a alla lettura dei quesiti di Matematica / Fisica

Guida test d'ingresso
Versione 18.02.2013
Introduzione
La presente guida è in fase di sviluppo, nella sua stesura finale
comprenderà alcuni sezioni sugli errori più comuni riscontrati nelle
risposte ai quiz.
Matematica
I test d'ingresso universitario, per quanto riguarda i contenuti matematici,
vertono prevalentemente su argomenti trattati nel quinquennio della scuola
superiore, con particolare riferimento all'aritmetica, l'algebra, la teoria delle
equazioni e disequazioni, la geometria razionale (euclidea), la geometria
analitica, la goniometria, i logaritmi ed esponenziali, elementi di analisi.
Le abilità richieste ai fini della loro risoluzione richiedono l'assimilazione dei
concetti fondamentali che stanno alla base dei contenuti prima citati. Tale
comprensione si esplica nel richiamo di formule fondamentali e della loro
manipolazione da una parte, nella capacità di decidere in tempo rapido, la via
più veloce e più semplice compatibilmente con le richieste del test proposto
dall'altra.
L'ARITMETICA include tutta la teoria dei numeri, vista sia a partire dalle loro
proprietà elementari, sia dal punto di vista insiemistico, ricollegandosi perciò
anche alle loro caratteristiche logiche più semplici.
Lo studente deve perciò conoscere l'insieme dei numeri naturali con le sue
proprietà, le quali devono includere in particolare le potenze e le operazioni tra
di esse, i criteri di scomposizione dei numeri composti a partire dalle potenze
dei numeri primi, i criteri di divisibilità, saper determinare il M.C.D. e il m.c.m.
tra due numeri naturali, saper riconoscere la rappresentazione caratteristica di
un sottoinsieme di numeri naturali. Queste conoscenze e competenze vanno poi
estese a tutti gli interi dotati di segno e alle frazioni. È fondamentale saper
effettuare inoltre il confronto tra frazioni ed essere in grado di manipolare le
potenze ad esponente negativo, con particolare riferimento alle
rappresentazioni decimali. Tutti questi argomenti devono infine essere spesso
applicati nella semplificazione di espressioni numeriche composte.
1
A titolo esemplificativo facciamo i seguenti esempi:
Il valore dell'espressione :
è:
− 31
b) 10
a) 1
c) 10
31
d) 0
e) -1
In questo caso lo studente sprovveduto potrebbe procedere alla risoluzione
dell'espressione seguendo la via standard di risolvere prima ciò che sta dentro le
parentesi. La risposta al quesito invece è immediata se si riflette sul fatto che la
potenza di ciascun numero finito e diversa da zero ad esponente nullo deve
dare sempre 1. Ovviamente la base della potenza non può mai essere nulla in
quanto non compaiono sottrazioni tra numeri al suo interno! Questo semplice
esempio dimostra come a volte le vie dettate dai metodi standard non sempre
sono le più brevi!
vale:
L'espressione
a) 0,03
b) 0,1
c) 0,003
d) 0,5
e) 0,301
Anche in questo caso lo studente inesperto sarebbe portato a cercare di
risolvere l'espressione facendo uso delle operazioni tra i numeri decimali e
addirittura provare a risolvere per via aritmetica la radice cubica di un numero.
In realtà il calcolo dell'espressione diventa agevole se si fa uso delle varie
conoscenze maturate nell'aritmetica delle frazioni, delle potenze e delle radici
elementari.
Basta infatti convertire i numeri presenti all'interno della potenza e del radicale
da decimali a frazionari in base 10: 0,1= 1/10 e 0,027=27/1000 e rendersi
conto, nel primo caso, che la potenza dà direttamente 1/1000= 0,001 e il
radicale è ridotto alla radice cubica del cubo della frazione 3/10 e che è perciò
un falso radicale visto che coincide con il suo contenuto 3/10= 0,300 per cui alla
fine il calcolo dell'espressione si riduce alla somma 0,001 + 0,300 = 0,301
L'ALGEBRA include le conoscenze relative a monomi, polinomi, scomposizioni
in fattori di polinomi non troppo complicati, frazioni algebriche, radicali ed
equazioni. I quesiti su monomi, polinomi e frazioni algebriche si concentrano
spesso nelle operazioni tra potenze di monomi, nelle semplificazioni di
2
espressioni polinomiali e delle frazioni algebriche medesime. I test sui polinomi
necessitano sopratutto l'uso dei prodotti notevoli. Dei radicali occorre
conoscere sia la rappresentazione per radici sia quella per potenze ad
esponente razionale; tutte le proprietà delle operazioni tra numeri e loro
potenze, monomi e loro potenze, polinomi e loro prodotti notevoli vengono
estese e applicate ai radicali medesimi.
Esempio.
6
Calcolare il rapporto
a) -27x
b) x + 9
2
3−x
−
x− 27
:
c) 27 – x
d) -x + 9
e) x + 27
Alcuni potrebbero risolvere direttamente la potenza di 3 e lasciare il segno
negativo fuori dalla frazione, complicandosi la risoluzione del rapporto; è invece
più semplice ricordare che: conviene quasi sempre che il segno dei monomi di
grado più alto in entrambi i polinomi sia lo stesso, per cui la prima cosa da fare è
eliminare il segno – fuori dalla frazione cambiando di segno il denominatore:
2
6
x −3
x − 27
2
successivamente si può osservare che 27 è il cubo di 3 per cui:
6
x −3
x− 33
e osservare infine che le potenze del binomio al denominatore sono entrambe
2
ad esponente pari ed in particolare che
36 = (3 3 )
da cui :
2
x 2 − (33 )
x− 33
che si semplifica rapidamente ricordando il prodotto notevole al
numeratore
per ricavare la soluzione esatta x + 27
LA TEORIA DELLE EQUAZIONI, oltre alle tecniche risolutive delle equazioni di I
intere e frazionarie, dei sistemi di equazioni di I e delle equazioni di II complete
e incomplete, necessita anche il saper risolvere equazioni di grado superiore al
secondo facendo uso della scomposizione in fattori. A essa si aggiungono
sistemi di II non troppo complessi (risolubili in genere applicando
semplicemente il metodo di sostituzione). È inoltre importante sottolineare il
fatto che essa si estende anche alle equazioni trascendenti: equazioni
goniometriche, esponenziali e logaritmiche in genere semplici.
3
Ad essa generalmente, si affianca la teoria delle disequazioni, per quanto i
quesiti in tal senso siano meno frequenti e siano incentrati prevalentemente
sulle disequazioni algebriche di I e II, disequazioni frazionarie e sistemi di
disequazioni non complessi.
A titolo di esempio consideriamo un caso in cui si possono identificare le
soluzioni corrette di una equazione di II senza dover necessariamente risolverla:
L'equazione
2
5x − 8x+ 3= 0
a) 3/5 e 1 b) -1 e 3
c) 1 e -1
ha per soluzioni:
d) -3/5 e 3/8
e) -2 e 2
Invece di perdere il tempo a cercare le soluzioni con la usuale formula per
radicali, uno può semplicemente notare, grazie alla regola dei segni di Cartesio,
che i segni dei coefficienti dell'equazione si alternano: +5, - 8, +3 che la
risposta ammette sempre l'esistenza di due soluzioni distinte. A questo punto
poiché la regola di Cartesio ci garantisce che, quando i segni dei coefficienti si
alternano (in questo caso + - +) le soluzioni distinte, se esistono, devono essere
entrambe positive, alla luce delle risposte possibili si possono scartare tutte le
risposte tranne la prima, l'unica a soddisfare questa condizione.
LA GEOMETRIA EUCLIDEA si concentra principalmente sulle proprietà delle
figure geometriche piane, applicate sovente alla determinazione della misura di
perimetri, aree, lati o angoli di una figura proposta. In tal senso sono
particolarmente ricorrenti le figure dotate di alcune simmetrie o regolarità
(quali ad es. i triangoli isosceli ed equilateri, i rettangoli, i rombi, i quadrati e i
cerchi) e quelle che richiedono l'uso dei teoremi di Pitagora, Euclide e di Talete
(con riferimento alle similitudini nel caso di quest'ultimo). Meno diffusi sono
quelli di geometria solida e incentrati sopratutto nel calcolo della misura di
superfici o volumi.
Facciamo un esempio in cui si devono applicare delle proprietà di cui si fa poco
uso nel corso dei propri studi o di cui si è persa la piena consapevolezza:
Un triangolo ha un lato di 12m e un lato di 8m; individuare quale tra le
seguenti, può costituire la misura del terzo lato:
a) 20m
b) 4m
c) 22m
d) 14m
e) 3m
Lo studente non consapevole delle proprietà geometriche che caratterizzano
intrinsecamente la figura di un triangolo può farsi trarre in inganno e magari
addirittura presupporre che ciascuna delle risposte sia accettabile.
L'esaminando però ricordare che i lati di un triangolo non possono avere
lunghezze qualsiasi ma devono stare tra loro in una relazione di diseguaglianza
in cui ciascuno di essi, deve avere lunghezza inferiore alla somma delle
lunghezze degli altri due e maggiore della differenza tra i medesimi: ne
consegue che la a) e la c) vanno subito scartate perché la prima è uguale alla
4
somma delle altre due e la seconda è addirittura maggiore della medesima. Per
ragioni opposte si scartano la b) e la e) in quanto la prima è uguale alla
differenza delle altre due e la seconda è addirittura inferiore alla medesima, per
cui può essere valida solo la d).
LA GEOMETRIA ANALITICA dei test orienta la sua attenzione all'identificazione
di una figura geometrica del piano cartesiano a partire dalla sua equazione
algebrica scritta in forma esplicita o implicita: è necessario cioè essere in grado
di capire a partire da una equazione, se essa esprime una retta o una conica e,
in questo secondo caso, saper distinguere la conica in questione tra parabola,
circonferenza, ellisse o iperbole.
Spesso viene data già l'identità della figura in questione e si chiede di
determinare direttamente i suoi parametri fondamentali o i suoi punti
caratteristici (ad es. coeff. angolare e termine noto per una retta, centro e
raggio per una circonferenza, vertici e fuochi per parabole, ellissi e iperboli).
A volte si richiede di determinare l'equazione di una retta noti due suoi punti o
la posizione di quest'ultima rispetto ad un'altra retta o ad una conica assegnata
(saper dire cioè se una retta è parallela, incidente ed eventualmente
perpendicolare rispetto da una seconda retta, saper riconoscere se una retta è
esterna, tangente o secante rispetto ad una conica).
Citiamo un esempio di test in cui lo studente può essere ingannato dalla forma
con cui è rappresentata una conica:
Il grafico rappresentato dalla seguente equazione
è una:
a) parabola
b) circonferenza
c) iperbole d) ellisse
e) retta
Generalmente gli studenti sono abituati a vedere una conica rappresentata o in
equazioni in forma implicita o in equazioni in forma esplicita dove non
compaiono però radicali. Invece di tracciare un grafico approssimato punto per
punto che, oltre ad essere probabilmente incompleto richiederebbe non poco
tempo, bisogna meditare bene sulle caratteristiche “algebriche” espresse dalle
equazioni dei diversi casi possibili: l'equazione di una retta è caratterizzata dalla
presenza di un polinomio di I in x e dunque và scartata in partenza; la parabola
invece è espressa da un polinomio di II in x o in y a seconda che abbia asse
parallelo all'asse orizzontale o verticale, per cui anche questa và esclusa; inoltre,
trattandosi di una funzione irrazionale con radice ad indice pari, il suo campo di
esistenza è dato dalle soluzioni della disequazione :
2
x
1− ≥ 0
4
verificata per valori interni al seguente intervallo :
5
ciò significa che il grafico della funzione è tutto contenuto in un intervallo chiuso
e limitato, senza alcuna interruzione da un estremo all'altro. Questo fatto
esclude l'iperbole che è una curva che si sdoppia in due rami separati che
esistono solo in intervalli illimitati trattandosi di una curva aperta.
A questo punto ricordando che i coefficienti dei termini quadratici in x e in y
della circonferenza devono essere identici, ed essendo invece i coefficienti della
curva in questione distinti , la curva in questione non può che essere una ellisse.
Come si vede, si è arrivati alla risposta esatta risolvendo una semplice
disequazione di II e facendo uso delle caratteristiche algebriche delle singole
curve.
Un modo alternativo, forse anche più veloce, è quello di eliminare il radicale a
secondo membro elevando al quadrato entrambi i membri:
2
x2
x
y = 1−
+ y 2 = 1 e riconoscere
e
spostare
a
sinistra
il
termine
in
x
:
4
4
l'equazione canonica di una ellisse; questo procedimento può diventare più
calcoloso a seconda dei coefficienti dei termini in x ed in y.
2
LA GONIOMETRIA abbraccia i contenuti alla determinazione dei valori delle
funzioni circolari fondamentali (prevalentemente seno, coseno e tangente) in un
arco notevole, quest'ultimo espresso in gradi o in radianti e di loro espressioni
non complesse. È perciò utile saper convertire un angolo dalle unità di grado
alle unità radianti e viceversa; compaiono inoltre espressioni algebriche sempre
nelle funzioni circolari, da dover semplificare facendo uso delle relazioni basilari
della goniometria, quali la relazione tra seno e coseno, la definizione algebrica di
tangente goniometrica, le formule degli archi associati, di somma algebrica e di
duplicazione degli archi.
Bisogna inoltre saper identificare il grafico di appartenenza di una funzione
circolare e la sua periodicità. Compaiono anche le applicazioni della goniometria
ai triangoli, che in genere vertono principalmente nelle applicazioni del teorema
dei seni, di Carnot e di quelli sulle proiezioni. Talvolta infine è richiesta la
risoluzione di equazioni o disequazioni goniometriche elementari.
LA TEORIA DEGLI ESPONENZIALI E DEI LOGARITMI spazia dalle loro proprietà,
in relazione alle potenze e dunque alle operazioni tra di esse, alle equazioni
prevalentemente di tipo elementare o comunque non complesso. È
indispensabile in tal senso, conoscere e applicare le proprietà fondamentali
degli esponenziali e dei logaritmi unitariamente a quelle delle operazioni tra di
essi: in particolare bisogna saper determinare il logaritmo di un numero
secondo una base assegnata, il logaritmo della potenza di un numero, il
logaritmo del prodotto o rapporto tra due numeri; saper calcolare o
semplificare il logaritmo di una espressione numerica o algebrica; essere in
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grado di risolvere equazioni esponenziali elementari o non complesse, di
determinare il campo di esistenza e le soluzioni di equazioni logaritmiche
elementari o non complesse.
Un esempio di quesito semplice ma insidioso è il seguente:
x
La soluzione dell'equazione
a) x = -1
b) x = 0
x
2 +3 =2
c) x = 1
d)
è data da:
x =5
e) non esiste
A prima vista, lo studente, vedendo che si tratta di una equazione esponenziale
in cui compaiono esponenziali con basi diverse, può trovarsi scoraggiato e
supporre di risolvere l'equazione per via logaritmica oppure pensare che
l'equazione non abbia soluzioni. In realtà qui si deve pensare semplicemente a
scomporre il secondo membro nella somma di due numeri che possono essere
visti come casi particolari degli esponenziali che stanno al primo membro:
0
0
2 = 1 + 1 = 2 + 3 ; in sostanza bisogna sempre ricordare che gli esponenziali
anche se di base diversa hanno sempre un punto in comune in x = 0 che
rappresenta infatti la soluzione corretta dell'equazione.
GLI ELEMENTI DI ANALISI includono la teoria generale delle funzioni e per casi
semplici, quella dei limiti e delle derivate. Lo studente dev'essere perciò in
grado di classificare la tipologia di funzione proposta (polinomiale, razionale,
irrazionale, goniometrica, esponenziale o logaritmica) la quale può
eventualmente essere data dalla composizione di più funzioni di natura diversa;
assegnata la funzione deve saper determinare il suo campo di esistenza e la sua
positività, oltre alle sue eventuali simmetrie (pari o dispari). In particolare gli
aspetti funzionali dei logaritmi e degli esponenziali, inclusi i grafici ed i loro
campi di esistenza, vengono ripresi in questa parte.
La teoria dei limiti in genere si riduce al calcolo di limiti di funzioni razionali per
valori della variabile finiti o infiniti o di limiti notevoli applicati alle altre tipologie
di funzioni e alla determinazione dei loro eventuali asintoti in casi non
complessi.
La teoria delle derivate necessita il calcolo della derivata di potenze ad
esponente reale o di funzioni di altro genere ma semplici quali funzioni
goniometriche, esponenziali o logaritmiche elementari; sovente si chiede di
saper applicare le conoscenze relative alle derivate ai fini della determinazione
di alcune caratteristiche salienti di una funzione quali ad es. la eventuale
crescenza o decrescenza e la eventuale presenza di un punto di massimo,
minimo o di flesso.
Un esempio di quesito che può creare qualche confusione, almeno in termini
interpretativi delle risposte è il seguente:
7
2
La funzione
a)
d)
x= ± 1
y= ± 2
y=
2x + 1
x 2 − 1 ha come asintoti le rette:
b) x= ± 2
e)
c)
y= ± 1
x= 0 ; y= 0
In tale contesto la difficoltà può risiedere nel fatto che il quesito non specifica il
tipo di asintoti in questione: il che significa che in teoria si dovrebbero prendere
in considerazione gli asintoti orizzontali e/o verticali (e/o addirittura obliqui).
Lo studente però deve sapere che gli asintoti verticali sono dati dagli zeri del
denominatore della funzione quando questa è già semplificata; per questa
ragione può essere certo che i valori della a) sono gli asintoti verticali, il che
esclude automaticamente la risposta b) e la risposta e); inoltre gli asintoti
orizzontali in una funzione razionale (come in questo caso specifico) sono dati
direttamente dal rapporto dei coefficienti di grado più alto rispettivamente del
numeratore e del denominatore, quando ovviamente il numeratore ed il
denominatore sono polinomi dello stesso grado: ciò significa che esiste un solo
asintoto orizzontale in y = 2, il che esclude la validità delle risposte c) e d)
quest'ultima poteva ingannare maggiormente in quanto parzialmente corretta.
LE COMPETENZE TRASVERSALI, ovvero quelle abilità in cui lo studente deve
saper applicare le conoscenze di campi diversi della matematica per risolvere un
quesito meritano un discorso a parte, in quanto sono quelle che più possono
determinare eventuali trabocchetti, proprio per la tipologia mista dei contenuti
coinvolti.
Un classico esempio è quello in cui si chiedete di determinare una relazione tra
alcuni numeri interi facendo uso delle regole dell'algebra polinomiale: in tal caso
si incontrano le conoscenze relative all'aritmetica (teoria dei numeri) e
all'algebra (linguaggio letterale e scomposizione in fattori); un altro esempio è
dato da quei test in cui bisogna tradurre il quesito dal linguaggio naturale a
quello formale per poi far uso delle equazioni o sempre dell'algebra e
dell'aritmetica; si possono presentare anche quesiti in cui viene chiesto di
determinare relazioni tra i numeri appartenenti ad una sequenza o ad un
quadrato (in alcuni casi magico): in questo senso le abilità matematiche di
diversi ambiti possono incrociarsi con quelle di tipo logico. Altri esempi che
includono abilità trasversali ai vari argomenti si possono trovare ad es. nei
quesiti di geometria in cui le conoscenze legate alle proprietà delle figura
geometriche si uniscono a quelle di tipo algebrico o di tipo goniometrico o
analitico.
Ancora si possono trovare quesiti di applicazione delle conoscenze matematiche
alla realtà circostante,relativi a fenomeni comuni presenti nella natura sia in
seno alla fisica della terra sia in ambito biologico e botanico.
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Infine si possono presentare quesiti in cui viene chiesto di determinare relazioni
tra i numeri appartenenti ad una sequenza o ad un quadrato (in alcuni casi
magico) in cui le abilità di tipo logico hanno pari dignità di quelle di tipo
Consideriamo il seguente esempio:
Una torre è alta 10m. L'altezza del sole sull'orizzonte è 300 . L'ombra
della torre è lunga circa:
a) 10m
d) 30m
b) 5m
c) 17,5m
e) non c'è ombra
Il problema fondamentale consiste nell'interpretazione del quesito. Si deve
ricordare che l'altezza sull'orizzonte espressa in forma di angolo non è altro che
l'angolo formato dai raggi incidenti del sole con l'orizzonte. Il raggio perciò
determina anche la proiezione della torre, sotto forma di ombra, nel suolo con
un angolo rispetto all'orizzonte , pari all'angolo assegnato. Il sistema torre +
lunghezza raggio (a partire dall'estremità della torre sino al suolo) + proiezione
costituisce un triangolo rettangolo, essendo in genere una torre perpendicolare
al suolo. Il rapporto tra l'altezza della torre e l'ombra non è altro che il rapporto
tra cateto verticale ed il cateto orizzontale del triangolo rettangolo e deve
coincidere, dal punto di vista trigonometrico, con la tangente goniometrica
dell'angolo acuto alla base orizzontale.
Indicando con l la lunghezza dell'ombra e con t la lunghezza della torre
dev'essere:
t
= tg30
, relazione che invertita dà
l
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Fisica
Per quanto riguarda la fisica i quesiti in genere si orientano prioritariamente
lungo tre direttive fondamentali:
• domande di accertamento di pura conoscenza dei contenuti
• quesiti in cui viene richiesta la conoscenza di una formula e la capacità di
saperla manipolare in contesti diversi o di interpretarla dal punto di vista
matematico
• test di puro ragionamento sui fenomeni fisici, legati sopratutto alla realtà
quotidiana, in cui possono comparire delle “trappole” nella misura in cui
l'intuizione non corroborata dalle conoscenze o alcuni luoghi comuni
possono deviare dalla risposta corretta.
Gli argomenti trattati vanno dai sistemi di unità di misura, alla cinematica,
elementi di calcolo vettoriale, statica, dinamica, termodinamica, onde ed
elettromagnetismo. Meno diffusi sono contenuti relativi all'ottica geometrica e
alla fisica moderna.
SISTEMI DI UNITÀ DI MISURA, per quanto possa apparir strano, possono creare
non poche difficoltà per due ragioni:
• l'elevato numero di unità di misura, le quali includono oltre quelle delle
grandezze fondamentali, le misure relative alla grandezze derivate
all'interno dei vari argomenti possibili e le unità di misure “particolari”,
ovvero quelle unità progettate appositamente per descrivere una
particolare grandezza fisica e che deviano dalle unità standard
comunemente usate nel sistema S.I. A ciò si aggiunge la molteplicità dei
suffissi adottati per le sottounità e le macrounità usate per i sottomultipli
e i multipli delle unità di base. Questo implica non pochi problemi di
memorizzazione
• la presenza di unità di misura spesso simili tra loro che comporta la
facilità di confondersi tra una unità di misura e l'altra
La strategia migliore, nella maggior parte dei casi è di ricostruire le unità di
misura a partire dalla formula che definisce la grandezza fisica corrispondente:
in questo modo si può ottimizzare la memoria e ridurre la probabilità di
confusione tra una unità e l'altra.
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LA CINEMATICA include prevalentemente i moti rettilinei uniformi e
uniformemente accelerati e, in minor frequenza i moti piani.
In particolare è necessario saper manipolare le leggi orarie di posizione e
velocità nel moto rettilineo uniforme e moto rettilineo uniformemente
accelerato e saperle interpretare sia dal punto di vista fisico che dal punto di
vista matematico unitariamente ai concetti di velocità e accelerazione. Ciò
significa saper riconoscere la rappresentazione rettilinea della legge oraria dello
spazio nel moto rettilineo uniforme e della legge oraria della velocità in un moto
rettilineo uniformemente accelerato, la rappresentazione parabolica della legge
oraria dello spazio nel moto rettilineo uniformemente accelerato nel contesto
del piano cartesiano.
Sovente il moto rettilineo uniformemente accelerato è presentato nella forma
della caduta di un grave in prossimità della superficie terrestre, il che necessita
la capacità di applicare le leggi di tale moto a tale contesto particolare. La
caduta di un grave sta alla base di domande a trabocchetto in cui si vuol
determinare se lo studente è consapevole del fatto che l'accelerazione di gravità
in prossimità della superficie terrestre sia in buona approssimazione costante e
sopratutto indipendente dalla massa del corpo in caduta libera.
Le grandezze da calcolare a volte richiedono l'inversione della formula nota o
l'uso di un semplice sistema di equazioni di I in due incognite: quest'ultimo caso,
nonostante la semplicità in senso matematico, implica una conoscenza più
profonda dal punto di vista fisico in quanto, richiede di saper interpretare
fisicamente il ruolo giocato dalle grandezze fisiche incognite ai fini della
traduzione del problema proposto dal linguaggio naturale a quello formale e
della sua comprensione finale.
I moti piani invece sono limitati alla conoscenza della natura del moto di un
proiettile in prossimità della superficie terrestre o allo sviluppo di un moto
circolare uniforme. Il primo tipo di moto richiede la conoscenza della geometria
analitica della parabola per la rappresentazione della sua traiettoria spaziale; il
secondo tipo di moto necessita, oltre alle conoscenze elementari della
geometria euclidea del cerchio, di saper rappresentare gli angoli nell'unità di
misura radiante.
Esempio:
Un grave viene lanciato verso l'alto con una velocità iniziale di 4m/s in
direzione verticale rispetto al suolo. Nel punto più alto della traiettoria la
velocità vale:
a) 4m/s
b)
3m/s
c) 2m/s
d)
1m/s
e) 0 m/s
questo è il tipo quesito che non richiede alcun calcolo per fornire la risposta, a
differenza di quanto potrebbe apparire: chi dovesse impostare le equazioni
della cinematica del moto decellerato di salita di un corpo impiegherebbe un
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tempo sensibilmente superiore a quello necessario. Il dato iniziale della velocità
è perciò ridondante. Infatti basta ricordare che il punto di altezza massima
raggiunto da un corpo lanciato verso l'altro è un punto di inversione del moto in
cui la velocità dev'essere necessariamente nulla, dovendo in tale punto invertire
la sua direzione e questo indipendentemente dal valore iniziale di questa.
Dunque la risposta è immediata ed è la e)
LA DINAMICA coinvolge i tre principi della dinamica e le loro applicazioni, il
concetto di energia attraverso le sue forme di energia cinetica e potenziale. I
quesiti relativi ai principi della dinamica in genere vertono sulla relazione tra
forza e accelerazione e quindi sulle connessioni tra la dinamica e la cinematica;
sono meno presenti quelli relativi alla dinamica rotazionale, in genere limitati
all'uso della forza centripeta o centrifuga. Sono meno diffusi anche i test sulla
quantità di moto, campo e potenziale gravitazionale.
La tipologia di forze in genere tiene conto delle forze costanti, con particolare
riferimento alla forza peso e all'attrito, forze di contatto ma lineari nella
posizione quali la forza elastica, forze non lineari dipendenti sempre dalla
distanza quali la forza gravitazionale universale. Lo studente perciò dev'essere in
grado di manipolare e applicare le leggi della dinamica ai casi particolari, saper
determinare grandezze cinematiche a partire da grandezze dinamiche e
viceversa. Deve saper anche applicare le leggi della gravitazione universale in
modo semplice nel caso di corpi celesti diversi da quello terrestre, come ad
esempio la determinazione dell'accelerazione di gravità in prossimità di un
corpo celeste in rapporto a quella di gravità terrestre, nota la relazione tra le
masse dei due corpi. È bene anche rivedere il ruolo giocato dall'attrito in alcuni
semplici contesti della dinamica.
Per quanto concerne l'energia, i test si accentrano sopratutto nella definizione
di lavoro dal punto di vista meccanico il che può generare a volte delle domande
a trabocchetto in cui lo studente può essere portato ad applicare in ogni
contesto una formula del lavoro valida solo sotto certe condizioni particolari: in
tal caso la sua applicazioni fuori da queste condizioni sarebbe errata con
conseguente deviazione dalla risposta corretta. Il lavoro in genere è associato ai
trasferimenti di energia nell'unità di tempo (ovvero alla potenza). L'energia
cinetica e l'energia potenziale compaiono sopratutto nelle formule di
manipolazione o nel principio di conservazione dell'energia meccanica.
Generalmente l'energia potenziale si limita a quella gravitazionale in prossimità
della superficie terrestre o nel contesto della gravitazione universale,oltre a
quella di tipo elastico.
Dal punto di vista matematico è sufficiente saper interpretare le funzioni lineari
nella posizione (rette in senso cartesiano), quadratiche nella posizione o nella
velocità (parabole in senso cartesiano), inversamente proporzionali nella
posizione o nel suo quadrato (iperboli o pseudoiperboli in senso cartesiano). A
volte è necessario saper risolvere semplici equazioni fratte o di II.
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Esempi:
Un astronauta, sulla luna, ha un peso di 240N e una massa di 150Kg.
L'accelerazione di gravità della luna è uguale a:
a) 4,9 m/s2
b) 9,8 m/s2
c) 0
d) 1,6 m/s2
e) 2,8 m/s2
Il quesito comporta necessariamente la conoscenza del fatto che la forza peso
dipende dal corpo celeste in cui ci si trova e dunque cambia quando ci si sposta
in genere da un corpo celeste ad un altro. Ne consegue che anche
l'accelerazione di gravità, per la seconda legge della dinamica deve cambiare e
per determinare il suo valore è sufficiente applicare tale legge:
g = P/m = (240/150) m/s2 = 1,6 m/s2
Un corpo viene lasciato cadere senza attrito con una velocità iniziale nulla
da un'altezza di 10m rispetto al suolo. A quale quota dal suolo la sua
energia cinetica uguaglia la sua energia potenziale?
a) 10m
b) 7,5m
c) 5,0m
d) 2,5m
e) 0,0 m
Il testo include sia conoscenze di tipo fisico, sia abilità di tipo matematico.
Uno deve saper applicare il principio di conservazione dell'energia meccanica al
caso di un grave in caduta libera e di conseguenza sapere che tale energia è pari
all'energia potenziale immagazzinata dal corpo all'istante iniziale della sua
caduta quando è inizialmente fermo: E = mgh con m massa del corpo, g
accelerazione di gravità, h altezza dal suolo. Nel corso della caduta, sempre per
il principio di conservazione, l'energia potenziale si riduce sempre di più a
vantaggio dell'energia cinetica fino a ridursi a zero se si assume il suolo ad
altezza nulla. Deve esistere allora un'altezza in cui le due energie si equivalgono
e questa altezza y rappresenta l'incognita del problema. A quell'altezza la
condizione si traduce in :
(1/2)mv2 = mgy , mentre poiché l'energia meccanica deve mantenersi costante
lungo il moto: dev'essere anche (1/2)mv2 + mgy = mgh, per cui sostituendo
al posto di (1/2)mv2, nell'ultima equazione mgy si ricava: mgy + mgy =mgh
da cui 2mgy = mgh ovvero y = h/2 = 5m. La c) è quella giusta.
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Si osservi che i dati riguardanti massa e velocità non sono indispensabili:
di fatto l'energia cinetica è servita solo per collegare le due “equazioni” del
sistema in cui però le incognite erano l'energia cinetica e potenziale, ma
essendo queste eguagliate consentivano di ottenere una equazione con una
sola incognita applicando in modo elementare il metodo di sostituzione.
LA STATICA in genere compare o in alcune semplici situazioni di equilibrio
coinvolgenti due o più forze o all'interno della teoria dei fluidi.
Nel primo dei due casi si tratta di applicare semplicemente il I principio della
dinamica ad un punto soggetto a più forze per la determinazione delle sue
condizioni di equilibrio e del tipo di equilibrio in atto (stabile o instabile). La
difficoltà è sostanzialmente di tipo matematico, in quanto richiede l'uso delle
nozioni basilari della geometria piana nella determinazione del baricentro di una
figura e del calcolo vettoriale, quali le leggi di composizione dei vettori (con
particolare rilievo a quelle di somma e differenza), le leggi di scomposizione dei
vettori lungo le loro proiezioni rispetto a due assi, le regole di trigonometria che
impiegano il seno ed il coseno di archi noti.
Nel secondo dei due casi è necessario invece possedere il concetto di densità, di
peso specifico di un corpo, di pressione esercitata da un fluido, il principio di
Pascal, la legge di Stevino e la legge di Archimede applicati ai fluidi in equilibrio
idrostatico.
I test in tale contesto non presentano difficoltà matematiche, ma risultano più
insidiosi dal punto di vista della fisica, in quanto possono indurre in errore lo
studente quando ad esempio, non ha riflettuto in modo esauriente sul variare
della spinta di Archimede al cambiare della densità del corpo o del fluido in cui è
immerso o sulle ragioni che consentono ad un aereo di volare.
Un esempio interessante di quesito è il seguente:
Una sfera omogenea di densità d0 può galleggiare emergendo per metà
volume in un liquido di densità 0,8 solo se:
a) d0 = 1
b) d0 = 0,85
c) d0 = 1,6
d) d0 = 0,9
e) d0 = 0,4
Lo studente deve applicare il concetto di equilibrio statico combinando la forza
peso con la spinta di Archimede: infatti un corpo immerso in un fluido è
soggetto alla sua forza peso P = d0 V0 g(dove V0 indica il volume del corpo),
diretta verso il basso e alla spinta di Archimede prodotta dal fluido e diretta
verso l'alto, di intensità pari al peso del volume di fluido spostato. Il volume del
fluido spostato è esattamente uguale alla metà del volume del corpo
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(assumendo il fluido virtualmente incomprimibile) ed essendo m = dV la massa
del fluido spostato, con d densità e V il volume del fluido spostato medesimo, la
spinta di Archimede da esso esercitata sarà S = (dV0/2)g. La condizione di
galleggiamento non è altro che la condizione di equilibrio di un corpo per la
quale la risultante di tutte le forze applicate al suo baricentro deve essere nulla,
il che si traduce imponendo che la forza peso del corpo per intensità deve
uguagliare la spinta di Archimede a cui è soggetto:
d0 V0 g = (dV0/2)g che fornisce la relazione tra le due densità: d0 = d/2 =0,4
LA TERMODINAMICA abbraccia un campo che và dalla calorimetria alla teoria
cinetica dei gas, al I e II principio della termodinamica
La calorimetria, per quanto semplice dal punto di vista matematico (in un
contesto di scuola superiore), presenta non poche insidie in altre direzioni. Essa
è infatti più legata alle esperienze del quotidiano vissuto, all'interno
dell'ambiente che ci circonda o nel quale viviamo. Questo significa che spesso lo
studente subisce l'influenza delle osservazioni che ha fatto nel corso delle sue
esperienze passate senza però averne potuto maturare spesso le conoscenze
per darne la giusta interpretazione, il che può diventare fonte di pregiudizi ed
errori di varia natura. Le trappole si annidiano prevalentemente nei quesiti
relativi ai passaggi di stato o nelle situazioni in cui la pressione varia al cambiare
della temperatura. È indispensabile ripassare le leggi di dilatazione termica di
solidi e fluidi, quelle della dipendenza della pressione di un fluido dalla
temperatura, i passaggi di stato e il loro legame con la temperatura.
A ciò si devono aggiungere i concetti relativi a capacità termica, calore specifico
e temperatura assoluta.
La teoria cinetica dei gas presenta dei quesiti in cui si richiede sopratutto di
determinare una grandezza microscopica a partire da una grandezza
macroscopica e viceversa. In tale contesto assumono particolare importanza il
concetto di gas perfetto con la sua equazione di stato, la relazione tra energia
cinetica o velocità di una singola particella e la temperatura del gas a cui
appartiene. Le difficoltà maggiori qui riguardano la manipolazione di grandezze
fisiche di diverso ordine di grandezza in quanto si deve relazionare il
microscopico con il macroscopico: vengono chieste perciò abilità di calcolo
aritmetico che un buon padroneggiamento delle potenze, delle operazioni tra di
esse e dell'uso della notazione scientifica oltreché delle approssimazioni. La via
più rapida consiste nel rappresentare tutti i numeri coinvolti sotto forma del
prodotto tra un numero decimale con una sola cifra prima della virgola e una
potenza di 10, che sarà positiva nel caso di grandezza macroscopica, negativa
nel caso di grandezza microscopica; successivamente si faranno separatamente
le operazioni tra i numeri decimali da una parte e le potenze di 10 dall'altra fino
ad arrivare al risultato finale. A volte può far comodo trasformare a loro volta i
numeri decimali sotto forma di frazioni rappresentabili a loro volta sotto forma
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di combinazioni tra numeri interi e potenze di 10 da comporre poi con le altre
potenze di 10 prima individuate.
Si osservi che questa procedura risulta conveniente in molti altri settori della
fisica o della matematica in cui si necessitano calcoli numerici elaborati senza
poter far uso di una calcolatrice.
I quesiti riguardanti il I principio sono in genere di natura teorica sulla relazione
tra lavoro, calore ed energia interna. Compaiono spesso i quesiti in cui si
richiede di calcolare il lavoro fatto lungo particolari trasformazioni
termodinamiche di un gas perfetto: bisogna saper riconoscere le tipologie delle
varie trasformazioni possibili di un gas perfetto insieme alle formule necessarie
per il calcolo del lavoro lungo queste.
Il II principio implica test o di tipo puramente teorico in cui si richiede di
riconoscere una delle due forme con cui è enunciato, la definizione di entropia o
di semplici applicazioni al calcolo del rendimento in un ciclo di Carnot.
Vediamo il seguente esempio di test:
Fate una stima in ordine di grandezza del numero di molecole di gas
contenuto nella stanza in cui vi trovate. Si tratti l'aria come un gas
perfetto con
R = 8,31 Pa · m3 /mol · 0K, a pressione (1 atmosfera) e temperatura
ambiente (25 0C), volume stanza V = 1000m3
a) compreso tra 103 e 1010
b) compreso tra 1010 e 1030
c) maggiore di 1050
d) minore di 103
e) compreso tra 1030 e 1040
Il quesito, di apparente difficoltà, si riduce a un paio di conversioni di unità di
misura ed all'uso di una sola formula.
Infatti poiché la costante R dei gas perfetti risulta espressa in Pascal e in Kelvin,
occorre prima convertire la pressione 1 atm = 1,013 · 105 Pa e la temperatura
in temperatura assoluta secondo la formula T = (t + 273) = (25+273) 0K =298 0K
;a questo punto bisogna richiamare l'equazione di stato dei gas perfetti pV =
nRT
con n = numero di moli del gas perfetto contenuto in un volume V. Da questa
equazione si ricava il numero delle moli:
pV
n=
RT
5
3
1,013 10 10
= 4 10 4
2
= 8,31 2,98 10
poiché infine in una mole ci sta un
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numero di Avogadro NA = 6,02 · 1023 molecole alla fine si ottiene: N = n · NA =
2,46 · 1028 molecole ovvero la b).
Osservate che la strategia adottata per un calcolo più rapido è stata di calcolare
separatamente i numeri con una sola cifra prima della virgola da una parte e le
potenze di 10 dall'altra, nel calcolo inoltre non si è fatto uso delle unità di
misura ma si è usata unicamente l'unità di misura a fine di ogni calcolo.
LE ONDE all'interno dei test, si presentano nella maggior parte dei casi, sotto
forma di onde acustiche o luminose. Oltre ai quesiti di genere teorico, possono
capire domande di semplici manipolazione di una formula o di calcolo
elementare di una grandezza a partire da altre note. Bisogna perciò conoscere le
caratteristiche fondamentali di un'onda, quali ad es. l'ampiezza di oscillazione,
raggio e fronte d'onda, cresta, ventre, periodo, lunghezza , frequenza e
pulsazione di un'onda. Particolarmente importanti e ricorrenti sono infatti le
relazioni tra queste ultime quattro grandezze. A volte possono capitare quesiti
di comprensione sulla tipologia di un'onda (longitudinale o trasversale) e sulla
composizione delle onde (in relazione al fenomeno di interferenza).
Esempio:
Se la frequenza di una radiazione e.m. è di 1014 Hz, qual'è la sua velocità
di propagazione nel caso in cui la lunghezza d'onda vale 3 · 10-6 m?
a) 3 · 102 m/s
b) 3 · 108 m/s
c) 3 · 10-6 m/s
d) 3 · 10-6 Km/s
e) 3 · 106 m/s
La risposta formalmente richiederebbe l'uso della relazione che intercorre tra
velocità, frequenza e lunghezza d'onda per la quale occorrerebbe fare il calcolo
v = λ · f = 3 · 108 m/s ovvero la b; in realtà se uno si ricorda che la radiazione
elettromagnetica nel vuoto ha la stessa velocità della luce, ovvero 3000000
Km/s, convertendo i Km in m si otteneva subito la risposta corretta.
L'ELETTROMAGNETISMO spazia dall'elettrostatica all'elettrodinamica insieme
alla teoria elementare dei circuiti, ai fenomeni elettromagnetici sino ad arrivare
alle onde elettromagnetiche. L'elettrostatica può apparire sia sotto forma di
quesiti puramente teorici in cui compare la legge di Coulomb, la definizione di
campo elettrico,linea di campo, potenziale elettrico, superficie equipotenziale,
la definizione di flusso o l'enunciato del Teorema di Gauss, i conduttori e
l'induzione elettrostatica, sia sotto forma di domande in cui si deve manipolare
una formula per poter arrivare ad un risultato o saper determinare come
cambia una grandezza al variare di una o più grandezze contenute nella formula
con cui è espressa. Per quanto riguarda i calcoli compare spesso la
determinazione del lavoro fatto dalle forze di un campo uniforme.
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L'elettrodinamica è prevalentemente trattata insieme ai circuiti elementari: è
necessario conoscere bene le grandezze fisiche fondamentali suscettibili di
cambiamenti all'interno di un circuito quali la corrente, la differenza di
potenziale, resistenza e la capacità e le relazioni che intercorrono tra queste nel
caso puramente elettrico, il campo magnetico, la forza di Lorentz e l'induttanza
nel caso di campi magnetici generati da correnti.
I quesiti teorici, oltre alla definizione delle grandezze indicate, possono vertere
sul moto di una carica elettrica sia in campo uniforme che radiale, sul moto di
un carica elettrica in campo uniforme, sull'effetto Joule.
I calcoli invece compaiono sopratutto in domande incentrate sui circuiti
elementari. Ad es. si possono trovare test in cui si chiede di determinare la
resistenza (o capacità) a partire da un insieme di resistenze (o capacità) in
parallelo o in serie ecc.
Per questa tipologia sono indispensabili le conoscenze relative alle leggi di Ohm
e di Kirchoff.
In ultima analisi, se si eccettua la maggior difficoltà concettuale intrinseca negli
argomenti tipici dell'elettromagnetismo, i quesiti non presentano particolari
situazioni ingannose o calcoli complessi.
Faremo due esempi di test di natura puramente concettuale che possono però
indurre in errore uno studente per la somiglianza delle risposte:
Le linee di forza e le superfici equipotenziali in un campo elettrostatico:
a) sono sempre parallele
b) sono sempre perpendicolari
c) possono essere sia perpendicolari che parallele
d) formano angoli variabili nel tempo
e) la presenza delle une esclude la presenza delle altre
La domanda diventa ostica se non si ricordano le proprietà dei conduttori in
equilibrio elettrostatico, che generano in prossimità della loro superficie un
campo elettrostatico perpendicolare alla superficie medesima in quanto, in caso
contrario, le cariche non potrebbero stare in equilibrio perché sarebbero
soggette ad una componente del campo che ne determinerebbe il moto
essendo questo legato alla presenza di una forza. Inoltre i conduttori in
equilibrio elettrostatico sono tenuti rigorosamente a potenziale costante e
dunque le loro superfici sono equipotenziali e questo giustifica il fatto che sono
perpendicolari alle linee di campo dette anche linee di forza.
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Un campo magnetico è prodotto da:
a) una carica elettrica ferma
b) una carica elettrica in moto
c) una carica elettrica in una resistenza
d) una carica elettrica in una induttanza
e) una carica elettrica in un condensatore
Le risposte possono indurre in errore se non si riflette su come si possa generare
effettivamente un campo magnetico:
essendo nella pratica generabile mediante fili attraversati da una corrente di
cariche, la quale necessariamente non è altro che un insieme di cariche
elettriche in moto ordinato. Ciò esclude automaticamente la a), ma esclude
automaticamente anche tutte le altre eccetto la b) per la semplice ragione che
le resistenze, induttanze e i condensatori possono anche non essere attraversati
da correnti.
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