1 - Docenti.unina
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1786_Cop_Nuova_formazione_vol_E_ok:Layout 1 17/12/2008 12.55 Pagina 1 6 Dodero - Baroncini - Manfredi Nella Dodero - Paolo Baroncini - Roberto Manfredi volume A algebra prima parte + quaderno di recupero 1 ISBN 978-88-538-1780-8 goniometria, trigonometria, numeri complessi volume B algebra seconda parte + quaderno di recupero 2 ISBN 978-88-538-1782-2 volume C geometria razionale ISBN 978-88-538-1784-6 volume D geometria analitica e complementi di algebra ISBN 978-88-538-1785-3 + goniometria, trigonometria, numeri complessi volume E goniometria, trigonometria, numeri complessi ISBN 978-88-538-1786-0 Altra opzione di acquisto volume A + quaderno di recupero 1 + volume C ISBN 978-88-538-1781-5 Per il docente Indicazioni didattiche, prove d’ingresso, schede di verifica ISBN 978-88-538-1787-7 Nel sito www.scuola.com sono disponibili risorse didattiche aggiuntive nell’area contrassegnata dal simbolo Prezzo di vendita al pubblico € 9,00 (Defiscalizzato € 8,65) di 0 fre 6- an ica 78 M at -1 R. m 38 - ate -5 ini m 88 c la 8- ron al i 97 . Ba ne e E orv BN P zio um C IS ro - ma vol tti e de or ise Do a F Gh N. uov N ISBN 978-88-538-1786-0 Questo volume, sprovvisto del talloncino a sinistra, è da considerarsi copia di SAGGIO-CAMPIONE GRATUITO, fuori commercio (vendita e altri atti di disposizione vietati: art. 17, c. 2. L. 633/1941). Fuori campo applicazione I.V.A. (D.P.R. 26/10/72, n. 633, art. 2, 3° co, lett. d.) 1786_Fronte_ Nuova_formazione_vol_E:Nuova_formazione_A_fronte 13/11/2008 15.03 Pagina 1 Nella Dodero - Paolo Baroncini - Roberto Manfredi goniometria, trigonometria, numeri complessi ISBN_1786_Nuova_Formazione_Mod_E:Layout 1 17/12/2008 9.55 Pagina 1 internet: www.ghisettiecorvi.it e-mail: [email protected] Gli Autori e l’Editore ringraziano la professoressa Carla Gabriella Villa per la preziosa collaborazione. Proprietà letteraria riservata © 2009 De Agostini Scuola SpA – Novara 1ª edizione: gennaio 2009 Printed in Italy La fotografia di questo volume è stata fornita da: © Matthias Kulka / zefa / Corbis. Derive 6 è un marchio depositato di Texas Instruments Incorporated. L’Editore dichiara la propria disponibilità a regolarizzare eventuali omissioni o errori di attribuzione. Nel rispetto del DL 74/92 sulla trasparenza nella pubblicità, le immagini escludono ogni e qualsiasi possibile intenzione o effetto promozionale verso i lettori. Tutti i diritti riservati. Nessuna parte del materiale protetto da questo copyright potrà essere riprodotta in alcuna forma senza l’autorizzazione scritta dell’Editore. Fotocopie per uso personale del lettore possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall’art. 68, comma 4, della legge 22 aprile 1941, n. 633. Le riproduzioni ad uso differente da quello personale potranno avvenire, per un numero di pagine non superiore al 15% del presente volume, solo a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da AIDRO – Corso di Porta Romana, 108 – 20122 Milano – e-mail: [email protected]; www.aidro.org Eventuali segnalazioni di errori o refusi e richieste di chiarimenti sulle scelte operate dagli autori e dalla Casa Editrice possono essere inviate all’indirizzo di posta elettronica della redazione. Stampa: A.G.F. Italia s.r.l. – Peschiera Borromeo (MI) Ristampa: 0 Anno: 2009 1 2 3 2010 4 5 2011 6 7 2012 8 9 2013 10 11 2014 Nuova formazione alla matematica E - Ghisetti e Corvi © 2009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara d:/lavori/Sedes/ISBN_1786_09/indice.3d - 15/12/2008 - La Pulce Simboli usati nel testo . . . . . . . . . . . . . . . . . . V Unità 3. Equazioni e disequazioni goniometriche Equazioni goniometriche elementari e a esse riconducibili Unità 1. Funzioni goniometriche 1 Misura degli angoli 1 2 3 4 5 Introduzione . . . . . . . . . . . . . Misura degli angoli in gradi . . . Misura degli angoli in radianti . Da gradi a radianti e viceversa La circonferenza goniometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 3 3 4 2 3 4 5 6 Seno, coseno e tangente di un angolo 6 7 8 9 10 Seno e coseno di un angolo . . . . . . . . . . Tangente di un angolo . . . . . . . . . . . . . . . 5 7 7 Relazioni fondamentali tra seno e coseno dello stesso angolo . . . . . . . . . . . . . . . . . Relazione tra tangente, seno e coseno dello stesso angolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cotangente di un angolo . . . . . . . . . . . . . 9 8 8 12 13 Angolo di 45º . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Angolo di 30º . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Angolo di 60º . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 60 62 64 ...... 65 ...... 66 Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equazioni lineari omogenee . . . . . . . . . . . Risoluzione di un’equazione lineare mediante le formule parametriche . . . . . . 67 67 67 Disequazioni goniometriche elementari 10 Angoli notevoli 11 . . . . Equazioni lineari in seno e coseno Relazioni fondamentali tra le funzioni goniometriche 9 10 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . Angoli di dato seno . . . . . . . . . . . Angoli di dato coseno . . . . . . . . . Angoli di data tangente . . . . . . . . Equazioni riconducibili a equazioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equazioni riconducibili a equazioni elementari mediante formule goniometriche . . . . . . . . . . . . . . . 11 11 11 Risoluzione delle disequazioni goniometriche elementari . . . . . . . . . . . . 68 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Scheda di autovalutazione . . . . . 92 Grafici delle funzioni goniometriche 14 Rappresentazione grafica della variazione del seno, del coseno, della tangente . . . . 12 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Scheda di autovalutazione . . . . . 28 Unità 4. Trigonometria Triangoli rettangoli 1 2 3 4 Unità 2. Formule goniometriche 1 2 3 Angoli associati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Angoli opposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Angoli complementari . . . . . . . . . . . . . . . 6 29 31 31 Formule di addizione, duplicazione, bisezione, parametriche 4 5 6 7 Formule Formule Formule Formule di addizione e sottrazione di duplicazione . . . . . . . . di bisezione . . . . . . . . . . parametriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 34 34 35 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Scheda di autovalutazione . . . . . 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 94 96 97 Il teorema dei seni – Il teorema di Carnot . Risoluzione dei triangoli qualsiasi . . . . . . . . 98 99 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Scheda di autovalutazione . . . . . 122 Triangoli qualsiasi 5 Relazioni tra le funzioni di angoli associati, angoli opposti, angoli complementari Oggetto della trigonometria . . . . Teoremi sui triangoli rettangoli . . Risoluzione dei triangoli rettangoli Area di un triangolo qualsiasi . . . Unità 5. Forma algebrica dei numeri complessi Numeri immaginari 1 2 3 4 Ampliamenti degli insiemi numerici . I numeri immaginari . . . . . . . . . . . . Operazioni con i numeri immaginari Potenze dell’unità immaginaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III Nuova formazione alla matematica E - Ghisetti e Corvi © 2009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara 123 123 124 125 d:/lavori/Sedes/ISBN_1786_09/indice.3d - 15/12/2008 - La Pulce 2 Numeri complessi 5 6 7 8 I numeri complessi in forma algebrica . . . . Operazioni con i numeri complessi . . . . . . Risoluzione di equazioni di secondo grado nell’insieme dei numeri complessi . . . . . . . Rappresentazione geometrica dei numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 127 129 4 131 5 Vettori e numeri complessi 9 10 3 Generalità sui vettori . . . . . . . . . . . . . . . . Numeri complessi e vettori . . . . . . . . . . . . 132 134 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Scheda di autovalutazione . . . . . 148 6 Dalla forma algebrica alla forma trigonometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prodotto di due numeri complessi in forma trigonometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quoziente di due numeri complessi in forma trigonometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potenza di un numero complesso . . . . . . Radici n-esime di un numero complesso . 151 153 154 155 156 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Scheda di autovalutazione . . . . . 168 Laboratorio di matematica Attività con Derive . . . . . . . . . . . . . 170 Unità 6. Forma trigonometrica dei numeri complessi Rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi 1 Modulo e argomento di un numero complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Fare matematica con Derive Fare matematica con il foglio elettronico Fare geometria con Cabri Disponibile on line su www.ghisettiecorvi.it IV Nuova formazione alla matematica E - Ghisetti e Corvi © 2009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara d:/lavori/Sedes/ISBN_1786_09/simboli.3d - 6/12/2008 - La Pulce Simboli usati nel testo 2 simbolo di appartenenza Rþ 0 insieme dei numeri reali positivi e dello zero simbolo di inclusione tra insiemi in senso stretto R insieme dei numeri reali negativi R 0 insieme dei numeri reali negativi e dello zero simbolo di inclusione tra insiemi in senso largo [ insieme vuoto j «tale che» [ simbolo di unione tra insiemi \ simbolo di intersezione tra insiemi simbolo di differenza tra insiemi simbolo di prodotto cartesiano tra insiemi A complementare dell’insieme A rispetto all’insieme ambiente CU A complementare dell’insieme A rispetto all’insieme ambiente U N insieme dei numeri naturali N insieme dei numeri naturali, escluso lo zero (N f0g) Z insieme dei numeri interi relativi Q insieme dei numeri razionali R insieme dei numeri reali Rþ insieme dei numeri reali positivi 9 quantificatore esistenziale (leggi «esiste») 8 quantificatore universale (leggi «per ogni») _ simbolo di disgiunzione tra proposizioni o predicati (leggi «vel», «o», «oppure») ^ simbolo di congiunzione tra proposizioni o predicati (leggi «et», «e contemporaneamente») ! freccia che si usa per collegare due espressioni A e B da A a B ! doppia freccia che si usa per collegare due espressioni A e B da A a B e viceversa ffi simbolo di congruenza tra figure // simbolo di parallelismo tra rette ? : ¼ simbolo di perpendicolarità tra rette ’ simbolo di uguaglianza numerica approssimata simbolo di coincidenza tra punti o tra figure simbolo di equiestensione o equivalenza tra figure V Nuova formazione alla matematica E - Ghisetti e Corvi © 2009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara d:/lavori/Sedes/ISBN_1786_09/c01u01.3d - 6/12/2008 - La Pulce c c c c c Misura degli angoli Seno, coseno e tangente di un angolo Relazioni fondamentali tra le funzioni goniometriche Angoli notevoli Grafici delle funzioni goniometriche È richiesta la conoscenza delle fondamentali nozioni di algebra e di geometria piana; è inoltre necessario aver compreso il concetto di funzione e di rappresentazione grafica di una funzione. Conoscenze Abilità Alla fine dell’unità conoscerai Alla fine dell’unità sarai in grado di c i sistemi di misura degli angoli c convertire la misura di un angolo da un sistema di misura all’altro c le più importanti funzioni goniometriche: seno, coseno e tangente di un angolo c le relazioni tra queste funzioni c i loro valori per alcuni angoli notevoli c la rappresentazione grafica delle tre funzioni fondamentali c noto il valore di una delle tre funzioni per un dato angolo, calcolare il valore delle altre due funzioni c rappresentare graficamente le tre funzioni fondamentali Misura degli angoli 1 Introduzione Per angolo si intende ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da due sue semirette aventi la stessa origine (Figura 1). ango angolo so a ng vertice lati conves lo olo co n c a v o Figura 1 Un angolo si può anche considerare generato dalla rotazione, in un piano, di una delle due semirette intorno all’origine O fino a sovrapporsi all’altra semiretta: è quindi necessario indicare quale delle due semirette è il primo lato e fissare il verso di rotazione. 1 Nuova formazione alla matematica E - Ghisetti e Corvi © 2009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara d:/lavori/Sedes/ISBN_1786_09/c01u01.3d - 6/12/2008 - La Pulce Unità 1 Funzioni goniometriche Solitamente intenderemo verso positivo per le rotazioni quello antiorario, cioè quello opposto al moto delle lancette dell’orologio. Parleremo quindi di angoli orientati e diremo che un angolo è orientato se è indicato quale sia il primo lato ed è fissato il verso di rotazione. c è positiAd esempio in Figura 2 l’angolo ab c vo mentre l’angolo cd è negativo. Osserviamo inoltre che la semiretta a, per sovrapporsi alla b, potrebbe anche descrivere uno o più giri completi: in tal caso l’ampiezza dell’angolo cosı̀ descritto differic di uno o più angoli sce dall’ampiezza di ab Figura 2 giro. 2 d efinizione Misura degli angoli in gradi Esistono diversi metodi per misurare l’ampiezza di un angolo, a seconda dell’unità di misura che si sceglie. Le unità di misura più usate sono il grado sessagesimale e il radiante. Il grado è la 360ma parte dell’angolo giro. Il grado si indica con ( ). Esso si divide in 60 primi, cioè 1 ¼ 600 ; a sua volta il primo (0 ) si divide in 60 secondi, cioè 10 ¼ 6000 . Il secondo (00 ) può essere poi diviso in decimi, centesimi ecc. Il grado cosı̀ definito si chiama anche grado sessagesimale. bB misurata nel sistema sessagesimale si può, per Per indicare l’ampiezza di un angolo AO 0 b esempio, scrivere AOB ¼ 85 24 46;500 La misura in gradi può anche essere espressa sessagesimali decimale: in forma basta ricor1 1 1 1 1 0 00 0 00 dare che 1 ¼ e1 ¼ ¼ . 1 , cioè 1 ¼ 60 60 60 60 3600 e sempi Esprimiamo in forma decimale la misura dell’angolo di 85 240 46;500 . Si ha 1 1 85 24 46;5 ¼ 85 þ 24 þ 46;5 ¼ 85 þ 24 þ 46;5 ¼ 60 3600 46;5 24 14:865 ¼ 85 þ ¼ 85 þ 0;4129::: ’ 85;413 ¼ 85 þ þ 60 36:000 3600 0 00 0 00 Il risultato è stato arrotondato alla terza cifra dopo la virgola ed è cosı̀ approssimato a meno di un millesimo di grado. Esprimiamo in gradi, primi e secondi l’ampiezza dell’angolo di 37;251 , arrotondando il risultato a 100 . Si ha 37;251 ¼ 37 þ 0;251 ¼ 37 þ 0;251 600 ¼ 37 þ 15;060 ¼ 37 þ 150 þ 0;060 ¼ ¼ 37 þ 150 þ 0;06 6000 ¼ 37 þ 150 þ 3;600 ’ 37 þ 150 þ 400 quindi 37;251 ’ 37 150 400 2 Nuova formazione alla matematica E - Ghisetti e Corvi © 2009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara d:/lavori/Sedes/ISBN_1786_09/c01u01.3d - 6/12/2008 - La Pulce Unità 1 3 Misura degli angoli in radianti d efinizione Il radiante (rad) è l’angolo che, avendo il vertice nel centro di una circonferenza, sottende un arco di lunghezza uguale al raggio della circonferenza (Figura 3). L’ampiezza dell’angolo cosı̀ ottenuto non dipende dalla circonferenza scelta né dal suo raggio. In matematica il radiante è spesso usato come unità di misura degli angoli. La misura in radianti di un angolo è il rapporto tra l’ampiezza dell’angolo e quella del radiante. Per misurare in radianbB di vertice O (Figura 4), immaginiamo una ti un angolo AO circonferenza di raggio r con il centro in O (per semplicità supporremo che A e B siano punti di questa circonferenza). Su questa circonferenza prendiamo poi un punto C bC sia un radiante o, il che è in modo che l’ampiezza di AO la stessa cosa, in modo che AC ¼ r. Se chiamiamo la mibB, è il rapporto tra AO bB e AO bC: sura in radianti di AO b ¼ AOB b AOC Figura 3 Figura 4 Poiché in una circonferenza gli angoli al centro sono proporzionali agli archi che sottendono, detta l la lunghezza dell’arco AB ed essendo AC ¼ r, si ha: ¼ AB ! r ¼ l r AC Poiché l’arco sotteso da un angolo giro è l’intera circonferenza, la cui lunghezza è 2r, la misura di un angolo giro, in radianti, è 2r ¼ 2. Pertanto l’ampiezza dell’angolo giro può r essere indicata indifferentemente da 360 o da 2 rad. In modo analogo si può ottenere la misura di un angolo piatto, che è , e quella dell’angolo retto, che è . 2 Quindi si ha 180 ¼ rad; 90 ¼ rad 360 ¼ 2 rad; 2 1 ¼ rad ! 1 ¼ rad e, pertanto, per l’angolo di 1 si avrà 180 180 4 Da gradi a radianti e viceversa Abbiamo visto che un grado equivale a radianti, quindi se è la misura in gradi del180 l’ampiezza di un certo angolo, la sua misura , in radianti, è r¼a 1 180 1 si deduce Dalla j 2 ¼ ! a ¼ 180 r 180 1 permette di calcolare la misura in radianti di un angolo di cui è nota la misura La j in gradi. 3 Nuova formazione alla matematica E - Ghisetti e Corvi © 2009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara d:/lavori/Sedes/ISBN_1786_09/c01u01.3d - 6/12/2008 - La Pulce Unità 1 Funzioni goniometriche 2 , viceversa, permette di passare dalla misura in radianti di un angolo alla sua La j misura in gradi. 180 e deduciamo cosı̀ che l’angolo di 1 rad equi2 poniamo ¼ 1, si ha ¼ Se nella j 180 ’ 57;323 . vale all’angolo di e sempi La misura in radianti di un angolo di 150 è ¼ 150 180 ! ¼ 5 6 da cui deduciamo che l’angolo di 150 misura, in radianti, 5 . 6 La misura in gradi di un angolo di 7 rad è 6 180 7 ! ¼ 210 ¼ 6 e si ha cosı̀ che l’angolo la cui ampiezza è di 7 rad corrisponde a 210 . 6 La seguente tabella riporta le misure in gradi e le corrispondenti misure in radianti di alcuni angoli notevoli. 5 gradi 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 radianti 0 6 4 3 2 2 3 3 4 5 6 3 2 2 La circonferenza goniometrica In un piano cartesiano xOy disegniamo la circonferenza con centro nell’origine O e raggio unitario: essa prende il nome di circonferenza goniometrica. La sua equazione è x2 þ y2 ¼ 1 c ¼ . Facciamo coincidere l’origine del sistema di riferiSia dato un angolo orientato ab mento con il vertice dell’angolo e il suo primo lato a con il semiasse positivo delle ascisse (Figura 5 dove è positivo e Figura 6 dove è negativo): diremo che è un angolo della circonferenza goniometrica. Sia A il punto in cui il primo lato incontra la circonferenza goniometrica (quindi OA ¼ 1) e sia B il punto in cui il secondo lato interseca la circonferenza goniometrica (quindi OB ¼ 1). Figura 5 Figura 6 4 Nuova formazione alla matematica E - Ghisetti e Corvi © 2009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara d:/lavori/Sedes/ISBN_1786_09/c01u01.3d - 6/12/2008 - La Pulce Unità 1 Qualsiasi sia l’angolo , il punto A ha sempre la stessa posizione avendo per coordinate ð1 ; 0Þ: Að1 ; 0Þ Invece la posizione del punto B varia al variare dell’angolo e quindi anche le sue coordinate dipendono dall’angolo considerato. Pertanto il punto B della circonferenza goniometrica è detto punto associato all’angolo a. Riportiamo in Figura 7 i punti associati ai Figura 7 multipli di un angolo retto compresi tra 0 e þ360 (0 e 2). Consideriamo ora la Figura 8, dove sono rappresentati angoli diversi. L’angolo di 120 è del terzo quadrante e il punto a esso associato è il punto B1 . L’angolo di 480 ¼ 360 þ 120 è del secondo quadrante ed è associato al punto B2 . L’angolo di 300 è del primo quadrante ed è associato al punto B3 . Infine l’angolo di 330 è del quarto quadrante ed è associato al punto B4 . Figura 8 La corrispondenza che si stabilisce tra angoli orientati e punti associati sulla circonferenza non è biunivoca. Infatti a ogni angolo è associato un solo punto, ma ogni punto della circonferenza goniometrica è associato a infiniti angoli. In Figura 9, per esempio, è rappresentato il punto B associato agli angoli di þ45 , þ405 , 315 . In generale, se e sono due angoli associati allo stesso punto, vale la relazione ¼ þ k 360 , dove k indica un qualsiasi numero intero positivo, negativo o nullo, cioè k 2 Z: b ¼ a þ k 360 con k 2 Z Se e sono misurati in radianti ¼ þ 2k con k 2 Z Figura 9 Seno, coseno e tangente di un angolo 6 Seno e coseno di un angolo Le coordinate del punto B della circonferenza goniometrica associato a un dato angolo dipendono dall’ampiezza dell’angolo, ossia sono funzioni dell’angolo prescelto. 5 Nuova formazione alla matematica E - Ghisetti e Corvi © 2009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara d:/lavori/Sedes/ISBN_1786_09/c01u01.3d - 6/12/2008 - La Pulce Unità 1 d efinizione Funzioni goniometriche Il seno di un angolo è l’ordinata del punto associato ad nella circonferenza goniometrica. Il coseno di un angolo è l’ascissa del punto associato ad nella circonferenza goniometrica. Perciò, per definizione, se B è il punto della circonferenza goniometrica associato all’anbB ¼ (Figura 10), si ha golo AO sen a ¼ yB e Figura 10 cos a ¼ xB Figura 11 bP ¼ di Figura 11 e supponiamo che P si muova sulla circonfeConsideriamo l’angolo AO renza in modo che l’angolo assuma tutti i valori possibili tra 0 e 360 . c Quando P A, cioè ¼ 0 , l’ordinata di P è zero e l’ascissa di P è 1; quindi si avrà sen 0 ¼ 0 cos 0 ¼ 1 c Quando P si sposta, a partire da A nel primo quadrante, cresce da 0 a 90 : l’ordinata e l’ascissa di P sono positive, cioè sen a > 0 cos a > 0 Precisamente, l’ordinata cresce da 0 a 1, mentre l’ascissa decresce da 1 a 0; si avrà poi sen 90 ¼ 1 cos 90 ¼ 0 c Al crescere di da 90 a 180 nel secondo quadrante è sen a > 0 cos a < 0 e sen decresce da 1 a 0, mentre cos decresce da 0 a 1; si avrà poi sen 180 ¼ 0 cos 180 ¼ 1 c Analogamente, al crescere di da 180 a 270 nel terzo quadrante, si ha sen a < 0 cos a < 0 e sen decresce da 0 a 1, mentre cos cresce da 1 a 0; si avrà poi sen 270 ¼ 1 cos 270 ¼ 0 c Infine, al crescere di da 270 a 360 nel quarto quadrante, si ha sen a < 0 cos a > 0 e sen cresce da 1 a 0 e cos cresce da 0 a 1; si avrà poi sen 360 ¼ 0 cos 360 ¼ 1 Se l’angolo cresce oltre i 360 , il punto P, a esso associato sulla circonferenza goniometrica, ripercorre la circonferenza e i valori di sen e di cos si ripetono periodicamente. Diremo perciò che le funzioni goniometriche sen e cos sono funzioni periodiche con periodo uguale a 360 (o, in radianti, 2 rad). 6 Nuova formazione alla matematica E - Ghisetti e Corvi © 2009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara d:/lavori/Sedes/ISBN_1786_09/c01u01.3d - 6/12/2008 - La Pulce Unità 1 Scriveremo quindi senða þ k 360 Þ ¼ sen a e cosða þ k 360 Þ ¼ cos a con k 2 Z senða þ 2kÞ ¼ sen a e cosða þ 2kÞ ¼ cos a con k 2 Z Osservando poi che P, essendo un punto della circonferenza con centro nell’origine e raggio 1, ha ordinata e ascissa certamente maggiori o uguali a 1 e minori o uguali a 1, si deduce 1 sen a 1 e 1 cos a 1 7 Tangente di un angolo bB ¼ che inseriamo, al solito modo, nella circonferenza goConsideriamo un angolo AO niometrica (Figura 12); dal punto A, in cui il primo lato di interseca la circonferenza, conduciamo la retta t tangente alla circonferenza. Sia T il punto in cui il secondo lato dell’angolo, o il suo prolungamento, interseca tale tangente. La posizione del punto T sulla retta t varia al variare dell’angolo e quindi l’ordinata di T dipende dall’ampiezza dell’angolo (Figure 13, 14, 15). Viene cosı̀ definita una nuova funzione goniometrica, la tangente goniometrica (o semplicemente tangente) dell’angolo : tan a ¼ yT d efinizione La tangente di un angolo orientato è l’ordinata del punto d’intersezione tra il secondo lato dell’angolo, o il suo prolungamento, e la retta tangente alla circonferenza goniometrica nel punto ð1 ; 0Þ. Se il secondo lato dell’angolo è sull’asse y, tale lato risulta parallelo alla retta t e, quindi, non la interseca. Perciò se è ¼ 90 þ k 360 , oppure, in radianti, ¼ þ 2k, non è definito alcun 2 valore di tan . Anche la tangente, come il seno e il coseno, è funzione dell’angolo: le sue variazioni sono evidenziate dalle figure affiancate alla tabella seguente. angolo tangente ¼ 0 tan 0 ¼ 0 0 < < 90 tan > 0 rappresentazione grafica Figura 12 ¼ 90 tan 90 non esiste 90 < < 180 tan < 0 Figura 13 ¼ 180 tan 180 ¼ 0 7 Nuova formazione alla matematica E - Ghisetti e Corvi © 2009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara d:/lavori/Sedes/ISBN_1786_09/c01u01.3d - 6/12/2008 - La Pulce Unità 1 Funzioni goniometriche angolo tangente 180 < < 270 tan > 0 rappresentazione grafica Figura 14 ¼ 270 tan 270 non esiste 270 < < 360 tan < 0 Figura 15 ¼ 360 tan 360 ¼ 0 Sempre considerando le quattro figure, deduciamo che la tangente di un angolo è una funzione periodica dell’angolo, con periodo uguale a 180 . Scriveremo quindi tanða þ k 180 Þ ¼ tan a con k 2 Z oppure tanða þ kÞ ¼ tan a con k 2 Z Si può affermare che la tangente assume, al variare dell’angolo, tutti i possibili valori reali compresi nell’intervallo ð1 ; þ1Þ. Relazioni fondamentali tra le funzioni goniometriche 8 Relazioni fondamentali tra seno e coseno dello stesso angolo Osserviamo in Figura 16 il punto B associato ad ; per definizione si ha xB ¼ cos a e yB ¼ sen a Poiché il punto B appartiene alla circonferenza goniometrica, le sue coordinate devono soddisfare l’equazione x2 þ y2 ¼ 1 di tale circonferenza e deve quindi essere x 2B þ y 2B ¼ 1 Sostituendo, si ha ðcos aÞ2 þ ðsen aÞ2 ¼ 1, da cui si ottiene la prima relazione fondamentale sen 2 a þ cos 2 a ¼ 1 1 Figura 16 8 Nuova formazione alla matematica E - Ghisetti e Corvi © 2009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara d:/lavori/Sedes/ISBN_1786_09/c01u01.3d - 6/12/2008 - La Pulce Unità 1 cioè la somma dei quadrati del seno e del coseno di uno stesso angolo è uguale all’unità. 1 ricaviamo Dalla j pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi cos 2 ¼ 1 sen 2 ! cos a ¼ 1 sen 2 a oppure sen 2 ¼ 1 cos 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ! sen a ¼ 1 cos 2 a Il segno davanti alla radice potrà essere definito solo conoscendo in quale quadrante è il punto associato all’angolo . e sempio Dato sen ¼ 3 , calcoliamo cos . 5 Poiché sen > 0, può essere (Figura 17) ¼ AObB ! B nel 1 quadrante ! cos > 0 oppure ¼ AObC ! C nel 2 quadrante ! cos < 0 Si ha sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 ¼ cos ¼ 1 sen ¼ 1 3 5 Figura 17 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffi 9 ¼ 1 ¼ 16 ¼ 4 25 25 5 e, precisamente, se è del 1 quadrante ! cos a ¼ 4 5 4 e se è del 2 quadrante ! cos a ¼ 5 9 Relazione tra tangente, seno e coseno dello stesso angolo Consideriamo la Figura 18, in cui sono rappresentati la circonferenza goniometrica e l’anbB ¼ . Per definizione, si ha golo AO xB ¼ cos ; yB ¼ sen ; xT ¼ 1; yT ¼ tan 2 Consideriamo i triangoli rettangoli OAT e OHB che, avendo l’angolo in comune, sono simili; pertanto si ha la seguente proporzione tra le misure dei lati: AT : HB ¼ OA : OH e, per le ! yT : yB ¼ 1 : xB 2, j tan : sen ¼ 1 : cos da cui si deduce la seconda relazione fondamentale tan a ¼ sen a cos a se 6¼ 90 þ k 180 con k 2 Z. Figura 18 9 Nuova formazione alla matematica E - Ghisetti e Corvi © 2009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara d:/lavori/Sedes/ISBN_1786_09/c01u01.3d - 6/12/2008 - La Pulce Unità 1 Funzioni goniometriche Ricaviamo ora sen e cos noto il valore di tan . Poiché è noto il valore di tan , è implicito che la funzione tangente sia determinata e che quindi, essendo 6¼ 90 þ k 180 , sia cos 6¼ 0. Pertanto possiamo dividere per cos 2 entrambi i membri della prima relazione fondamentale sen 2 þ cos 2 ¼ 1. Otteniamo sen 2 a þ cos 2 a ¼ 1 1 ! tan 2 a þ 1 ¼ ! cos 2 a cos 2 a cos 2 cos 2 1 1 ! cos a ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ! cos 2 ¼ 1 þ tan 2 1 þ tan 2 a Dalla relazione sen ¼ tan , si ha sen ¼ tan cos e quindi possiamo scrivere cos 1 tan a ffi sen ¼ tan pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ! sen a ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 1 þ tan 1 þ tan 2 a e sempio Si determina il segno del seno e del coseno solo conoscendo il quadrante in cui cade il punto associato ad o, come si usa anche dire, conoscendo di quale quadrante è l’angolo . pffiffiffi Dato tan ¼ 2 6 con 0 < < 360 , determiniamo sen e cos . Osserviamo che, essendo tan < 0, l’angolo può essere del secondo o del quarto quadrante. c Se è del secondo quadrante, cioè 90 < < 180 , si avrà cos < 0 e sen > 0: 1 1 ffi ! cos a ¼ 1 cos ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi 2 ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 5 1 þ 24 1 þ ð2 6Þ pffiffiffi pffiffiffi 2 6 2 6 sen ¼ þ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi 2 ! sen a ¼ 5 1 þ ð2 6Þ c Se è del quarto quadrante, cioè 270 < < 360 , si avrà cos > 0 e sen < 0: pffiffiffi 2 6 e sen ¼ cos ¼ 1 5 5 10 Cotangente di un angolo In goniometria viene spesso usata un’altra funzione dell’angolo detta cotangente di e indicata con la scrittura cot . Essa può essere definita come rapporto tra il coseno e il seno dell’angolo ; si ha cioè cot a ¼ cos a sen a purché sia sen a 6¼ 0, cioè a 6¼ k 180 , con k 2 Z. Poiché il rapporto cos è il reciproco del rapporto sen , possiamo osservare che il vasen cos lore di cot è il reciproco del valore di tan , ammesso che esista tan , cioè che sia 6¼ 90 þ k 180 ; si ha perciò cot a ¼ 1 tan a purché sia a 6¼ 90 þ k 180 . 10 Nuova formazione alla matematica E - Ghisetti e Corvi © 2009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara d:/lavori/Sedes/ISBN_1786_09/c01u01.3d - 6/12/2008 - La Pulce Unità 1 Angoli notevoli 11 12 Angolo di 45º Disegniamo nella circonferenza goniometrica di raggio OA bB ¼ 45 ; sia H la proiezione ortogonale di B sull’angolo AO l’asse x (Figura 19). Consideriamo il triangolo rettangolo OHB che, per le proprietà geometriche dei triangoli rettangoli con gli angoli di 45 , è isoscele sulla base OB ¼ 1; pertanto si ha pffiffiffi OH ¼ HB ¼ 2 2 Ma, per le definizioni di seno e coseno, è pffiffiffi sen 45 ¼ yB ¼ HB ¼ 2 p2ffiffiffi cos 45 ¼ xB ¼ OH ¼ 2 2 pffiffiffi 2 2 sen 45 ¼ pffiffiffi ¼ 1 tan 45 ¼ cos 45 2 2 Angolo di 30º bB ¼ 30 (Figura 20); consideriaDisegniamo nella circonferenza goniometrica l’angolo AO mo il triangolo rettangolo OHB, in cui il cateto HB è opposto all’angolo di 30 ed è rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi OB 1 1 OB ¼ 1, HB ¼ ¼ , OH ¼ 1 ¼ 3 . Quindi 2 2 2 4 sen 30 ¼ yB ¼ HB ¼ 1 2pffiffiffi cos 30 ¼ xB ¼ OH ¼ 3 2 1 sen 30 ¼ p2ffiffiffi tan 30 ¼ cos 30 3 2 13 Figura 19 pffiffiffi 1 ¼ pffiffiffi ¼ 3 3 3 Figura 20 Angolo di 60º Disegniamo nella circonferenza goniometrica l’angolo bB ¼ 60 (Figura 21) e consideriamo il triangolo OHB, AO in cui il cateto OH è opposto all’angolo OBbH ¼ 30 . Essendo OB ¼ 1, avremo OH ¼ 1 OB ¼ 1 2 2 Si ha quindi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi 1 HB ¼ 1 ¼ 3 2 4 pffiffiffi 3 sen 60 ¼ yB ¼ HB ¼ 2 Figura 21 11 Nuova formazione alla matematica E - Ghisetti e Corvi © 2009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara d:/lavori/Sedes/ISBN_1786_09/c01u01.3d - 6/12/2008 - La Pulce Unità 1 Funzioni goniometriche cos 60 ¼ xB ¼ OH ¼ 1 2pffiffiffi 3 2 tan 60 ¼ sen 60 ¼ 1 cos 60 2 ¼ pffiffiffi 3 Grafici delle funzioni goniometriche 14 Rappresentazione grafica della variazione del seno, del coseno, della tangente Per costruire il grafico delle funzioni rappresentate dalle equazioni y ¼ sen x; y ¼ cos x; y ¼ tan x basterà riportare sull’asse delle ascisse le misure dell’angolo espresse in radianti e sull’asse delle ordinate i corrispondenti valori del seno, del coseno e della tangente. Le curve che cosı̀ si ottengono sono dette, rispettivamente, sinusoide (Figura 22), cosinusoide (Figura 23), tangentoide (Figura 24). Figura 22 Figura 23 Figura 24 12 Nuova formazione alla matematica E - Ghisetti e Corvi © 2009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara d:/lavori/Sedes/ISBN_1786_09/c01u01e.3d - 5/12/2008 - La Pulce c c c c Misura degli angoli p. 13 Seno, coseno e tangente di un angolo p. 16 Relazioni fondamentali tra le funzioni goniometriche p. 23 Angoli notevoli p. 26 Misura degli angoli pp. 1-5 Ricordiamo la teoria c Unità di misura degli angoli Grado (sessagesimale): è la 360ma parte dell’angolo giro. Si divide in 60 primi: 1 ¼ 600 ; un primo si divide in 60 secondi: 10 ¼ 6000 . Radiante: è l’angolo che, in una circonferenza avente per centro il vertice dell’angolo, sottende un arco di lunghezza uguale al raggio. Dato un angolo, sia la misura della sua ampiezza in gradi e sia la misura in radianti; sussistono le relazioni: r¼ a 180 e a ¼ 180 r p c Angolo orientato: angolo per il quale è fissato il verso della rotazione che porta il primo lato dell’angolo a sovrapporsi al secondo lato. Consideriamo positivo il verso antiorario, cioè opposto al moto delle lancette dell’orologio. c Circonferenza goniometrica: in un piano cartesiano xOy chiamiamo circonferenza goniometrica la circonferenza che ha centro nel punto O, origine del sistema di riferimento cartesiano, e raggio unitario: la sua equazione è x 2 þ y 2 ¼ 1. In una circonferenza goniometrica, dato un angolo orientato , il punto B, costruito come in figura, prende il nome di punto associato all’angolo. Se e sono due angoli aventi lo stesso punto associato, si ha ¼ þ k 360 con k 2 Z oppure, in radianti, ¼ þ 2k con k 2 Z. QUESITI 1 Qual è l’unità di misura del sistema sessagesimale per la misura degli angoli? Come si definisce? 2 Quali sono i sottomultipli del grado sessagesimale? 3 Che cosa s’intende nel sistema sessagesimale per misura in forma decimale? 4 Definisci il radiante. 5 A quanti radianti corrisponde l’angolo giro? E l’angolo retto? 6 Quando si può parlare di angolo positivo o negativo? 13 Nuova formazione alla matematica E - Ghisetti e Corvi © 2009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara d:/lavori/Sedes/ISBN_1786_09/c01u01e.3d - 5/12/2008 - La Pulce Unità 1 Funzioni goniometriche 7 Qual è la misura in radianti di un angolo piatto descritto in senso orario? 8 Definisci la circonferenza goniometrica. 9 Come si determina il punto associato a un angolo , in una circonferenza goniometrica? 10 Quando si può affermare che un angolo orientato è del terzo quadrante? Sistemi di misura degli angoli e sercizi svolti 11 Determiniamo in forma decimale l’ampiezza dell’angolo di 9 130 3900 . 1 1 È 10 ¼ e 100 ¼ 60 3600 Quindi possiamo scrivere 1 9 130 3900 ¼ 9 þ 13 1 þ 39 ¼ 9 þ 13 60 þ 39 ¼ 9 þ 0;2275 ¼ 9;2275 60 3600 3600 ! 12 ! 9 130 3900 ¼ 9;2275 Esprimiamo in gradi, primi e secondi l’ampiezza dell’angolo di 42;24 . Possiamo scrivere 42;24 ¼ 42 þ 0;24 ¼ 42 þ 0;24 600 ¼ 42 þ 14;40 ¼ 42 þ 140 þ 0;40 ¼ 42 þ 140 þ 0;4 6000 ¼ ¼ 42 þ 140 þ 2400 ! 42;24 ¼ 42 140 2400 Trasforma nella forma decimale in gradi sessagesimali l’ampiezza dei seguenti angoli (approssima alla seconda cifra decimale). 13 12 230 ; 15 7300 ; 22 180 ; 53 4400 ½12;38 ; 15;02 ; 22;3 ; 53;01 14 2 400 2500 ; 27 300 3000 ; 1 100 1500 ; 30 430 1200 ½2;67 ; 27;51 ; 1;17 ; 30;72 15 58 160 3000 ; 80 400 5400 ; 100 580 ; 60 470 2000 ½58;28 ; 80;68 ; 100;97 ; 60;79 Esprimi in gradi, primi e secondi l’ampiezza dei seguenti angoli, approssimandola a meno di 1’’. 16 92;5 ; 13;72 ; 17 19;48 ; 18 200;36 ; 64;25 ; 7;83 ; 12;43 ½92 300 ; 13 430 1200 ; 64 150 ; 12 250 4800 180;92 ; 35;128 302;72 ; 4;252 ; ½19 280 4800 ; 7 490 4800 ; 180 550 1200 ; 35 70 4100 74;125 ½200 210 3600 ; 302 430 1200 ; 4 150 700 ; 74 70 3000 Calcola la misura in radianti dei seguenti angoli di cui è nota l’ampiezza in gradi. 19 48;24 Useremo la formula ¼ 180 dove è la misura in gradi e è la misura in radianti dell’ampiezza dello stesso angolo. Avremo quindi ¼ 180 ! a ¼ 48;24 ¼ 48;24 ¼ 0;268 180 ! 48;24 ¼ 0;268p rad ¼ 0;8419::: rad 14 Nuova formazione alla matematica E - Ghisetti e Corvi © 2009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara d:/lavori/Sedes/ISBN_1786_09/c01u01e.3d - 5/12/2008 - La Pulce Esercizi Unità 1 Negli esercizi seguenti non sempre useremo la calcolatrice e allora lasceremo il risultato sotto forma di multiplo razionale di p. 20 30 ; 240 ; 270 ; 140 21 48 ; 22;5 ; 60;45 22 42;25 ; 234 ; 112 ; 193;5 ; 212;4 ; 4 ; 3 ; 7 6 3 2 9 4 ; ; 13 ; 403 15 8 10 1200 ½0;73740:::; 1;95476:::; 3;37721:::; 3;70707::: Calcola, in gradi, l’ampiezza dei seguenti angoli di cui è nota la misura in radianti. 23 5 16 ¼ 180 essendo la misura in gradi dell’angolo di cui è la misura in radianti. Useremo la formula Avremo quindi ¼ da cui si deduce che 24 25 26 27 28 ; 4 13 12 9 10 18 25 3 32 180 5 180 ¼ 16 ¼ 5 180 ¼ 56;25 16 ! r¼ 5 p 16 5 p rad ¼ 56;25 16 3 ; 2 ; 3 4 3 2 5 4 ; ; ; 1 6 3 5 7 5 ; ; ; 11 12 9 36 ; 13 ; 17 ; 101 15 72 75 26 ; 53 ; 27 ; 125 64 16 ½45 ; 135 ; 120 ; 270 ½195 ; 150 ; 240 ; 36 ½162 ; 105 ; 100 ; 55 ½129;6 ; 156 ; 42;5 ; 242;4 ½16;875 ; 37;44 ; 149;0625 ; 303;75 VERO O FALSO? 29 a. La misura in radianti di un angolo di 60 è . 3 b. La misura in radianti di un angolo di 210 è 5 . 6 2 . c. L’angolo di 240 misura in radianti 3 d. L’angolo retto misura in radianti . 2 La circonferenza goniometrica Disegna una circonferenza goniometrica e individua su di essa i punti associati ai seguenti angoli. 30 60 ; 45 ; 90 ; 30 ; 120 31 180 ; 225 ; 32 45 ; 150 ; 90 ; 270 ; 240 ; 135 30 ; 210 33 720 ; 405 ; 34 ; ; 6 6 35 7 ; 4 390 ; 270 ; ; 2 ; 180 3 2 ; 9 ; 2 ; 3 4 3 4 15 Nuova formazione alla matematica E - Ghisetti e Corvi © 2009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara d:/lavori/Sedes/ISBN_1786_09/c01u01e.3d - 5/12/2008 - La Pulce Unità 1 Funzioni goniometriche Dopo aver rappresentato in una circonferenza goniometrica i seguenti angoli, indica in quale quadrante cadono i loro punti associati. 36 70 ; 300 ; 100 ; 120 ; 80 38 37 240 ; 240 ; 315 ; 45 ; 39 330 1 ; 5 ; 2 ; ; 6 6 3 4 2 3 1 ; ; ; ; 3 3 4 4 3 4 9 4 VERO O FALSO? 40 a. Un angolo di 330 è del 3º quadrante. b. Il punto associato all’angolo di 5 è nel 3º quadrante. 4 c. Il punto associato all’angolo di 5 coincide con quello associato all’angolo di 7 . 6 6 d. Il punto associato all’angolo di 150 è simmetrico rispetto all’asse delle ordinate del punto associato all’angolo di 30 . e. Il punto associato all’angolo di 315 è simmetrico rispetto all’asse x del punto associato all’angolo di 45 . f. Il punto associato all’angolo di 420 è diametralmente opposto (cioè simmetrico rispetto al centro O della circonferenza goniometrica) al punto associato all’angolo di 240 . 41 In una circonferenza goniometrica sia B il punto associato all’angolo . a. 0 < < 90 ! B è nel 2º quadrante b. 180 < < 360 ! B può essere nel 3º o nel 4º quadrante c. 90 < < 0 ! B è nel 4º quadrante d. 180 < < 270 ! B è nel 2º quadrante e. ¼ 30 ! B è nel 1º quadrante f. ¼ 180 ! B sta sull’asse x QUESITI A RISPOSTA MULTIPLA 42 Quale dei seguenti angoli ha il punto associato nel secondo quadrante? a 80 & 43 b 190 & c 140 & d 120 & Per quale dei seguenti angoli il punto associato è il simmetrico rispetto all’asse x del punto associato all’angolo di 315 ? a 135 & b 135 & c 225 & Seno, coseno e tangente di un angolo d 45 & pp. 5-8 Ricordiamo la teoria c Circonferenza goniometrica In figura, B è il punto associato all’angolo . 16 Nuova formazione alla matematica E - Ghisetti e Corvi © 2009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara d:/lavori/Sedes/ISBN_1786_09/c01u01e.3d - 5/12/2008 - La Pulce Esercizi Unità 1 c Relazioni fondamentali 2 2 sen a þ cos a ¼ 1 ! pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi D sen ¼ 1 cos 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi cos ¼ 1 sen 2 tan è definita per 6¼ 90 þ k 180 cot ¼ tan a ¼ sen a cos a ! tan D sen ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 þ tan 2 1 cos ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 þ tan 2 1 è definita per 6¼ 90 þ k 180 tan c Valori particolari misura angolo in gradi misura angolo in radianti seno 0 0 0 30 6 45 4 coseno 1 2 pffiffiffi 2 2 pffiffiffi 3 2 tangente cotangente 1 0 non esiste pffiffiffi 3 2 pffiffiffi 2 2 pffiffiffi 3 3 pffiffiffi 3 1 1 1 2 pffiffiffi 3 pffiffiffi 3 3 60 3 90 2 1 0 non esiste 0 180 0 1 0 non esiste 270 3 2 1 0 non esiste 0 360 2 0 1 0 non esiste c Periodicità senð þ k 360 Þ ¼ sen cosð þ k 360 Þ ¼ cos tanð þ k 180 Þ ¼ tan cotð þ k 180 Þ ¼ cot senð þ 2kÞ ¼ sen cosð þ 2kÞ ¼ cos tanð þ kÞ ¼ tan cotð þ kÞ ¼ cot con k 2 Z QUESITI 44 Definisci il seno di un angolo. 45 Definisci il coseno di un angolo. 46 Sapendo che è sen < 0, in quali quadranti si può trovare il punto associato ad ? 47 Se è 450 < < 540 , qual è il segno di cos ? 48 Che cosa s’intende dire scrivendo sen ¼ sen ðk 360 þ Þ? 49 Perché si può affermare che il seno e il coseno di un angolo sono funzioni dell’angolo ? 50 Che cosa s’intende dicendo che il coseno di un angolo è una funzione periodica? Qual è il suo periodo? 51 Disegna un angolo ottuso della circonferenza goniometrica e indica il suo punto associato. Che segno hanno sen e cos ? 52 Disegna nella circonferenza goniometrica un angolo concavo e tale che sia 180 < < 270 ; indica il suo punto associato. Che segno hanno sen e cos ? 17 Nuova formazione alla matematica E - Ghisetti e Corvi © 2009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara d:/lavori/Sedes/ISBN_1786_09/c01u01e.3d - 5/12/2008 - La Pulce Unità 1 Funzioni goniometriche 53 Dopo aver disegnato un angolo concavo e tale che sia 270 < < 360 in una circonferenza goniometrica, indica il suo punto associato; che segno hanno sen e cos ? 54 Disegna la circonferenza goniometrica e indica il seno e il coseno dei seguenti angoli. a. 30 ; 150 ; 210 ; 330 ; 60 ; 120 ; 240 ; 300 b. 45 ; 135 ; 225 ; 315 ; 60 ; 150 ; 45 Seno e coseno di un angolo Disegna, servendoti della circonferenza goniometrica, gli angoli a (0 < a < 360 ) di seno e coseno assegnati. e sercizi svolti 55 sen ¼ 2 3 Disegnata una circonferenza goniometrica, tracciamo la retta di equazione y ¼ 2 e siano B1 e B2 le sue intersezioni con la circon3 bB1 ¼ 1 , ferenza. B1 e B2 sono cosı̀ i punti associati agli angoli AO bB2 ¼ 2 , nel secondo quadrante (vedi nel primo quadrante, e AO figura). Essi sono gli angoli richiesti: infatti, essendo yB1 ¼ yB2 ¼ 2 , sarà 3 sen 1 ¼ sen 2 ¼ 2 . 3 56 cos ¼ 1 2 Disegnata la circonferenza goniometrica, tracciamo la retta di equazione x ¼ 1 (vedi figura). 2 Individuiamo cosı̀ le sue intersezioni B1 e B2 con la circonferenza, che risultano i punti associati rispettivamente agli angoli bB2 ¼ 2 . Essi sono gli angoli richiesti: infatti, esbB1 ¼ 1 e AO AO sendo xB1 ¼ xB2 ¼ 1 , sarà cos 1 ¼ cos 2 ¼ 1 . 2 2 57 sen ¼ 1 ; 3 cos ¼ 1 ; sen ¼ 1 ; cos ¼ 2 ; 3 2 3 58 sen ¼ 1 ; 4 sen ¼ 1 ; 3 cos ¼ 1 ; 4 cos ¼ 2 3 sen ¼ 3 ; cos ¼ 3 ; sen ¼ 2 ; cos ¼ 1 4 4 3 4 VERO O FALSO? 59 a. 0 < < 2 b. < < 60 ! sen > 0 ! cos < 0 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a. sen 2 200 ¼ sen 200 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b. sen 2 15 ¼ sen 15 c. < < 3 2 ! sen < 0 d. 3 < < 2 ! cos > 0 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi c. cos 2 160 ¼ cos 160 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi d. cos 2 190 ¼ cos 190 18 Nuova formazione alla matematica E - Ghisetti e Corvi © 2009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara d:/lavori/Sedes/ISBN_1786_09/c01u01e.3d - 5/12/2008 - La Pulce Esercizi Unità 1 Semplifica le seguenti espressioni. 61 4 cos 180 3 cos 90 8 sen 270 5 cos 360 Dobbiamo sostituire il valore numerico delle funzioni goniometriche per i particolari angoli indicati. Sappiamo che cos 180 ¼ 1, cos 90 ¼ 0, sen 270 ¼ 1 e cos 360 ¼ 1; quindi, sostituendo tali valori nell’espressione data, otteniamo 4 ð1Þ 3 0 8 ð1Þ 5 1 ¼ 4 0 þ 8 5 ¼ 1 62 3 cos 90 2 sen 180 þ 4 sen 270 ; 4 cos 180 þ 4 sen 90 þ 3 sen 180 63 2 sen 90 þ 3 sen 180 þ 4 sen 270 ; 3 cos 90 3 cos 0 þ 5 cos 180 64 sen þ 1 sen 2 cos ; 2 2 65 6 cos 0 3 sen 0 ; 2 sen 0 þ 3 cos 0 66 2 sen 3 3 cos 2 ; 2 sen þ 3 cos 2 67 3 sen 2 90 cos 2 180 þ 2 sen 2 270 þ 4ðsen 2 0 cos 2 0 Þ þ 6 cos 2 180 sen 2 270 68 ða sen 90 bÞða cos 180 þ b sen 270 Þ 69 70 ½4; 0 ½2; 8 3 sen 2 þ sen 3 3 cos 3 2 2 2 ½3; 1 3 cos 90 2 sen 270 þ 3 sen 360 2 ½2; 2 5 cos 3 cos þ 2 sen sen 2 2 ½1; 5 ½5 ½b 2 a 2 ð2 cos þ a cos 2Þ a þ 3 sen þ cos 2 a sen þ 2b cos 0 þ b sen 3 a cos 3 þ b cos a sen 3 2 2 2 2 71 ða 3 b 3 Þ sen 2 þ ða 2 þ b 2 Þ cos ab ða bÞ cos 0 cos 0 72 ða 2 b 2 Þ cos 270 þ 73 3 sen 3 cos 2 2 þ 4 sen 2 þ 2 cos 2 1 cos 2 2 2 2 ½a 2 4 ½a 2 b 2 con a 6¼ b ½0 2ab a 2 þ b 2 cos 360 sen 270 ½ða þ bÞ2 2 Determina i valori del parametro k affinché siano verificate le seguenti uguaglianze. e sercizi svolti 74 ðk 1Þsen þ 2 ¼ 3k, sapendo che è ¼ 90 . Sostituendo 90 al posto di nella relazione data, otteniamo ðk 1Þ sen 90 þ 2 ¼ 3k ! sen 90 ¼1 ðk 1Þ 1 þ 2 ¼ 3k È questa un’equazione di primo grado nell’incognita k; risolviamola: k 1 þ 2 ¼ 3k ! k 3k ¼ 1 2 ! 2k ¼ 1 ! k¼ 1 2 19 Nuova formazione alla matematica E - Ghisetti e Corvi © 2009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara 7 2 d:/lavori/Sedes/ISBN_1786_09/c01u01e.3d - 5/12/2008 - La Pulce Unità 1 75 Funzioni goniometriche 2k þ 3 cos ¼ 1, sapendo che è un angolo ottuso. 1 Se è un angolo ottuso, cioè 90 < < 180 , il suo coseno è compreso tra 1 e 0: 1 < cos < 0 Possiamo considerare la 1 come un’equazione nell’incognita cos : j 3 cos ¼ 1 2k ! Dalla 2 cos ¼ 1 2k 3 2 deduciamo che dovrà essere j 1 < 1 2k < 0 3 cioè 1 2k > 1 e, contemporaneamente, 1 2k < 0. 3 3 Dovremo quindi risolvere il sistema formato dalle due disequazioni 8 8 1 2k > 1 > < <k < 2 1 2k > 3 2k < 4 3 ! ! ! ! > :k > 1 1 2k < 0 2k > 1 : 1 2k < 0 2 3 1 è verificata per Concludiamo cosı̀ che, se è un angolo ottuso, l’uguaglianza j 1 <k<2 2 1 <k<2 2 1 ; 1 3 5 1 ; 1 2 1 ; 1 5 76 2ðk 2Þ sen 180 ¼ 1 3k; 3 sen 90 þ 5k ¼ 2 77 ð3k þ 4Þ cos 90 þ 2k ¼ 1; 3 cos 0 ð2k þ 1Þ ¼ 4 78 k sen 270 1 4k ¼ 0; ð2 þ 3kÞ cos 180 þ 5 ¼ 0 Sapendo che 0 < a < 90 , determina per quali valori di k sono verificate le seguenti uguaglianze. 79 cos 1 ¼ k 80 k cos 1 ¼ k ½1 < k < 0 ½k < 1 Sapendo che a è un angolo ottuso (90 < a < 180 ), determina per quali valori di k sono verificate le seguenti uguaglianze. 81 3k sen ¼ 1 k 1 <k<1 4 82 ðk 1Þ cos ¼ 2 ½k < 1 Tangente di un angolo QUESITI 83 Definisci la tangente goniometrica di un angolo. 84 Per quali valori di è tan ¼ 0? 85 Che cosa si può dedurre sapendo che è tan > 0? 86 Definisci la funzione cot . 87 Perché si può affermare che la funzione tan è periodica? Qual è il suo periodo? 20 Nuova formazione alla matematica E - Ghisetti e Corvi © 2009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara d:/lavori/Sedes/ISBN_1786_09/c01u01e.3d - 5/12/2008 - La Pulce Esercizi Unità 1 Servendoti della circonferenza goniometrica, disegna gli angoli a (0 < a < 360 ) di tangente assegnata. 88 tan ¼ 1 Disegnata la circonferenza goniometrica di centro O, che incontra in A il semiasse positivo delle x, e condotta per A la retta tangente t alla circonferenza, determiniamo su tale tangente il punto T di ordinata 1; la retta OT incontra la circonferenza in due punti B1 e B2 che, in questo caso, saranno rispettivamente nel primo e bB1 e nel terzo quadrante: essi risultano associati ad 1 ¼ AO b 2 ¼ AOB2 . 89 tan ¼ 1; 90 tan ¼ 2 ; 3 tan ¼ 2; tan ¼ 1 ; tan ¼ 2 2 3 tan ¼ ; tan ¼ 1 ; tan ¼ 3 4 3 VERO O FALSO? 91 In una circonferenza goniometrica il punto B è il punto associato all’angolo . a. B è nel 1º quadrante ! tan > 0 b. B sta sull’asse x ! tan non esiste c. B è nel 2º quadrante ! tan > 0 d. B è nel 4º quadrante ! tan < 0 e. B sta sull’asse y ! tan non esiste f. B è nel 3º quadrante ! tan > 0 92 93 a. tanð þ kÞ ¼ tan d. tan 2 k ¼ 0 b. tan ¼ 0 e. tan 0 non esiste c. tan non esiste 2 f. tan 3 non esiste 2 a. tan 130 < 0 d. tan 240 < 0 b. tan 87 > 0 e. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi tan 2 50 ¼ tan 50 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi tan 2 100 ¼ tan 100 f. c. tan 150 > 0 94 a. 0 < < 90 ! tan > 0 b. 90 < < 180 ! tan < 0 c. 180 < < 270 ! tan < 0 d. 270 < < 360 ! tan > 0 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi tan 2 ¼ tan pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi f. 270 < < 360 ! tan 2 ¼ tan e. 90 < < 180 ! QUESITI A RISPOSTA MULTIPLA 95 Si sa che 0 < < 360 e inoltre che sen > 0 e tan < 0; puoi dedurre che a 0 < < 90 & 96 b 90 < < 180 & c 180 < < 270 & d 270 < < 360 & Si sa che 0 < < 2, cos < 0 e tan > 0; puoi dedurre che a << & 3 2 b 0<< & 2 c & <0< 2 d & 3 < < 2 2 21 Nuova formazione alla matematica E - Ghisetti e Corvi © 2009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara d:/lavori/Sedes/ISBN_1786_09/c01u01e.3d - 5/12/2008 - La Pulce Unità 1 97 Funzioni goniometriche Supponiamo che sia sen > 0, cos > 0, tan < 0; allora è a 0<< & b << & 3 2 c impossibile & d 0 < < 2 & COMPLETARE... 98 Completa la seguente tabella, essendo 0 < < 2. sen cos tan 0<< 2 þ ... ... ... þ ... ... ... ... ... þ 3 < < 2 2 ... ... ... ... ... þ Semplifica le seguenti espressioni. 5 cos 90 tan 180 þ 3 cos 180 2 cos 180 þ tan 0 99 Sostituendo i valori delle funzioni seno, coseno e tangente degli angoli indicati, abbiamo 5 0 0 þ 3 ð1Þ ¼ 3 ¼ 3 2 2 2 ð1Þ þ 0 100 6 cos 270 þ 10 sen 90 3 tan 0 3 tan 180 ½10 101 5 cos 0 4ðsen 90 þ 3 cos 180 Þ þ tan 180 102 3 cos 2 sen 3 þ 3 tan 0 tan 2 2 2 ½2 103 2 sen 90 cos 270 þ tan 180 ½2 104 3 sen 90 þ 2 cos 360 3 tan 360 þ tan 0 4 ½5 105 cos 0 þ cos 180 cos 90 þ tan 0 ½0 106 sen 90 sen 270 þ tan 180 tan sen þ cos 2 a cos 0 b tan 0 con a 6¼ 0 2a sen 3 2 a sen 2 90 2b cos 90 þ tan 0 con a 6¼ 0 4a cos 270 tan 180 þ a cos 180 ½2 107 108 109 a 2 sen 3 þ b 2 tan ða bÞ2 cos þ 2ab a 2 tan 2 2 cos 0 22 Nuova formazione alla matematica E - Ghisetti e Corvi © 2009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara ½13 ½1 ½1 ½b 2 d:/lavori/Sedes/ISBN_1786_09/c01u01e.3d - 5/12/2008 - La Pulce Esercizi 110 111 Unità 1 Determina i valori del parametro k per i quali l’uguaglianza tan ¼ 3 2k è verificata per 5 3 3 k< 3 a. ¼ k¼ c. < < 2 2 2 pffiffiffi p ffiffi ffi b. 0 < < d. tan ¼ 2 k¼ 35 2 k< 3 2 2 2 Per quali valori di k l’uguaglianza ð1 kÞtan ¼ 3 2k è 3 a. ¼ 2 k¼ c. 2 b. 0 < < d. k<1_k> 3 2 2 verificata se è 3 < < 2 2 tan 1 1<k< 3 2 ½k < 1 _ k 2 Relazioni fondamentali tra le funzioni goniometriche pp. 8-10 QUESITI 112 Giustifica che sen 2 þ cos 2 ¼ 1. 113 Scrivi le formule che permettono di determinare cos e tan , dato sen . 114 Sapendo che è 180 < < 270 , esprimi sen e tan in funzione di cos . 115 Scrivi la formula che esprime cos in funzione di tan . 116 Sapendo che è < < e conoscendo il valore di tan , esprimi cos e sen in funzione di tan . 2 Dei seguenti angoli a sono note alcune limitazioni e il valore di una loro funzione goniometrica; calcola i valori delle rimanenti funzioni. e sercizi svolti 117 sen ¼ 3 , 0 < < 5 2 Dobbiamo calcola i valori di cos e di tan , che risultano entrambi positivi, essendo un angolo del primo quadrante. Consideriamo la prima formula fondamentale 2 3 9 þ cos 2 ¼ 1 ! ! þ cos 2 ¼ 1 ! sen 2 þ cos 2 ¼ 1 3 5 25 sen a ¼ 5 cos 2 ¼ 1 9 ¼ 16 25 25 rffiffiffiffiffiffiffiffi Deve essere cos > 0, quindi si ha cos ¼ þ 16 ! cos a ¼ 4 25 5 Dalla seconda formula fondamentale otteniamo ! tan ¼ sen cos 118 ! tan ¼ 3 5 4 5 ¼ 3 5 5 4 cos ¼ 5 , 90 < < 180 13 Per determinare sen , possiamo applicare direttamente la formula ! tan a ¼ 3 4 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sen ¼ 1 cos 2 23 Nuova formazione alla matematica E - Ghisetti e Corvi © 2009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara d:/lavori/Sedes/ISBN_1786_09/c01u01e.3d - 5/12/2008 - La Pulce Unità 1 Funzioni goniometriche Il punto associato all’angolo è nel secondo quadrante e quindi, sarà sen > 0. Si avrà, dunque, sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 5 144 ! sen a ¼ 12 2 sen ¼ 1 cos ! sen ¼ 1 ¼ 1 25 ¼ 13 169 169 13 Determiniamo ora tan ricordando che tan ¼ sen cos 119 sen ¼ 8 ; 17 0<< 2 120 cos ¼ 2 ; 3 << 3 2 121 cos ¼ 2 ; 3 122 sen ¼ 3 ; 90 < < 180 5 pffiffiffi cos ¼ 3 ; 90 < < 180 2 pffiffiffi cos ¼ 2 ; 90 < < 180 3 123 124 ! 12 tan ¼ 13 5 13 ! cos ¼ 15 ; tan ¼ 8 17 15 pffiffiffi pffiffiffi 5 5 sen ¼ ; tan ¼ 3 2 pffiffiffi pffiffiffi 5 5 sen ¼ ; tan ¼ 3 2 cos ¼ 4 ; tan ¼ 3 5 4 pffiffiffi sen ¼ 1 ; tan ¼ 3 2 3 pffiffiffi pffiffiffiffiffi 7 14 sen ¼ ; tan ¼ 3 2 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi 3 13 2 13 ; cos ¼ sen ¼ 13 13 sen ¼ 5 ; cos ¼ 12 13 13 sen ¼ 7 ; cos ¼ 24 25 25 pffiffiffi 3 1 sen ¼ ; cos ¼ 2 2 pffiffiffi cos ¼ 2 ; tan ¼ 1 2 3 < < 2 2 125 tan ¼ 3 ; 270 < < 360 2 126 tan ¼ 5 ; 12 127 tan ¼ 7 ; 24 128 tan ¼ 129 sen ¼ pffiffiffi 3; tan a ¼ 12 5 0<< 2 << 2 << 3 2 pffiffiffi 2; << 3 2 2 COMPLETARE... 130 Completa la seguente tabella. sen cos tan 0<< 2 3 4 ... ... 0<< 2 ... pffiffiffi 7 5 ... ... 1 2 << 3 2 ... ... ... rffiffiffiffiffiffi 2 3 ... 24 Nuova formazione alla matematica E - Ghisetti e Corvi © 2009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara pffiffiffi 3 pffiffiffi 3 3 pffiffiffi 2 2 d:/lavori/Sedes/ISBN_1786_09/c01u01e.3d - 5/12/2008 - La Pulce Esercizi Unità 1 VERO O FALSO? 131 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a. cos 150 ¼ 1 sen 2 150 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b. sen 100 ¼ 1 cos 2 100 132 133 a. tan 150 ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 cos 2 150 cos 150 1 sen 2 70 sen 120 ffi d. tan 120 ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 sen 2 120 sen 230 ffi c. tan 230 ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 sen 2 230 sen 80 b. tan 80 ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 sen 2 80 tan 200 ffi d. sen 200 ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 a. cos 50 ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 ffi c. cos 300 ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 þ tan 2 200 1 þ tan 2 50 tan 60 b. sen 60 ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 þ tan 2 60 134 sen 70 c. tan 70 ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a. 3 < < 2 ! sen ¼ 1 þ tan 2 300 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 d. tan 200 ¼ 1 cos 200 cos 200 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 cos 2 2 1 ffi b. < < 3 ! cos ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 2 1 þ tan 2 1 ffi c. < < ! cos ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 1 þ tan 2 tan ffi d. < < 3 ! sen ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 1 þ tan 2 Verifica le seguenti uguaglianze, supponendo che a assuma solo valori per i quali sono definite le espressioni che figurano in esse. e sercizi svolti 135 sen 2 cos 2 ¼ 2 sen 2 1 Trasformiamo il primo membro, eliminando la funzione cos , che non compare nel secondo membro. Sfruttando la prima relazione fondamentale per trasformare cos 2 in funzione di sen , il primo membro diventa sen 2 cos 2 ¼ sen 2 ð1 sen 2 Þ ¼ sen 2 1 þ sen 2 ¼ 2 sen 2 1 L’uguaglianza proposta è verificata. 136 1 ¼ cos þ sen tan cos 1 1 cercando di renderlo uguale al primo membro. Trasformiamo il secondo membro della j Sfruttando la seconda relazione fondamentale e, successivamente, la prima, otteniamo Secondo membro 1 2 cos þ sen tan ¼ cos þ sen sen ¼ cos þ sen ¼ cos þ sen ¼ 1 cos cos cos cos L’espressione ottenuta è proprio il primo membro: l’uguaglianza è quindi verificata. 1 ðsen þ cos Þ tan þ ¼ 1 þ 1 tan cos sen 2 137 2 Primo membro Incominciamo a eliminare tan che non figura nel secondo membro: ¼ ðsen þ cos Þ sen þ cos ¼ ðsen þ cos Þ tan þ 1 tan cos sen eseguiamo la somma 25 Nuova formazione alla matematica E - Ghisetti e Corvi © 2009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara 2 d:/lavori/Sedes/ISBN_1786_09/c01u01e.3d - 5/12/2008 - La Pulce Unità 1 Funzioni goniometriche 1 2 2 1 ¼ sen þ cos ¼ ðsen þ cos Þ sen þ cos ¼ ðsen þ cos Þ sen cos sen cos sen cos 3 Secondo membro 1 þ 1 ¼ sen þ cos cos sen sen cos L’espressione ottenuta è proprio il primo membro, quindi la 2 è verificata. j 138 cos 4 sen 4 ¼ 1 2 sen 2 ; cos 4 sen 4 ¼ 2 cos 2 1 139 sen 2 ¼ 1 cos ; 1 þ cos 140 sen 2 þ sen cos ¼ 1; tan 141 cos 2 sen 2 ¼ ð1 tan Þ cos 2 ; 1 þ tan 142 ð2 cos þ 3 sen Þ2 þ ð3 cos 2 sen Þ2 ¼ 13 143 2 sen ¼ 1 þ cos ; sen 1 þ cos sen 144 cos 2 ¼ 1 þ sen 1 sen 2 tan 2 ¼ 1 þ cos 2 cos 2 cos 2 sen þ cos ¼ sen cos tan 1 tan þ 1 1 þ cos ¼ sen 1 cos sen 2 1 2 ; 1 1 tan 2 ¼ 2 sen 2 ; 1 tan 2 ¼ tan 2 1 þ tan sen 2 2 cos 2 1 ¼ cos 2 ð1 tan 2 Þ Angoli notevoli pp. 11-12 Calcola il valore delle seguenti espressioni. pffiffiffi 3 tan 30 2 cos 30 þ 4 sen 60 145 2 cos 90 þ 3 tan 45 cos 60 ; 146 3 sen 90 1 cos 60 þ 2 tan 45 ; 4 3 147 2 sen 60 þ 148 ðcos 90 tan 45 þ cos 45 Þðsen 45 þ sen 90 Þ 149 pffiffiffi 3 sen 60 3 cos 60 tan 30 ; ðsen 60 þ cos 60 Þðcos 30 sen 30 Þ 150 151 152 153 pffiffiffi 3 tan 60 4 tan 45 þ cos 180 pffiffiffi 3 cos 30 2 cos 60 3 tan 30 5 ; 1 þ pffiffi3ffi 2 85 ; 2 24 1 2 1 2 pffiffiffi 3 ; 1 2 3 ðcos 60 þ sen 30 Þðtan 45 þ tan 60 3 tan 30 Þ p2ffiffiffi tan 60 3 cot 45 þ cos 180 ð3 þ sen 90 Þ 4 3 sen 45 cos 60 cos 30 cos 45 ; 1 sen 60 þ 1 þ cos 60 cos 45 sen 30 þ sen 45 sen 60 1 þ sen 60 1 cos 60 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 cos 30 þ tan 45 tan 30 : 1 cos 30 1 þ cos 30 1 þ tan 45 tan 30 sen 30 ½1 ½1 pffiffiffi pffiffiffi 3 2; 10 4 3 26 Nuova formazione alla matematica E - Ghisetti e Corvi © 2009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara ½2 d:/lavori/Sedes/ISBN_1786_09/c01u01e.3d - 5/12/2008 - La Pulce Esercizi 154 155 156 Unità 1 ðcot 45 sen 30 Þðtan 60 cos 30 Þ tan 30 sen 60 cot 30 þ cos 45 cot 45 3 tan 45 þ 2 sen 45 pffiffiffi cot 60 sen 45 6 cot 45 sen 60 sen 45 158 a. tan 60 tan 30 ¼ tan 30 c. 2 sen 30 ¼ sen 90 b. tan 45 þ cot 45 ¼ 2 d. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 8 sen 2 45 ¼ 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi c. 4 sen 2 45 ¼ 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi d. 12 cos 2 30 ¼ 3 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 9 cos 2 45 ¼ 3 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b. 4 cot 45 ¼ 2 a. Verifica le seguenti uguaglianze. tan þ sen 3 ¼ 2 cos 2 cos 2 cos cos 6 3 159 cos 2 30 sen 2 30 ¼ cos 30 ; sen 30 tan 30 cos 60 160 2 cos 3 ¼ cot tan ; 6 6 sen 3 161 cos 90 þ sen 90 þ 2 sen 2 45 ¼ ðcos 45 þ sen 45 Þ2 4 sen 2 30 þ sen 60 ¼ 1 þ tan 60 sen 30 162 2 tg 45 þ cos 2 45 ¼ cos 60 þ 2 cos 45 cos 60 sen 30 163 1 þ cos 30 ¼ 1 þ tan 60 1 sen 30 1 tan 60 27 Nuova formazione alla matematica E - Ghisetti e Corvi © 2009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara 1 2 10 3 VERO O FALSO? 157 3 4 d:/lavori/Sedes/ISBN_1786_09/c01u01s.3d - 6/12/2008 - La Pulce Scheda di autovalutazione Unità 1 Si sa che a ¼ 72 . 1 a. Determina la misura di in radianti. b. Indica in quale quadrante cade il punto della circonferenza goniometrica associato ad . La misura in radianti dell’angolo a è 14 p. 3 a. Determina l’ampiezza di in gradi. 2 b. Indica in quale quadrante è il punto della circonferenza goniometrica associato ad . 3 pffiffiffi Si sa che < a < p e che tan a ¼ 2 2; determina sen a. 2 4 Si sa che sen a ¼ 5 sen þ sen 5 p cos 3 p sen 5 p ¼ 2 2 2 6 pffiffiffi a 3 b 3 & & 2 2 6 pffiffiffi 2 con < a < 3 p; determina cos a e tan a. 2 4 tan 300 þ sen 120 cos 150 ¼ tan 135 pffiffiffi a 1 b & & 3 c & 1 2 d & 5 2 c & pffiffiffi 31 2 d 0 & sen 2 p 3 tan p tan p tan 5 p cos 7 p 3 6 4 6 3 . Semplifica l’espressione þ 3 cos p sen p 2 7 Griglia di autovalutazione tempo consigliato: 50 minuti esercizio 1a 1b 2a 2b 3 4 5 6 7 punteggio 0,25 0,25 0,5 0,5 1,5 2 1,5 1,5 2 esito 28 punteggio totale voto ottenuto Nuova formazione alla matematica E - Ghisetti e Corvi © 2009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara 10
