Soluzione

Università Carlo Cattaneo
Corso di laurea in Economia Aziendale (EA-EASI)
STATISTICA I
Prova generale
15 giugno 2003
SOLUZIONI
Si riportino ove necessario le formule impiegate per il calcoli
ESERCIZIO 1 (8 punti) Per arrivare ad una cena fra amici, Paolo e Giovanna scelgono, con uguale probabilità, fra i
seguenti mezzi di trasporto: bus, auto e bicicletta. Le probabilità che ciascuno dei due amici giunga in ritardo, se
prendono rispettivamente il bus, l'auto e la bicicletta, sono pari a : 0.6, 0.2 e 0.4.
a) Determinare la probabilità che Paolo arrivi in ritardo.
Definito A1 = ”preso mezzo di trasporto bus”, A2 = ”preso mezzo di trasporto auto” e A3 = ”preso mezzo di trasporto
bicicletta” e definito con B l’evento “arrivo in ritardo”, si ha che P(A1) = 1/3, P(A2) = 1/3 e P(A3) = 1/3, P(B|A1) =
0.6, P(B|A2) = 0.2 e P(B|A3) = 0.4. Per il teorema delle probabilità totali
PB  i 1 P Ai   PB | Ai   1/3 
3
(0.6) + 1/3  (0.2) + 1/3  (0.4) = 0.4.
b) Se Paolo e Giovanna viaggiano indipendentemente, qual è la probabilità che almeno uno giunga in ritardo?
Definito B1 = “Paolo arriva in ritardo” e B2 = “Giovanna arriva in ritardo”, l’evento B1B2 corrisponde al caso in
cui almeno uno dei due amici arrivi in ritardo. Allora P(B 1B2)= P(B1) + P(B2) – P(B1B2) = 0.4 + 0.4 – 0.16 =
0.64 poiché P(B1B2) = P(B1)  P(B2) = 0.4  0.4 = 0.16 essendo i due eventi indipendenti, ma non incompatibili.
c) Sapendo che Paolo è arrivato in ritardo, qual è la probabilità che abbia viaggiato in auto?
Definito A2 = ” preso mezzo di trasporto auto” e definito con B l’evento “arrivo in ritardo”, per il teorema di Bayes
si ha che P A2 | B  
P A2   PB | A2  1 / 3  0.2 1

  0.1667 .
P B 
0.4
6
d) Come cambierebbe la probabilità nel punto b) se Paolo e Giovanna viaggiassero entrambi sempre con lo stesso
mezzo?
Se entrambi viaggiassero sempre con il bus allora la probabilità che ciascuno arrivi in ritardo è P(B) = 0.6; se
viaggiassero sempre con l’auto allora P(B) = 0.2; se viaggiassero sempre con la bicicletta allora P(B) = 0.4. La
probabilità che almeno uno arrivi in ritardo se entrambi prendono il bus è 0.6 + 0.6 – 0.6  0.6 = 0.84; se entrambi
prendono la macchina è 0.2 + 0.2 – 0.2  0.2 = 0.36; se entrambi prendono la bicicletta è pari a 0.4 + 0.4 – 0.4  0.4
= 0.64.
ESERCIZIO 2 (12 punti) Data la seguente distribuzione di un gruppo di candidati ad un concorso secondo il voto di
diploma ed il punteggio nella prova di concorso:
Punteggio alla prova di
concorso (Y)
Voto diploma (X)
36-40
41-45
46-50
51-60
10-19
20-25
26-30
4
5
8
2
18
12
3
15
22
11
a) Rappresentare graficamente la distribuzione marginale del voto di diploma X e trovare la sua funzione di
ripartizione.
La distribuzione marginale del voto di diploma X è indicata nella colonna pi.
xi|-xi+1
36|-41
41|-46
46|-51
51|-|60
Totale
fi
6
38
42
14
100
pi
6/100=0.06
0.38
0.42
0.14
1.00
i
ci
0.012
0.076
0.084
0.016
5
5
5
9
Fi+1
0.06
0.44
0.86
1
La rappresentazione distribuzione marginale del voto di diploma X è un istogramma, dove ciascun rettangolo ha per
base l’ampiezza della classe i e altezza le frequenze specifiche ci. Le coordiante dell’istogramma sono:
0.012 36  x  41
0.076 41  x  46
0.84 46  x  51
0.016 51  x  60
Infine la funzione di ripartizione è pari a
0
0  0.012  ( x  36)

0.06  0.076  ( x  41)
FX  x   
0.44  0.84  ( x  46)
0.86  0.016  ( x  51)

1
x  36
36  x  41
41  x  46
46  x  51
51  x  60
x  60

b) Determinare la medie e la varianza di X e Y.
Per determinare la media e la varianza di X e Y è necessario determinare il valore rappresentativo delle classi di X
(38, 43, 55.5) e di Y (14.5, 22.5, 28) e le frequenze relative di Y
Punteggio alla prova di
concorso (Y)
Voto diploma (X)
38
43
48
55.5
14.5
22.5
0.04
0.05
0.08
0.02
0.18
0.12
0.03
0.35
0.17
28
0.15
0.22
0.11
0.48
0.06
0.38
0.42
0.14
1
M(X) = 38  0.06 + 43  0.38 + 48  0.42 + 55.5  0.14 = 46.55
V(X) = (38 - 46.55)2  0.06 + (43 - 46.55)2  0.38 + (48 - 46.55)2  0.42 + (55.5 - 46.55)2  0.14 = 21.2725
M(Y) = 15.5  0.17 + 22  0.35 + 28  0.48 = 23.78
V(Y) = (14.5 - 23.78)2  0.17 + (22.5-23.78)2  0.35 + (28-23.78)2  0.48 = 23.7616
c) Trovare la correlazione tra X e Y. Commentare.
Per determinare la correlazione è necessario determinare la covarianza fra X e Y
Cov(X,Y) = M(XY) - M(X)  M(X) = 1114.4275 - 46.55  23.78 = 7.4685
 = Cov(X,Y) / ((X)   (Y)) = 7.4685 / (4.6122  4.8746) = 0.3322. Le due variabili sono poco correlate.
ESERCIZIO 3 (3 punti). Dare una spiegazione breve della/e scelta/e . Se la varianza di un insieme di numeri è pari a
zero ne segue che:
a)  Metà dei valori sono positivi e metà negativi
c) X I numeri sono tutti uguali
b)  La media deve esser pari a 0
d)  I valori sono simmetrici rispetto allo zero
Se tutti i numeri sono uguali non c’è variabilità e quindi la varianza è pari a zero.

ESERCIZIO 4 (3 punti). Dare una spiegazione breve della/e scelta/e. Dati due eventi A e B con AB e P(B)=1/3:
a)  P(A|B) = 3 P(A)
c) X P(AB) =1/3
Se AB, allora AB = B e quindi P(AB) = P(B) = 1/3.

b)  P(A|B)=P(A) /3
d)  A e B sono indipendenti