appunti di matematica – prof. bertassi manuela
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APPUNTI DI MATEMATICA – PROF. BERTASSI MANUELA – CLASSE I
Potenza di un numero
23 = 2 2 2 = 8
2 è la base e 3 l’esponente
N.B. a0 = 1 Es. 50 = 1
a1= a Es. 51 = 5
Ordine delle operazioni in un’espressione aritmetica
1. Se l’espressione non contiene parentesi
le operazioni si eseguono come segue:
- Potenze
- Moltiplicazioni e Divisioni
- Addizioni e sottrazioni
2. Se l’espressione contiene delle parentesi
Si calcola seguendo la tipologia 1. le espressioni contenute all’interno delle parentesi cominciando
dalle parentesi più interne. Eliminate le parentesi si svolgono i calcoli secondo la tipologia 1.
Esempio:
2 4 { 3 2 - [ 5 4 + ( 2 3 - 4 : 1) - 20] + 12} =
2 4 { 3 2 - [ 5 4 + (6 - 4) - 20] + 12} =
2 4 { 3 2 - [ 5 4 + 2 - 20] + 12} =
2 4 { 3 2 - 20 2 20 + 12} =
2 4 {6 2 12}
2 + 4 16 =
2 + 64 = 66
Numeri primi
Un numero naturale (ad eccezione dello 0 e dell’1) che è divisibile solo per 1 e per se stesso si
chiama numero primo.
I numeri non primi possono sempre essere scritti come prodotto di numeri primi.
I numeri primi: 2, 3, 5, 7, 11,13, 17, 19, 23, 29,…..
Criteri di divisibilità
2 Se l’ultima cifra è pari o zero
3 Se la somma delle sue cifre è un multiplo di 3
4 Se le due ultime cifre sono entrambe 0 o se sono un multiplo di 4
5 Se l’ultima cifra è 5 o 0
se la differenza tra il numero ottenuto escludendo la cifra delle unità e il doppio della cifra delle
7
unità è 0, 7 o un multiplo di 7.
Se la differenza tra la somma delle cifre dispari e la somma delle cifre pari è un multiplo di 11
11
o è zero.
Scomposizione in fattori primi
La scomposizione di un numero in fattori primi si svolge come segue:
Si guarda se il numero è divisibile per 2 e in caso affermativo, si calcola il quoziente;
Si continua a dividere per 2 finchè non si trova il quoziente che non è più divisibile per 2;
Si continua a vedere se il quoziente è divisibile per gli latri numeri primi (3;5;7…) finchè non si
ottiene un quoziente che è un numero primo.
Esempio:
728 | 2
364 | 2
182 | 2
91 | 7
13 | 13
1|
728 = 23 7 13
Massimo comun divisore M.C.D.
Il M.C.D. di due o più numeri è il più grande di tutti i divisori comuni dei numeri considerati.
Dopo aver scomposto i numeri in fattori primi, il M.C.D. è dato dal prodotto dei fattori comuni
presi una sola volta con l’esponente più basso.
Esempio : M.C.D. (240, 180, 75) = 3 5 = 15
240 | 2
120 | 2
60 | 2
30 | 2
15 | 3
5|5
1|
180 | 2
90 | 2
45 | 3
15 | 3
5|5
1|
75 | 3
25 | 5
5|5
1|
240 = 2 4 3 5 180 = 2 2 32 5 75 = 3 5 2
Minimo comune multiplo m.c.m.
Il m.c.m. di due o più numeri è il più piccolo multiplo comune dei numeri considerati, il m.c.m si
calcola eseguendo il prodotto di tutti i fattori comuni e non comuni, presi una sola volta, con
l’esponente più alto).
Esempio : m.c.m (240, 180, 75) = 2 4 3 5 = 3 600
240 | 2
120 | 2
60 | 2
30 | 2
15 | 3
5|5
1|
180 | 2
90 | 2
45 | 3
15 | 3
5|5
1|
75 | 3
25 | 5
5|5
1|
240 = 2 4 3 5 180 = 2 2 32 5 75 = 3 5 2
REGOLE DELLE POTENZE
REGOLA 1: Il prodotto di due o più potenze aventi la stessa base, è uguale ad una potenza che ha
per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti
ESEMPIO :
10 2 103 10 6 10 236 1011
53 5 2 51 5321 56
REGOLA 2: Il quoziente di due potenze aventi la stessa base è uguale ad una potenza che ha per
base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti)
ESEMPIO:
74
7
2
7 4 2 7 2
REGOLA 3: Il prodotto di due o più potenze aventi lo stesso esponente è uguale ad una potenza
che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente)
ESEMPIO :
10 2 52 (10 5) 2 50 2
REGOLA 4: Il quoziente di due potenze aventi lo stesso esponente è una potenza che ha per base il
quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente)
ESEMPIO:
253
5
3
25 : 53 53
REGOLA 5: La potenza di potenza di un numero è la potenza che ha per base la stessa base e per
esponente il prodotto degli esponenti
ESEMPIO :
3
2 3
323 36
TABELLA RIASSUNTIVA REGOLE
a m . an . a p = a m + n + p
a m / an = a m - n
se
m>n
a1 = a
a0 = 1
am . bm . cm = (a . b . c)m
am / bm = (a / b) m
(am)n = am . n
Numeri razionali
m
n
m = numeratore
n = denominatore
Frazione:
m, n N, n 0
Proprietà invariantiva delle frazioni : moltiplicando o dividendo il numeratore e il denominatore
di una frazione per uno stesso numero (diverso da zero) si ottiene una frazione equivalente.
Esempi:
Confronto di frazioni
1. Frazioni con lo stesso denominatore
La più grande è quella con il numeratore maggiore
Esempio :
2. Frazioni con lo stesso numeratore
La più grande è quella con il denominatore minore.
Esempio :
3. Frazioni con numeratori e denominatori diversi
Ricorda che una frazione impropria è sempre maggiore di una frazione propria.
In generale:
E’ necessario cercare il m.c.m. dei denominatori riducendo le frazioni proposte a frazioni
equivalenti aventi lo stesso denominatore (il loro m.c.m) e applicando la proprietà invariantiva.
Poi si procede come al punto 1.
Esempio :
m.cm. (11, 9) = 99
OPERAZIONI CON LE FRAZIONI
1. Addizione e sottrazione
a) I termini dell’addizione (o della sottrazione) hanno lo stesso denominatore : si sommano (o
si sottraggono) i numeratori..
Esempi:
b) i denominatori dei termini dell’addizione (o della sottrazione) sono diversi. E’ necessario
cercare il m.c.m. dei denominatori riducendo le frazioni proposte (mediante la proprietà
invariantiva) in frazioni equivalenti aventi lo stesso denominatore uguale al m.c.m. Si
procede quindi come al punto 1.
Esempio :
m.c.m. (4, 18) = 36
2. Multiplicazione
La moltiplicazione di frazioni si svolge moltiplicando rispettivamente il numeratore e il
denominatore della prima frazione per il numeratore e il denominatore della seconda frazione).
Esempio :
NB :
3. Divisione
La divisione di frazioni si svolge moltiplicando la prima frazione, il dividendo, per il reciproco del
divisore).
Due numeri si chiamano reciproci o inversi se il loro prodotto è uguale a 1
L'inverso de
Si ottiene l’inverso, o il reciproco, di un numero razionale diverso da 0 scambiando tra loro il
numeratore e il denominatore
Esempio :
NB :
