Calcolo integrale - Alessandro Gambini

Calcolo integrale
Esercizi da svolgere
1. Provare che f (x) = log(7x) + 1 e g(x) = log(x2 ) − log(x) sono primitive
delle stesse funzioni. Determinare la costante per cui differiscono.
2. Calcolare l’area della parte di piano compresa f (x) = |x| − x2 e g(x) =
x2 − 1
Rx
sin(t2 )dt
3. Calcolare lim 1
x→0
3x3
4. Calcolare i seguenti integrali definiti:
Z 1 p
Z 1
Z 1
6
•
x x2 + 1dx
•
x2 cos xdx
•
dx
2−9
x
−1
0
0
Z π
Z 3p
Z e2
1
•
ex sin x + xdx
•
9 − x2 dx
√
•
dx
x
log
x
0
0
e
Z 0
Z 1
Z 1
3
ex
1
•
x2 ex dx
•
•
dx
dx
2x
x
2
− 4e + 3
−1
0 e
0 x +x+1
Z +∞
t+2
√
5. Stabilire la convergenza del seguente integrale:
2 t−1
t
1
Z +∞ p+1
t
+1
6. Determinare per quali p ∈ R il seguente integrale è convergente:
2+1
t
0
7. Disegnare un graficoZqualitativo della funzione, calcolando monotonia e
x
t2
concavità di F (x) =
dt.
4
0 1+t
8. Calcolare la media integrale µ di f (x) = max{|x|, x2 } sull’intervallo [0, 2]
e individuare un valore di c per cui µ = f (c). Perché tale valore è unico?
9. Trovare
la primitiva della funzione f (x) = x sin(x2 ) che si annulla in x =
√
π.
10. Data
R x la funzione f (x) in figura disegnare un grafico qualitativo di F (x) =
f (t)dt
−1
1
Domande
1. La derivata di una funzione pari è sempre una funzione dispari e viceversa
(provate a dimostrarlo!). Quindi le primitive di funzioni pari sono sempre
funzioni dispari?
2. Se f 00 (x) = ex come risulta in generale f (x)?
3. Se w(t) è il tasso di crescita di un bambino in etti all’anno, cosa rappresenta
Z 5
Z x
w(t)dt? E
w(t)dt?
2
0
Z
a
4. Se f (x) è una funzione pari in quale altro modo posso scrivere
f (x)dx
−a
?
Z
1
5. E’ possibile calcolare
x2 dx utilizzando la definizione di integrale (som-
0
ma di infiniti rettangoli di base infinitesima)?
Z +∞
∞
X
1
1
6. E’ maggiore la somma della serie
o
dx ? Perché?
2
2
n
x
1
n=1
Z
x
7. Se F (x) =
f (t)dt con F (x) derivabile ha un asintoto orizzontale per
0
x → ∞, quanto vale lim f (x) ?
x→∞
2