456 {z 789} = 123, 456789789789789789 . . . parte intera parte decimale Data una espressione decimale, per calcolare la sua frazione generatrice, cioè una frazione tale che abbia quella espressione decimale, si procede così: I Per gli esatti: il numeratore è il numero composto della parte intera seguita dalla parte decimale (senza la virgola) e il denominatore è la unità seguita da tanti 0 come cifre decimali abbia il numero. Aritmetica Novembre 2013 2/7 I frazionari come numeri decimali antiperiodo periodo z}|{ z}|{ 123 , |{z} | 456 {z 789} = 123, 456789789789789789 . . . parte intera parte decimale Data una espressione decimale, per calcolare la sua frazione generatrice, cioè una frazione tale che abbia quella espressione decimale, si procede così: I Per gli esatti: il numeratore è il numero composto della parte intera seguita dalla parte decimale (senza la virgola) e il denominatore è la unità seguita da tanti 0 come cifre decimali abbia il numero. I Per i periodici semplici: il numeratore è la differenza tra il numero composto della parte intera seguita dal periodo, e la parte intera; il denominatore è il numero composto di tanti 9 come cifre abbia il periodo. Aritmetica Novembre 2013 2/7 I frazionari come numeri decimali antiperiodo periodo z}|{ z}|{ 123 , |{z} | 456 {z 789} = 123, 456789789789789789 . . . parte intera parte decimale Data una espressione decimale, per calcolare la sua frazione generatrice, cioè una frazione tale che abbia quella espressione decimale, si procede così: I Per gli esatti: il numeratore è il numero composto della parte intera seguita dalla parte decimale (senza la virgola) e il denominatore è la unità seguita da tanti 0 come cifre decimali abbia il numero. I Per i periodici semplici: il numeratore è la differenza tra il numero composto della parte intera seguita dal periodo, e la parte intera; il denominatore è il numero composto di tanti 9 come cifre abbia il periodo. I Per i periodici misti: il numeratore è la differenza tra il numero composto della parte intera seguita dall’antiperiodo e seguita dal periodo, e la parte intera seguita dall’antiperiodo; il denominatore è il numero composto di tanti 9 come cifre abbia il periodo seguito da tanti 0 come cifre abbia l’antiperiodo. Aritmetica Novembre 2013 2/7 I frazionari come numeri decimali Perché funzionano queste regole? Aritmetica Novembre 2013 3/7 I frazionari come numeri decimali Perché funzionano queste regole? Lo vediamo con alcuni esempi. Aritmetica Novembre 2013 3/7 I frazionari come numeri decimali Perché funzionano queste regole? Lo vediamo con alcuni esempi. Per gli esatti: Se a = 123, 4567, allora 10000 · a = 1234567, a= e quindi 1234567 10000 Aritmetica Novembre 2013 3/7 I frazionari come numeri decimali Perché funzionano queste regole? Lo vediamo con alcuni esempi. Per gli esatti: Se a = 123, 4567, allora 10000 · a = 1234567, a= e quindi 1234567 10000 Per i periodici puri: Se a = 123, 45, allora 100 · a = 12345, 45, e quindi 99 · a = (100 · a − a) = 12345, 45 − 123, 45 = 12345 − 123. E allora, a= 12345 − 123 12222 = 99 99 Aritmetica Novembre 2013 3/7 I frazionari come numeri decimali Per i periodici misti: Se a = 123, 45678, Quindi allora 100000 · a = 12345678, 678 e 100 · a = 12345, 678. 99900 · a = (100000 · a − 100 · a) = 12345678, 678 − 12345, 678 = 12345678 − 12345. E allora, a= 12345678 − 12345 12333333 = 99900 99900 Aritmetica Novembre 2013 4/7 I frazionari come numeri decimali Per i periodici misti: Se a = 123, 45678, Quindi allora 100000 · a = 12345678, 678 e 100 · a = 12345, 678. 99900 · a = (100000 · a − 100 · a) = 12345678, 678 − 12345, 678 = 12345678 − 12345. E allora, a= I 12345678 − 12345 12333333 = 99900 99900 Dimostrare che 0, 9 = 1. Aritmetica Novembre 2013 4/7 I frazionari come numeri decimali Per i periodici misti: Se a = 123, 45678, Quindi allora 100000 · a = 12345678, 678 e 100 · a = 12345, 678. 99900 · a = (100000 · a − 100 · a) = 12345678, 678 − 12345, 678 = 12345678 − 12345. E allora, a= 12345678 − 12345 12333333 = 99900 99900 I Dimostrare che 0, 9 = 1. I Il numero 0, 1010010001000010000010000001 . . . non è un numero frazionario, Aritmetica Novembre 2013 4/7 I frazionari come numeri decimali Per i periodici misti: Se a = 123, 45678, Quindi allora 100000 · a = 12345678, 678 e 100 · a = 12345, 678. 99900 · a = (100000 · a − 100 · a) = 12345678, 678 − 12345, 678 = 12345678 − 12345. E allora, a= 12345678 − 12345 12333333 = 99900 99900 I Dimostrare che 0, 9 = 1. I Il numero 0, 1010010001000010000010000001 . . . non è un numero frazionario, perché non ha un periodo. Aritmetica Novembre 2013 4/7 I frazionari come numeri decimali Per i periodici misti: Se a = 123, 45678, Quindi allora 100000 · a = 12345678, 678 e 100 · a = 12345, 678. 99900 · a = (100000 · a − 100 · a) = 12345678, 678 − 12345, 678 = 12345678 − 12345. E allora, a= 12345678 − 12345 12333333 = 99900 99900 I Dimostrare che 0, 9 = 1. I Il numero 0, 1010010001000010000010000001 . . . non è un numero frazionario, perché non ha un periodo. Che tipo di numero è? Aritmetica Novembre 2013 4/7 I numeri reali R I numeri reali sono numeri che si possono esprimere come numeri decimali. In particolare comprendono anche i frazionari, che come abbiamo visto si possono esprimere come numeri decimali esatti o con sviluppo decimale periodico (sia puro, sia misto). L’insieme dei numeri reali si rappresenta con la lettera R: Aritmetica Novembre 2013 5/7 I numeri reali R I numeri reali sono numeri che si possono esprimere come numeri decimali. In particolare comprendono anche i frazionari, che come abbiamo visto si possono esprimere come numeri decimali esatti o con sviluppo decimale periodico (sia puro, sia misto). L’insieme dei numeri reali si rappresenta con la lettera R: N⊆Z⊆Q⊆R Aritmetica Novembre 2013 5/7 I numeri reali R I numeri reali sono numeri che si possono esprimere come numeri decimali. In particolare comprendono anche i frazionari, che come abbiamo visto si possono esprimere come numeri decimali esatti o con sviluppo decimale periodico (sia puro, sia misto). L’insieme dei numeri reali si rappresenta con la lettera R: N⊆Z⊆Q⊆R Allora, i numeri reali che non sono frazionari sono numeri che hanno un sviluppo decimale non periodico. Esempi di reali che non sono frazionari comprendono alcuni numeri importanti e con nome proprio: Aritmetica Novembre 2013 5/7 I numeri reali R I numeri reali sono numeri che si possono esprimere come numeri decimali. In particolare comprendono anche i frazionari, che come abbiamo visto si possono esprimere come numeri decimali esatti o con sviluppo decimale periodico (sia puro, sia misto). L’insieme dei numeri reali si rappresenta con la lettera R: N⊆Z⊆Q⊆R Allora, i numeri reali che non sono frazionari sono numeri che hanno un sviluppo decimale non periodico. Esempi di reali che non sono frazionari comprendono alcuni numeri importanti e con nome proprio: √ √ I 2 = 1, 41421 . . . (vedremo a continuazione che 2 non è infatti frazionario) Aritmetica Novembre 2013 5/7 I numeri reali R I numeri reali sono numeri che si possono esprimere come numeri decimali. In particolare comprendono anche i frazionari, che come abbiamo visto si possono esprimere come numeri decimali esatti o con sviluppo decimale periodico (sia puro, sia misto). L’insieme dei numeri reali si rappresenta con la lettera R: N⊆Z⊆Q⊆R Allora, i numeri reali che non sono frazionari sono numeri che hanno un sviluppo decimale non periodico. Esempi di reali che non sono frazionari comprendono alcuni numeri importanti e con nome proprio: √ √ I 2 = 1, 41421 . . . (vedremo a continuazione che 2 non è infatti frazionario) I φ= √ 1+ 5 2 (il numero aureo) Aritmetica Novembre 2013 5/7 I numeri reali R I numeri reali sono numeri che si possono esprimere come numeri decimali. In particolare comprendono anche i frazionari, che come abbiamo visto si possono esprimere come numeri decimali esatti o con sviluppo decimale periodico (sia puro, sia misto). L’insieme dei numeri reali si rappresenta con la lettera R: N⊆Z⊆Q⊆R Allora, i numeri reali che non sono frazionari sono numeri che hanno un sviluppo decimale non periodico. Esempi di reali che non sono frazionari comprendono alcuni numeri importanti e con nome proprio: √ √ I 2 = 1, 41421 . . . (vedremo a continuazione che 2 non è infatti frazionario) √ 1+ 5 2 (il numero aureo) I φ= I π = 3, 141592 . . . Aritmetica Novembre 2013 5/7 I numeri reali R I numeri reali sono numeri che si possono esprimere come numeri decimali. In particolare comprendono anche i frazionari, che come abbiamo visto si possono esprimere come numeri decimali esatti o con sviluppo decimale periodico (sia puro, sia misto). L’insieme dei numeri reali si rappresenta con la lettera R: N⊆Z⊆Q⊆R Allora, i numeri reali che non sono frazionari sono numeri che hanno un sviluppo decimale non periodico. Esempi di reali che non sono frazionari comprendono alcuni numeri importanti e con nome proprio: √ √ I 2 = 1, 41421 . . . (vedremo a continuazione che 2 non è infatti frazionario) √ 1+ 5 2 (il numero aureo) I φ= I π = 3, 141592 . . . I e = 2, 71828 . . . (la base dei numeri naturali o Neperiani) Aritmetica Novembre 2013 5/7 I numeri reali R I numeri reali sono numeri che si possono esprimere come numeri decimali. In particolare comprendono anche i frazionari, che come abbiamo visto si possono esprimere come numeri decimali esatti o con sviluppo decimale periodico (sia puro, sia misto). L’insieme dei numeri reali si rappresenta con la lettera R: N⊆Z⊆Q⊆R Allora, i numeri reali che non sono frazionari sono numeri che hanno un sviluppo decimale non periodico. Esempi di reali che non sono frazionari comprendono alcuni numeri importanti e con nome proprio: √ √ I 2 = 1, 41421 . . . (vedremo a continuazione che 2 non è infatti frazionario) √ 1+ 5 2 (il numero aureo) I φ= I π = 3, 141592 . . . I e = 2, 71828 . . . (la base dei numeri naturali o Neperiani) I 0, 10100100010000100000. . . Aritmetica Novembre 2013 5/7 √ 2 non è frazionario Useremo un metodo di ragionamento chiamato riduzione all’assurdo: patiremo di una ipotesi, e cercheremo di trovare una contraddizione (un’assurdo). E pertanto questo ci dirà che la ipotesi iniziale è infatti falsa. Aritmetica Novembre 2013 6/7 √ 2 non è frazionario Useremo un metodo di ragionamento chiamato riduzione all’assurdo: patiremo di una ipotesi, e cercheremo di trovare una contraddizione (un’assurdo). E pertanto questo ci dirà che la ipotesi iniziale è infatti falsa. √ Ipotesi: 2 è un numero frazionario. Aritmetica Novembre 2013 6/7 √ 2 non è frazionario Useremo un metodo di ragionamento chiamato riduzione all’assurdo: patiremo di una ipotesi, e cercheremo di trovare una contraddizione (un’assurdo). E pertanto questo ci dirà che la ipotesi iniziale è infatti falsa. √ Ipotesi: 2 è un numero frazionario. p Allora, possiamo scrivere (2) = pq come una frazione con p, q numeri naturali. Possiamo supporre anche che la frazione è irriducibile, perché ogni frazione si può portare a una frazione irriducibile. Aritmetica Novembre 2013 6/7 √ 2 non è frazionario Useremo un metodo di ragionamento chiamato riduzione all’assurdo: patiremo di una ipotesi, e cercheremo di trovare una contraddizione (un’assurdo). E pertanto questo ci dirà che la ipotesi iniziale è infatti falsa. √ Ipotesi: 2 è un numero frazionario. p Allora, possiamo scrivere (2) = pq come una frazione con p, q numeri naturali. Possiamo supporre anche che la frazione è irriducibile, perché ogni frazione si può portare a una frazione irriducibile. Quindi √ 2= p q √ q 2=p √ 2 q 2 =p 2q 2 = p2 Aritmetica (∗) Novembre 2013 6/7 √ 2 non è frazionario Useremo un metodo di ragionamento chiamato riduzione all’assurdo: patiremo di una ipotesi, e cercheremo di trovare una contraddizione (un’assurdo). E pertanto questo ci dirà che la ipotesi iniziale è infatti falsa. √ Ipotesi: 2 è un numero frazionario. p Allora, possiamo scrivere (2) = pq come una frazione con p, q numeri naturali. Possiamo supporre anche che la frazione è irriducibile, perché ogni frazione si può portare a una frazione irriducibile. Quindi √ 2= p q √ q 2=p √ 2 q 2 =p 2q 2 = p2 (∗) A questo punto abbiamo visto che p2 debe essere un numero pari, perché è il doppio di un’altro numero. Ma, siccome p2 è pari, allora p deve essere pari, perché il quadrato di numeri dispari non è mai pari. Aritmetica Novembre 2013 6/7 √ 2 non è frazionario Useremo un metodo di ragionamento chiamato riduzione all’assurdo: patiremo di una ipotesi, e cercheremo di trovare una contraddizione (un’assurdo). E pertanto questo ci dirà che la ipotesi iniziale è infatti falsa. √ Ipotesi: 2 è un numero frazionario. p Allora, possiamo scrivere (2) = pq come una frazione con p, q numeri naturali. Possiamo supporre anche che la frazione è irriducibile, perché ogni frazione si può portare a una frazione irriducibile. Quindi √ 2= p q √ q 2=p √ 2 q 2 =p 2q 2 = p2 (∗) A questo punto abbiamo visto che p2 debe essere un numero pari, perché è il doppio di un’altro numero. Ma, siccome p2 è pari, allora p deve essere pari, perché il quadrato di numeri dispari non è mai pari. Ancora non abbiamo nessuna contraddizione. Continuiamo. Aritmetica Novembre 2013 6/7 √ 2 non è frazionario Siccome p deve essere pari, allora p deve essere il doppio di un numero. Supponiamo che questo numero è k. Allora p = 2k. Aritmetica Novembre 2013 7/7 √ 2 non è frazionario Siccome p deve essere pari, allora p deve essere il doppio di un numero. Supponiamo che questo numero è k. Allora p = 2k. Ma l’equazione (∗) ci dice che 2q 2 = p2 . Aritmetica Novembre 2013 7/7 √ 2 non è frazionario Siccome p deve essere pari, allora p deve essere il doppio di un numero. Supponiamo che questo numero è k. Allora p = 2k. Ma l’equazione (∗) ci dice che 2q 2 = p2 . Allora: 2q 2 = p2 2q 2 = (2k)2 2q 2 = 4k 2 q 2 = 2k 2 Aritmetica Novembre 2013 7/7 √ 2 non è frazionario Siccome p deve essere pari, allora p deve essere il doppio di un numero. Supponiamo che questo numero è k. Allora p = 2k. Ma l’equazione (∗) ci dice che 2q 2 = p2 . Allora: 2q 2 = p2 2q 2 = (2k)2 2q 2 = 4k 2 q 2 = 2k 2 E quindi, q 2 è pari, perché è il doppio di un numero. Per lo stesso ragionamento di prima, q deve essere anche pari, perché i quadrati di numeri dispari non sono mai pari. Aritmetica Novembre 2013 7/7 √ 2 non è frazionario Siccome p deve essere pari, allora p deve essere il doppio di un numero. Supponiamo che questo numero è k. Allora p = 2k. Ma l’equazione (∗) ci dice che 2q 2 = p2 . Allora: 2q 2 = p2 2q 2 = (2k)2 2q 2 = 4k 2 q 2 = 2k 2 E quindi, q 2 è pari, perché è il doppio di un numero. Per lo stesso ragionamento di prima, q deve essere anche pari, perché i quadrati di numeri dispari non sono mai pari. A questo punto abbiamo arrivato a una contrazione, perché irriducibile, ma p e q devono essere entrambi pari!! Aritmetica p q deve essere Novembre 2013 7/7 √ 2 non è frazionario Siccome p deve essere pari, allora p deve essere il doppio di un numero. Supponiamo che questo numero è k. Allora p = 2k. Ma l’equazione (∗) ci dice che 2q 2 = p2 . Allora: 2q 2 = p2 2q 2 = (2k)2 2q 2 = 4k 2 q 2 = 2k 2 E quindi, q 2 è pari, perché è il doppio di un numero. Per lo stesso ragionamento di prima, q deve essere anche pari, perché i quadrati di numeri dispari non sono mai pari. A questo punto abbiamo arrivato a una contrazione, perché irriducibile, ma p e q devono essere entrambi pari!! √ Quindi, l’ipotesi iniziale è falsa, cioè: 2 non è frazionario. Aritmetica p q deve essere Novembre 2013 7/7