Irrazionalità di radice quadrata di due dimostrazione semplificata

Irrazionalità di radice quadrata di due dimostrazione semplificata per esigenze didattiche
di Luciano Porta
DUPLICAZIONE DEL QUADRATO:
La diagonale del quadrato di lato 1
e di area 1 è il lato di un quadrato
di area 2. La radice quadrata dell’area
del secondo è la misura della diagonale.
La dimostrazione seguente differisce da quella di Euclide perché l’argomento è stato svolto in una
classe seconda di scuola secondaria di primo grado.
Tracciare un segmento la cui lunghezza è radice quadrata di 2 è molto semplice: si disegna un
triangolo rettangolo isoscele i cui cateti siano unitari. Si ricava o con il teorema di Pitagora o col
metodo della duplicazione del quadrato che l’ipotenusa è la radice richiesta.
La dimostrazione dell’irrazionalità (cioè dell’impossibilità di scriverla come frazione) di radice
quadrata di 2 è una dimostrazione per assurdo: iniziamo con un’affermazione che ci porta a
conclusioni errate, poiché errata è l’affermazione iniziale. Dovremo quindi accettare l’affermazione
contraria.
Affermiamo inizialmente che la radice quadrata di 2 si può scrivere sotto forma di frazione (cioè
che è razionale): a / b = √ 2 da cui (a / b) 2 = (√ 2 ) 2 e quindi a 2 / b 2 = 2 cioè a 2 = 2 * b 2 .
Notiamo che (e facciamo molti esempi numerici per ogni caso):
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numero dispari al quadrato dà numero dispari
numero dispari moltiplicato per due dà numero pari con il fattore due con esponente dispari
numero pari al quadrato dà numero pari con il fattore due con esponente pari
numero pari, col fattore due con esponente pari, moltiplicato per 2 presenta il fattore due
con esponente dispari
Esaminiamo allora a 2 = 2 * b 2 in tutti i casi:
Se a è dispari a 2 è dispari e 2 * b 2 è pari in ogni caso ( con b pari o dispari ).
Se a è pari a 2 è pari col fattore 2 con esponente pari. In ogni caso con b pari o dispari
2 * b 2 contiene il fattore 2 con esponente dispari.
Pertanto a 2 = 2 * b 2 è sempre falsa.
L’affermazione iniziale, che radice quadrata di 2 può essere scritta come frazione è errata.
Dobbiamo formulare l’affermazione contraria: la radice quadrata di 2 non può essere scritta
sotto forma di frazione: dobbiamo introdurre l’insieme dei numeri irrazionali.
Questa scoperta mise in crisi la scuola pitagorica ( si pensava che i numeri o fossero interi o si
potessero scrivere come frazioni).
Notiamo invece che la radice quadrata di 2 può essere rappresentata geometricamente con l’uso di
riga non graduata e compasso, anche se lato e diagonale del quadrato sono incommensurabili (la
stessa unità di misura non è mai contenuta esattamente nel lato e nella diagonale).
Dopo √ 2 sono stati studiati molti altri numeri irrazionali. Gli irrazionali sono infiniti.
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