elettromagnetismo 1 - 09 bw
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Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano Lezione n. 09 – 23.10.2015 Equazione di Laplace Conduttori in un campo elettrostatico Anno Accademico 2015/2016 Conduttori in un campo elettrostatico • Continuiamo con le proprietà dei conduttori • Il campo elettrico sulla superficie di un conduttore è perpendicolare alla superficie • Se il campo avesse una componente tangenziale le cariche sentirebbero una forza e si muoverebbero • La superficie di un conduttore è equipotenziale • La differenza di potenziale fra due punti arbitrari A e B sulla superficie è • Ma il campo E è perpendicolare a dl e pertanto ∆φ = 0 • L'interno del conduttore è allo stesso potenziale della superficie • La differenza di potenziale fra un punto sulla superficie e un punto all'interno del conduttore è • Ma il campo E è nullo e pertanto ∆φ = 0 Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 137 Conduttori in un campo elettrostatico • Sottolineiamo ancora una volta che la carica si dispone sulla superficie del conduttore in risposta al campo elettrico generato da altre cariche • La carica sulla superficie del conduttore si dispone in modo da rendere nullo il campo elettrico all'interno del conduttore • Il campo elettrico è la somma del campo generato dalla distribuzione superficiale e il campo delle altre cariche • Questo è vero in tutto lo spazio • Anche all'esterno del conduttore • Sulla superficie del conduttore si può utilizzare la legge di Gauss per trovare la relazione fra il campo elettrico e la densità superficiale di carica • Il campo elettrico è perpendicolare alla faccia superiore • Dentro il conduttore è nullo • Il flusso sulla superficie laterale è nullo • Il flusso è • Questa relazione vale sulle superfici dei conduttori • Anticipiamo inoltre che la densità è più elevata quando il raggio di curvatura è piccolo • Il campo su una punta è molto intenso Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 138 Conduttori in un campo elettrostatico • Per un conduttore scarico • In risposta a una carica esterna compaiono cariche indotte sulla superficie esterna • Per un conduttore carico • Le cariche si distribuiscono sulla superficie esterna • Finora abbiamo considerato conduttori omogenei • Ci chiediamo cosa succede se all'interno del conduttore c'è una cavità • Consideriamo un conduttore carico • Consideriamo una superficie all'interno del conduttore che racchiuda completamente la cavità • Calcoliamo il flusso • All'interno del conduttore il campo è nullo • Pertanto la carica all'interno della superficie è nulla • La carica nel conduttore (escluso la superficie) è zero • La carica nella cavità è zero • Anche la carica sulla superficie deve essere zero Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 139 Conduttori in un campo elettrostatico • Si può anche escludere che la carica sulla superficie interna sia composta da cariche positive e negative tali che la loro somma sia nulla • In tal caso infatti le linee di campo che originano da una carica positiva dovrebbero chiudersi su una carica negativa • Inoltre la superficie interna è equipotenziale • Calcoliamo la circuitazione del campo • Lungo la linea di campo (cammino C1) • Sulla superficie interna del conduttore (cammino C2) • Pertanto l'integrale lungo il cammino chiuso C1 + C1 sarebbe diverso da zero • In conflitto con il fatto che il campo elettrostatico è conservativo Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 140 Schermo elettrostatico • Applichiamo i concetti fin qui illustrati ad un problema semplice e interessante • Consideriamo un guscio metallico sferico cavo, non necessariamente sottile • Consideriamo per iniziare il guscio scarico • Una carica +q all'interno, in posizione arbitraria • Cerchiamo di capire qualitativamente come è il campo elettrico • Sappiamo che all'interno del conduttore, non nella cavità, il campo elettrico è nullo • Utilizziamo la legge di Gauss • Una superficie sferica S all'interno del conduttore • Il campo elettrico è nullo all'interno del conduttore • E quindi sulla superficie sferica S scelta per il calcolo del flusso • Naturalmente il flusso è nullo • Sarà pertanto nulla la carica totale all'interno della superficie S • Pertanto, oltre alla carica +q sarà presente una carica −q distribuita sulla superficie interna del conduttore cavo • La carica superficiale −q si distribuisce in modo che il campo generato da essa e dalla carica +q sia nullo all'interno del conduttore • Nessuna linea di campo continua dentro il conduttore Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 141 Schermo elettrostatico • Abbiamo detto che il conduttore è scarico • Una quantità di carica +q deve essere comparsa • Non può essere all'interno: ρ = 0 (∇⋅E = 0) • Non può essere sulla superficie interna (Qtot = 0) • Deve essere sulla superficie esterna • Rimane da capire come è distribuita • Deve essere distribuita uniformemente • Un guscio sferico e uniforme di carica • Il campo all'interno del guscio sferico di carica è nullo • In particolare è nullo all'interno del conduttore • Non modifica il campo nella cavità • All'esterno il campo il campo elettrico sarà quello di una carica puntiforme +q posta nel centro del conduttore sferico cavo • Nonostante la carica +q sia in un'altra posizione Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 142 Funzioni armoniche • Per trovare una soluzione dell'equazione di Laplace è indispensabile definire le condizioni al contorno (Boundary Conditions) • Ad esempio, nelle equazioni differenziali ordinarie di secondo grado per avere una soluzione unica era necessario definire due condizioni iniziali • Ad esempio, posizione e velocità iniziali per determinare univocamente la traiettoria di una particella determinata dalla seconda legge di Newton • Nel caso delle equazioni differenziali alle derivate parziali la condizione iniziale assume una forma più complessa • Supponendo che lo spazio di interesse sia delimitato da superfici, per trovare una soluzione occorre definire il valore di φ sulle superfici stesse • Una delle superfici può essere all'infinito • Le soluzioni dell'equazione di Laplace prendono il nome di funzioni armoniche • Ne vedremo fra breve un'importante proprietà Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 143 Funzioni armoniche • In pratica i campi elettrici si generano utilizzando elettrodi metallici posti a un definito potenziale • Esempi di campi elettrici MWPC: Multiwire Proportional Chamber GEM: Gas Electron Multiplier Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 144 Funzioni armoniche • Una importante proprietà delle funzioni armoniche • Data una funzione armonica φ(x,y,z) e una sfera di superficie A centrata in x0,y0,z0 z y x Il valore medio di una funzione armonica su una sfera arbitraria è uguale al valore della funzione nel centro della sfera • Questa proprietà significa anche che una funzione armonica non può avere massimi o minimi locali • Ricordiamo la proprietà che in un campo elettrostatico non ci possono essere posizioni di equilibrio stabile Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 145 Equazione di Laplace • Torniamo al problema delle condizioni al contorno • Ci sono due modi per definire le condizioni al contorno per l'equazione di Laplace • Condizioni di Dirichelet • Si fissa il valore di φ su tutte le superfici (conduttori) che delimitano lo spazio di interesse • Se lo spazio non è chiuso si introduce una superficie all'infinito sulla quale il potenziale φ acquista valore nullo • Condizione di Neumann • Si definisce il valore della derivata normale ∂φ/∂n su tutte le superfici (conduttori) che delimitano lo spazio di interesse • Specificare la derivata normale del potenziale equivale a definire il campo elettrico sul conduttore • In ultima analisi, la densità di carica sul conduttore • Ancora una volta se lo spazio non è chiuso si introduce una superficie all'infinito sulla quale la derivata normale acquista valore nullo Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 146 Equazione di Laplace • Teorema di unicità delle soluzioni • Una volta fissate le condizioni al contorno la soluzione dell'equazione di Laplace che le soddisfa è unica • Consideriamo una regione delimitata dalla superficie Se (eventualmente all'infinito) e da un certo numero di conduttori Sk • I potenziali sulle superfici sono fissati dalle condizioni al contorno • Supponiamo che esitano due soluzioni Φ1 e Φ2 che assumono le stesse condizioni al contorno • Anche la funzione Φd = Φ1 – Φ2 soddisfa l'equazione di Laplace • L'equazione di Laplace è lineare • Inoltre sulle superfici S • Ma una funzione armonica non può avere massimi o minimi locali • Pertanto concludiamo che Φd = 0 che implica a sua volta che Φ1 = Φ2 • La soluzione è unica Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 147 Schermo elettrostatico • Il teorema di unicità ci permette di trovare un'altra proprietà dei conduttori Il potenziale all'interno di un conduttore cavo senza cariche all'interno è costante; il campo elettrico è nullo • Abbiamo infatti già osservato che la superficie di un conduttore è una superficie equipotenziale • Il problema elettrostatico all'interno della cavità è pertanto φ(S) = V0 → costante sulle superfici • Pertanto una possibile soluzione è φ(x,y,z) = V0 in tutto lo spazio della cavità • Infatti se φ(x,y,z) è costante ∇2φ = 0: soddisfa l'equazione di Laplace • Soddisfa le condizioni al contorno • Il teorema di unicità mi assicura che la soluzione trovata è anche l'unica • Lo spazio interno è schermato dai campi elettrici esterni Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 148 Schermo elettrostatico • Abbiamo visto in precedenza che una carica posta all'interno di un conduttore cavo genera un campo elettrico all'esterno che non risente della reale posizione della carica all'interno • Nel caso del guscio sferico il campo esterno è quello di una carica posta nell'origine • La posizione è fissata dalla simmetria della forma del conduttore • Possiamo realizzare uno schermo completo? • Fare in modo che all'esterno non ci sia campo elettrico • Una situazione complementare all'esempio precedente • Si, è possibile • Basta rimuovere la carica positiva esterna • Si collega il conduttore ad un altro conduttore molto più grande, posto al potenziale dell'infinito (vale a dire potenziale nullo) • Si dice che si collega a "terra" (ground) • La carica esterna positiva si sposta "ancora più lontano" • Il conduttore è adesso carico • La carica negativa scherma la carica q. Eesterno è nullo Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 149 Sistemi di coordinate • Coordinate cartesiane (per semplicità solo due dimensioni) • Il vettore posizione r è individuato da due componenti • Le componenti cartesiane x,y • Quali sono le componenti di un vettore applicato v ? y • Possiamo tracciare due famiglie di curve (linee) • Fissato x facciamo variare y in (−∞, +∞) • Analogamente per x • Ricopriamo il piano con un grigliato di "curve" • Troviamo adesso le tangenti alle curve nel punto di applicazione del vettore (xk,yl) x • I vettori tx e ty sono anche dei versori (non vero in generale) • Definiscono localmente due assi ortogonali • Ricaviamo le coordinate di v rispetto a questi assi • Pertanto, in coordinate cartesiane • Se v è un campo vettoriale costante • E inoltre avremo e analoghe in y Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 150 Sistemi di coordinate • Consideriamo adesso un sistema di coordinate polari • Ripetiamo gli stessi ragionamenti • Il vettore posizione r è individuato da due componenti • Le componenti polari r,θ • Quali sono le componenti di un vettore applicato v in (r,θ)? • Possiamo tracciare due famiglie di curve • Fissato r facciamo variare θ in (0, 2π) • Analogamente fissiamo θ e facciamo variare r in (0, +∞) • Ricopriamo il piano con un grigliato di curve • Troviamo adesso le tangenti alle curve • I versori definiscono localmente due assi ortogonali • Le componenti di v sono (v = |v|) • Le componenti dipendono dal punto di applicazione! 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