GONIOMETRIA 1. Misura di archi e angoli I sistemi di misura usati

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1. Misura di archi e angoli
I sistemi di misura usati per gli angoli sono due.
- Il sistema sessagesimale: ha come unità di misura il grado, che è la 90a parte di un angolo
retto
- Il sistema circolare: ha come unità di misura il radiante, che è l'angolo al centro di una
circonferenza che con i suoi lati intercetta un arco uguale al raggio.
La misura più comune, quella in gradi sessagesimali, di origini storiche antichissime, ha lo
svantaggio di essere poco "maneggiabile" nei calcoli.
In matematica, allora, si preferisce la misura in radianti, che fornisce numeri reali in
rappresentazione decimale.
La parola radiante è sinonimo di raggio. In sintesi, per misurare un angolo in radianti si va
a "vedere" quante volte il raggio è contenuto nell'arco sotteso all'angolo, ovvero si prende
una circonferenza qualunque concentrica con l'angolo e si fa il rapporto fra l'arco che si
ottiene (corrispondente all'angolo che si vuole misurare) ed il raggio della
circonferenza. Cioè :
Graficamente :
Si noti il fatto fondamentale che tale rapporto non cambia se si sceglie un'altra
circonferenza !!!
Se, per esempio, si raddoppia il raggio, anche l'arco raddoppia di conseguenza per cui il
rapporto (la misura in radianti dell'angolo), non cambia.
Un angolo che misura un radiante è quindi quell'angolo che corrisponde ad un arco lungo
quanto un raggio :
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Vediamo alcune misure in radianti di angoli particolari :
Concludendo:
Per passare da gradi a radianti si usa la formula:
Per passare da radianti a gradi:
1 radiante misura circa 57 gradi
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2. Circonferenza goniometrica
Per rappresentare gli angoli conviene utilizzare la circonferenza goniometrica. (è quella
che ha il centro nell'origine degli assi cartesiani e il raggio uguale a 1).
Gli angoli vengono disegnati sempre con la convenzione di fare coincidere un lato
dell'angolo con il semiasse positivo delle ascisse. Gli angoli così rappresentati
vengono misurati in radianti dando loro un valore positivo se percorsi in senso antiorario
a partire dal semiasse positivo delle ascisse o un valore negativo se percorsi in senso
orario.
Esempi di angoli positivi :
Esempi di angoli negativi :
Un angolo, sul cerchio trigonometrico, può superare in senso positivo o negativo un angolo
giro. Per esempio :
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In questo modo abbiamo raggiunto il risultato molto importante di poter rappresentare sul
cerchio trigonometrico angoli da meno infinito a più infinito, cioè rappresentati da qualsiasi
.
numero reale. Possiamo allora scrivere per un qualunque angolo x :
3. Le funzioni goniometriche
SENO DI UN ANGOLO
Dato l'angolo x sulla circonferenza goniometrica, se proviamo a variare l'ampiezza dell'angolo
muovendo il punto P lungo la circonferenza goniometrica (OP=1), possiamo notare che varia
anche la misura del cateto PH. Esiste dunque una relazione tra la misura di PH, ovvero
l'ordinata del punto P, e la misura dell'angolo x. Chiamiamo questa relazione senx = PH.
Graficamente :
E' quindi chiaro che il seno di un angolo è uguale alla lunghezza del segmento verticale PH
dotata del segno positivo se il punto P si trova nel I o II quadrante, dotata del
segno negativo se il punto P si trova nel III o IV quadrante (se P giace sull'asse della
ascisse il seno è nullo). Per esempio, il seno del seguente angolo è negativo :
Al variare dell'angolo x il seno cambia di conseguenza possiamo affermare allora che
una funzione della variabile indipendente
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è
x , cioè possiamo scrivere :
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Il grafico della funzione seno si chiama sinusoide e risulta :
I valori entro i quali tale misura può variare sono compresi tra -1 e +1, allorché l'angolo passa
da 0° a 360°. Per angoli di ampiezza maggiore, puoi notare che vengono ripresi gli stessi valori
Si noti la periodicità della funzione seno . Dopo un angolo giro (
"fornire" gli stessi valori. Si dice allora che la funzione
) il seno ricomincia a
ha periodicità
.
COSENO DI UN ANGOLO
Dato l'angolo x sulla circonferenza goniometrica, se proviamo a variare l'ampiezza dell'angolo
muovendo il punto P lungo la circonferenza goniometrica (OP=1), possiamo notare che varia
anche la misura del cateto OH. Esiste dunque una relazione tra la misura di OH, ovvero
l'ascissa del punto P, e la misura dell'angolo x. Chiamiamo questa relazione cosx = OH.
Graficamente :
E' quindi chiaro che il coseno di un angolo è uguale alla lunghezza del segmento orizzontale
OH dotata del segno positivo se il punto P si trova nel I o IV quadrante, dotata del
segno negativo se il punto P si trova nel II o III quadrante (se P giace sull'asse della
ordinate il coseno è nullo).
Per esempio, il coseno del seguente angolo è negativo :
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Al variare dell'angolo x il coseno cambia di conseguenza possiamo affermare allora che
è una funzione della variabile indipendente x , cioè possiamo scrivere :
.
Il grafico della funzione coseno si chiama cosinusoide e risulta :
Si noti la periodicità della funzione coseno . Dopo un angolo giro (
ricomincia a "fornire" gli stessi valori. Si dice allora che la funzione
periodicità
) il coseno
ha
.
TANGENTE DI UN ANGOLO
La tangente (trigonometrica) di una angolo è definita come il rapporto fra seno e coseno.
Abbiamo perciò :
dove il simbolo
indica appunto la tangente di un angolo che, per non generare
ambiguità (la stessa parola "tangente" indica anche la retta tangente ad una curva), viene
detta tangente trigonometrica.
La costruzione della tangente di un angolo sulla circonferenza goniometrica avviene
tramite la retta tangente (da cui il nome) così come indicato nel grafico :
La definizione di tangente come rapporto di seno e coseno risulta chiara dal seguente
grafico :
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Siccome i triangoli OHP e OKQ sono simili (hanno la stessa "forma"), posiamo affermare
che :
che giustifica appunto la definizione di tangente trigonometrica.
Gli angoli del I e III quadrante hanno tangente positiva. Gli angoli del II e IV
quadrante hanno tangente negativa (se P giace sull'asse della ascisse la tangente è
nulla).
Alcuni esempi :
La tangente trigonometrica gode di una importantissima proprietà. Essa non esiste
quando l'angolo è pari a
oa
(in generale per tutti gli altri angoli il cui lato libero è
coincidente con l'asse delle ordinate).
Graficamente :
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Questo dipende dal fatto che per tali angoli il lato libero, coincidente con l'asse delle ordinate,
è parallelo alla retta tangente alla circonferenza per cui non si hanno punti d'incontro. E'
importante notare il comportamento della tangente trigonometrica quando l'angolo si avvicina
ea
. In questi casi i valori della tangente divergono, ovvero crescono
a
positivamente o negativamente tendendo all'infinito.
Infatti :
Al variare dell'angolo x la tangente cambia di conseguenza. Possiamo affermare allora che
è una funzione della variabile indipendente x , cioè possiamo scrivere :
.
Il grafico della funzione tangente si chiama tangentoide e risulta :
Si noti la periodicità della funzione tangente . Dopo un angolo piatto (
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) la tangente
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ricomincia a "fornire" gli stessi valori. Si dice allora che la funzione
.
ha periodicità
Si noti anche l'andamento asintotico della tangentoide nella prossimità dei valori dove non
,
ecc.), comportamento che fa sì che la curva diverga positivamente e
esiste (
negativamente come mostrato dal grafico.
COTANGENTE DI UN ANGOLO
La cotangente (trigonometrica) di una angolo è definita come il rapporto fra coseno e
seno. Abbiamo perciò :
cot gx =
cos x
senx
La costruzione della cotangente di un angolo sulla circonferenza goniometrica avviene
tramite la retta tangente nel punto B, così come indicato nel grafico :
Siccome i triangoli OPQ e OBR sono simili (hanno la stessa "forma"), posiamo affermare
che :
cot gx =
OQ BR
=
= BR
PQ OB
che giustifica appunto la definizione di cotangente.
Gli angoli del I e III quadrante hanno cotangente positiva. Gli angoli del II e IV
quadrante hanno cotangente negativa (se P giace sull'asse delle ordinate la cotangente
è nulla).
La cotangente gode di una importantissima proprietà.
Essa non esiste quando l'angolo è pari a 0 o a π (in generale per tutti gli altri angoli il cui
lato libero è coincidente con l'asse delle ascisse).
Questo dipende dal fatto che per tali angoli il lato libero, coincidente con l'asse delle ascisse, è
parallelo alla retta tangente alla circonferenza per cui non si hanno punti d'incontro.
E' importante notare il comportamento della cotangente quando l'angolo si avvicina a 0 e a
π . In questi casi i valori della cotangente divergono, ovvero crescono positivamente o
negativamente tendendo all'infinito.
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Al variare dell'angolo x la cotangente cambia di conseguenza. Possiamo affermare allora che
cotgx è una funzione della variabile indipendente x , cioè possiamo scrivere : y = cot gx
Il grafico della funzione tangente si chiama cotangentoide e risulta :
4. Relazioni fondamentali tra le funzioni goniometriche
La trigonometria è il capitolo della matematica che studia le relazioni algebriche fra le
funzioni circolari (seno, coseno e tangente) con particolare riferimento al cerchio
trigonometrico ed ai triangoli.
Iniziamo a presentare qui le principali formule trigonometriche.
1. la "relazione pitagorica"
La prima fondamentale relazione trigonometrica si ricava direttamente applicando
il teorema di Pitagora.
Osservando il cerchio trigonometrico :
,
dalle definizioni di seno e coseno, applicando il teorema di Pitagora, possiamo
scrivere :
da cui :
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(dove la scrittura
al quadrato" , cioè
significa "il quadrato del seno di alfa" ovvero "il seno di alfa
, così come la scrittura
significa "il quadrato del
coseno di alfa" ovvero "il coseno di alfa al quadrato" , cioè
).
La relazione così trovata, che discende direttamente dal teorema di Pitagora, è di
fondamentale importanza perché "lega" i valori di seno e coseno di uno stesso
angolo.
Per esempio, se sappiamo che il seno di un angolo è 1/2 , siamo in grado di
ricavare direttamente il valore del coseno di quell'angolo.
Se cioè abbiamo :
possiamo scrivere :
da cui si ricava :
ovvero :
Si noti che si ottengono due valori del coseno. Infatti, graficamente :
Gli angoli del "primo giro", cioè compresi fra 0 e
, che hanno il seno uguale
e l'angolo
indicati nel grafico, per cui
a 1/2 sono in effetti due , l'angolo
abbiamo due valori del coseno uguali in modulo ma contrari di segno.
2. la relazione fra seno, coseno e tangente
Si tratta della già nota formula :
che definisce la tangente.
3. la relazione fra coseno, seno e cotangente
Si tratta della già nota formula :
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cot gx =
cos x
senx
che definisce la cotangente.
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4. la relazione fra coseno e secante
Si tratta della formula: sec x =
1
cos x
5. la relazione fra seno e cosecante
Si tratta della formula: cos ecx =
1
senx
5. Funzioni goniometriche di angoli particolari
COSENO, SENO E TANGENTE DI ANGOLI PARTICOLARI
•
angolo π/4
Dal cerchio trigonometrico :
si nota facilmente che il triangolo OHP è rettangolo isoscele per cui il seno ed il
coseno di π/4 sono uguali. Per il teorema di Pitagora, possiamo allora scrivere :
, dove con x abbiamo indicato sia il seno che il coseno di π/4.
Abbiamo allora :
cioè :
ovvero :
.
Dei due valori scegliamo il positivo perché seno e coseno di π/4 sono entrambi
positivi. Poniamo anche :
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.
Otteniamo allora :
sin
π
4
= 2 /2;
cos
π
4
= 2 /2;
tg
π
4
=1
essendo la tangente il rapporto fra seno e coseno (qui valori uguali).
Il fatto che la tangente di π/4 sia 1 risulta evidente dalla semplice osservazione del
cerchio trigonometrico.
•
angolo π/6
Dal cerchio trigonometrico :
su cui abbiamo costruito per comodità il triangolo equilatero OPP' , si nota
facilmente che :
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo OHP si ricava che :
.
Otteniamo allora :
sin
π
6
= 1 / 2 ; cos
π
6
= 3/2;
tg
π
6
= 3/3
Il risultato ottenuto per la tangente dipende dal fatto che :
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•
angolo π/3
Dal cerchio trigonometrico :
su cui abbiamo costruito per comodità il triangolo equilatero OPP' , si nota
facilmente che :
e quindi (applicando il teorema di Pitagora come nel caso precedente) :
Abbiamo perciò:
sin
π
3
= 3 / 2;
cos
π
3
= 1/ 2 ;
tg
π
3
= 3
Si noti che i valori di seno e coseno sono "invertiti" rispetto al caso precedente.
NOTA LA TANGENTE, ricavare le altre funzioni.
Dimostrazione.
, se dividiamo tutto per cos2x si ha:
Dalla relazione fondamentale
1
sen 2 x
+1 =
2
cos x
cos 2 x
cos x =
1
± tg x + 1
2
risolvendo,
tg 2 x + 1 =
sapendo che
senx =
tgx
± tg 2 x + 1
cotangente, cioè:
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1
1
, da cui:
⇒ cos 2 x = 2
2
cos x
tg x + 1
sen 2 x = 1 − cos 2 x
si ha: sen 2 x = 1 −
1
tg x + 1
2
. Noti così il seno e il coseno, possiamo ricavare la
cot gx = 1 / tgx.
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Analogamente si ricavano le formule del seno e del coseno quando è nota la
cotangente. Nella tabella che segue sono riportate tutte le formule:
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6. Angoli associati e complementari
Tra le funzioni goniometriche di questi angoli intercorrono particolari relazioni che
possono essere dedotte dall'esame di alcune coppie di triangoli, che risultano uguali, e
dalla conoscenza del segno che ha ogni funzione goniometrica in corrispondenza del
quadrante nel quale giace la semiretta che forma l'angolo.
Sono detti ARCHI ASSOCIATI le seguenti coppie di angoli:
GLI ANGOLI COMPLEMENTARI (β e 90°- β)
Come visto in precedenza si dicono angoli complementari gli angoli la cui somma è un
angolo retto.
Si vedrà ora nel dettaglio quali relazioni intercorrono tra le funzioni goniometriche di
questi angoli e perché.
Si consideri la coppia di angoli orientati complementari β e 90°- β:
I triangoli rettangoli OPH e OP'H' sono uguali (per il 2° criterio di congruenza dei
triangoli avendo gli angoli acuti e l'ipotenusa uguali); di conseguenza H'P' = OH e
OH' = HP quindi,indicando con xP,yP le coordinate di P e con xP',yP' le coordinate di
P' si avrà:
sin(90°-β) = yP' = xP = cosβ
cos(90°-β) = xP' = yP = sinβ
tg(90°-β) = ctgβ
ctg(90°-β) = tgβ
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GLI ANGOLI CHE DIFFERISCONO DI UN ANGOLO RETTO
Si vedrà ora nel dettaglio quali relazioni intercorrono tra le funzioni goniometriche di
questi angoli e perché.
Si consideri la coppia di angoli orientati β e 90°+ β:
I triangoli rettangoli OPH e OP'H' sono uguali (per il 2° criterio di congruenza dei
triangoli ); di conseguenza H'P' = OH e OH' = -HP quindi,indcando con xP,yP le
coordinate di P e con xP',yP' le coordinate di P' si avrà:
sin(90°+ β) = yP' = xP = cos β
cos(90°+ β) = xP' = -yP = -sin β
tg(90°+ β) = -ctg β
ctg(90°+ β) = -tg β
GLI ANGOLI SUPPLEMENTARI
Come visto in precedenza si dicono angoli supplementari gli angoli la cui somma è un
angolo piatto. Si vedrà ora nel dettaglio quali relazioni intercorrono tra le funzioni
goniometriche di questi angoli e perché.
Si consideri la coppia di angoli orientati supplementari β e 180°- β:
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I triangoli rettangoli OPH e OP'H' sono uguali (per il 2° criterio di congruenza dei
triangoli avendo gli angoli acuti e l'ipotenusa uguali); di conseguenza H'P' = HP e
OH' = -OH quindi,indicando con xP,yP le coordinate di P e con xP',yP' le coordinate di
P' si avrà:
sin(180°- β) = yP' = yP = sin β
cos(180°- β) = xP' = -xP = -cos β
tg(180°- β) = -tg β
ctg(180°- β) = -ctg β
GLI ANGOLI CHE DIFFERISCONO DI UN ANGOLO PIATTO
Si vedrà ora nel dettaglio quali relazioni intercorrono tra le funzioni goniometriche di
questi angoli e perché.
Si consideri la coppia di angoli orientati β e 180°+ β:
I triangoli rettangoli OPH e OP'H' sono uguali (per il 2° criterio di congruenza dei
triangoli avendo gli angoli acuti e l'ipotenusa uguali); di conseguenza H'P' = -HP e
OH' = -OH quindi,indcando con xP,yP le coordinate di P e con xP',yP' le coordinate di
P' si avrà:
sin(180°+ β) = yP' = -yP = -sin β
cos(180°+ β) = xP' = -xP = -cos β
tg(180°+ β) = tg β
ctg(180°+ β) = ctg β
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GLI ANGOLI ESPLEMENTARI
Come visto in precedenza si dicono angoli esplementari gli angoli la cui somma è un
angolo giro. Si vedrà ora nel dettaglio quali relazioni intercorrono tra le funzioni
goniometriche di questi angoli e perché.
Si consideri la coppia di angoli orientati esplementari β e 360°- β:
I triangoli rettangoli OPH e OP'H sono uguali (per il 1° criterio di congruenza dei
triangoli ); di conseguenza HP' = -HP e OH = OH quindi,indcando con xP,yP le
coordinate di P e con xP',yP' le coordinate di P' si avrà:
sin(360°- β) = yP' = -yP = -sin β
cos(360°- β) = xP' = xP = cos β
tg(360°- β) = -tg β
ctg(360°- β) = -ctg β
GLI ANGOLI OPPOSTI
Si dicono angoli opposti gli angoli la cui somma è un angolo nullo( cioè di ampiezza
0°). Si vedrà ora nel dettaglio quali relazioni intercorrono tra le funzioni goniometriche
di questi angoli e perché.
Si consideri la coppia di angoli orientati β e - β:
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I triangoli rettangoli OPH e OP'H sono uguali (per il 1° criterio di congruenza dei
triangoli avendo l'ipotenusa,il lato OH,e l'angolo compreso uguali); di conseguenza
HP' = -HP e OH = OH quindi,indicando con xP,yP le coordinate di P e con xP',yP' le
coordinate di P' si avrà:
sin(- β) = yP' = -yP = -sin β
cos(- β) = xP' = xP = cos β
tg(- β) = -tg β
ctg(- β) = -ctg β
7. Riduzione al primo quadrante
Come conseguenza di quanto abbiamo appena esposto segue che ridurre un angolo
al primo quadrante significa trovare l’angolo positivo, compreso ta 0 e 90°, le cui
funzioni siano uguali, in valore assoluto, a quelle dell’angolo dato.
Esaminiamo i vari casi che si possono presentare:
1° caso:
angolo> 360° basterà dividerlo per 360° e considerare solo il resto
della divisione.
ESEMPIO: sen1840°= sen(5*360°+40°)=sen 40°
2° caso:
90°<angolo<180° basterà considerare l’angolo supplementare, così la
funzione seno non muterà, mentre le altre cambieranno di segno.
ESEMPIO: 1. sen128°= sen(180°-128°)=sen 52°
2. cos128°= cos(180°-128°)=-cos52°
3° caso:
180°<angolo<270° basterà considerarlo somma di un angolo acuto con
180° e ricordare, considerando le relazioni fra gli angoli che differiscono
di 180°, che seno e coseno cambieranno di segno.
ESEMPIO: 1. sen210°= sen(180°+30°)= - sen30°
2. cos210°= cos(180°+30°)= - cos30°
4° caso:
270°<angolo<360° basterà trovare l’angolo esplementari e allora il
coseno non muterà, mentre le altre funzioni cambieranno di segno.
ESEMPIO: 1. sen320°= sen(360°-40°)= - sen40°
2. cos320°= cos(360°-40°)= cos40°
5° caso:
se l’angolo e’ negativo basterà considerare il suo opposto e ricordare
che il coseno non muterà, mentre le altre funzioni cambieranno di segno.
ESEMPIO: sen(-70°)=- sen70°;
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cos(-70°)= cos70°
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