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• fondamenti
• esercizi guidati
• verifiche di autovalutazione
RS5
Carmelo Di Stefano
ARGOMENTI
FONDAMENTALI di
GONIOMETRIA
e TRIGONOMETRIA
• Risoluzione dei triangoli
• Identità goniometriche fondamentali
• Equazioni e disequazioni goniometriche
SIMONE
EDIZIONI
Estratto della pubblicazione
®
Se
sistemi editoriali
®
Gruppo Editoriale Esselibri - Simone
TUTTI I DIRITTI RISERVATI
Vietata la riproduzione anche parziale
Tutti i diritti di sfruttamento economico dell’opera appartengono alla Esselibri S.p.A.
(art. 64, D.Lgs. 10-2-2005, n. 30)
Della stessa Collana consigliamo:
Restart 1 • Argomenti fondamentali di Algebra (volume 1)
Restart 2 • Argomenti fondamentali di Algebra (volume 2)
Restart 3 • Argomenti fondamentali di Logica e Geometria
Restart 4 • Argomenti fondamentali di Geometria analitica
Progetto grafico a cura di Gianfranco De Angelis
Impaginazione e realizzazione grafici Lucia Molino
Coordinamento redazionale e revisione del testo dott. Carla Iodice
Finito di stampare nel mese di novembre 2009
dalla «Officina Grafica Iride» - Via Prov.le Arzano-Casandrino, VII Trav., 24 - Arzano (NA)
per conto della Esselibri S.p.A. - Via F. Russo, 33/d - 80123 - Napoli
Grafica di copertina a cura di Roberto Lancia
Premessa
La matematica è una delle discipline più impopolari agli occhi degli studenti che, spesso, ne rifiutano il linguaggio in quanto ritenuto troppo
formalizzato e astratto. In realtà, il linguaggio matematico è un espediente per scrivere in maniera sintetica concetti che si possono esprimere
anche a parole. Nell’intento di consentire allo studente di essere in grado
di utilizzare consapevolmente le tecniche e le procedure di calcolo, il
volume presenta gli argomenti fondamentali di goniometria e di trigonometria concernenti la risoluzione dei triangoli, le identità goniometriche
fondamentali e le equazioni e le disequazioni goniometriche.
Ciascun capitolo è introdotto da test di accertamento dei prerequisiti, cui
segue una parte teorica, esplicativa dell’argomento sviluppato, corredata
da numerosi esempi e grafici. Ciascun paragrafo è completato da esercizi
guidati, in cui le fasi relative allo svolgimento sono illustrate e commentate tenendo conto delle esigenze dello studente che affronta una materia
il cui contenuto, ricco di formule e grafici, richiede un assiduo impegno.
Sulla falsariga degli esercizi svolti sono proposti numerosi esercizi da
svolgere. A completamento dei capitoli, per un ulteriore ripasso degli
argomenti, sono presentate verifiche di autovalutazione.
Il volume è destinato agli studenti universitari che si apprestano ad affrontare l’esame di Matematica generale o Analisi matematica. Tuttavia,
per come è strutturato, può essere utile anche per gli studenti delle scuole superiori non solo per verificare il grado di preparazione raggiunto ma
anche per ripassare agevolmente gli argomenti trattati.
Estratto della pubblicazione
SIMBOLOGIA
≠
diverso da
∀
per ogni
sen (α )
seno dell’angolo α
sen−1 (α )
minimo angolo che ha il seno uguale ad α
cos (α )
coseno dell’angolo α
cos −1 (α )
minimo angolo che ha il coseno uguale ad α
tan (α )
tangente dell’angolo α
−1
tan
(α )
cot (α )
cot
−1
(α )
minimo angolo che ha la tangente uguale ad α
cotangente dell’angolo α
minimo angolo che ha la cotangente uguale ad α
csc (α )
cosecante dell’angolo α
csc−1 (α )
minimo angolo che ha la cosecante uguale ad α
sec (α )
secante dell’angolo α
sec−1 (α )
minimo angolo che ha la secante uguale ad α
Capitolo 1
Risoluzione
dei triangoli
Prerequisiti
Obiettivi
• Angoli e loro misurazione
• Comprendere il concetto di risoluzione di un
triangolo
• Geometria del triangolo
• Sapere risolvere triangoli
• Concetto di funzione
• Sistema di riferimento cartesiano ortogonale
• Sapere applicare le funzioni goniometriche
a problemi reali
• Equazione della retta e coefficiente angolare
Estratto della pubblicazione
1
Risoluzione
dei triangoli
Test di accertamento dei prerequisiti
Di seguito sono proposte alcune domande di varie tipologie, per stabilire la capacità personale di affrontare gli
argomenti svolti in questo capitolo. Ogni tipologia ha un punteggio associato, per un totale massimo di 80
punti, se si ottiene un punteggio inferiore a 48 vuol dire che non si è raggiunta la sufficienza.
Le risposte esatte sono riportate a fine capitolo.
Quesiti a scelta multipla con più risposte esatte
(1 punto per ogni risposta esatta, 1 punto di penalità per ogni risposta errata, 5 punti se si forniscono solo tutte
le risposte esatte)
Per ogni quesito tracciare un segno nell’apposito quadratino sulle scelte corrette.
1 Quali fra le seguenti affermazioni sono corrette?
A
Gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono fra loro complementari
B Un triangolo rettangolo non può essere anche isoscele
C Un angolo di 32,5° è un angolo di 32° 50'
D La diagonale di un quadrato è lunga
2 volte il lato
E Nel sistema sessagesimale per passare da una misura a una sua multipla si deve dividere per 360
2 Conoscendo quali fra i seguenti dati possiamo costruire un solo triangolo?
A
Tre angoli
B Due angoli e un lato
C Due lati e un angolo
E Due lati e un’altezza
D Tre lati
3 Quali fra le seguenti coppie di oggetti geometrici sono certamente fra loro simili?
A
Due rettangoli
B Due triangoli isosceli
C Due esagoni regolari
E Due trapezi isosceli
D Due cerchi
Quesiti a scelta multipla con una sola risposta esatta
(5 punti per ogni risposta corretta)
Per ogni quesito tracciare un segno nell’apposito quadratino sull’unica scelta corretta.
4 L’equazione della circonferenza con centro nell’origine e raggio unitario è:
A
6
x 2 + y 2 =0
Capitolo 1
Estratto della pubblicazione
Test di accertamento dei prerequisiti
B
C
D
E
( x −1) + y =0
x + ( y −1) =0
( x −1) + ( y −1) =1
2
2
2
2
2
2
x 2 + y 2 =1
5 L’equazione y = x rappresenta:
A
Una retta parallela all’asse delle ascisse
B Una retta per l’origine che determina un angolo ottuso con il semiasse positivo delle x
C Una retta che forma angoli isometrici con gli assi coordinati
D Una circonferenza con centro nell’origine
E
Una circonferenza passante per l’origine
π
volte la misura
8
del raggio della circonferenza, quanto vale la sua misura in gradi sessagesimali?
6 In una circonferenza un angolo al centro determina un arco lungo
A
22°30'
B 8°
C 40°
D
E Nessuno è corretto
≈0,39°
Quesiti a risposta numerica
(10 punti per ogni risposta esatta)
Rispondere con un numero alle seguenti domande.
7 Il rapporto fra due cateti di un triangolo rettangolo di ipotenusa 1 è 3 , quanto sono
lunghi i cateti? ............................................................................................................
8 Quanto vale il rapporto fra l’ipotenusa e un cateto di un triangolo rettangolo isoscele? .....
9 Quanto vale l’ordinata di un punto della circonferenza di centro l’origine e raggio 1,
1
la cui ascissa è ? ...................................................................................................
4
10 Il coefficiente angolare della retta passante per i punti (1; 2) (3; –1) è: ....................
11 Dato un triangolo di perimetro 3, tracciamo una parallela a uno dei lati passante per
il baricentro del triangolo. In tal modo otteniamo un triangolo più piccolo di quello
dato. Quanto misura il suo perimetro?
dei triangoli
Estratto dellaRisoluzione
pubblicazione
7
1
Capitolo
Risoluzione dei triangoli
1.1. Funzioni goniometriche elementari e risoluzione di triangoli rettangoli
Cominciamo subito a definire il problema di cui ci occuperemo in questo capitolo.
Dato un triangolo diciamo sua risoluzione la determinazione delle misure di tutti i suoi lati e di
tutti i suoi angoli.
La disciplina matematica che si occupa della risoluzione dei triangoli è chiamata
trigonometria, che letteralmente significa «misura dei triangoli».
Cominciamo a risolvere i triangoli rettangoli.
Stabiliamo alcune convenzioni di scrittura, che ci aiuteranno a semplificare il
linguaggio.
In un triangolo ABC, indichiamo con a la misura del lato BC, con b la misura del lato AC e con c
la misura del lato AB; inoltre, indichiamo con α la misura dell’angolo di vertice A, con β la
misura dell’angolo di vertice B e con γ la misura dell’angolo di vertice C.
A
α
b
c
β
γ
B
C
a
Ricordiamo che due triangoli simili hanno gli angoli a due a due isometrici e i lati
corrispondenti nella stessa proporzione. Quindi, considerando in generale un
triangolo ABC, deve esservi una relazione stretta fra le proporzioni dei lati e gli
angoli. Per comprendere tale relazione consideriamo la seguente figura:
A
F
G
E
D
B
8
C
Capitolo 1
Estratto della pubblicazione
In essa vi sono tre triangoli: ABC, ADE e AFG, che sono evidentemente simili
poiché i lati BC, DE e FG sono fra loro paralleli e pertanto gli angoli indicati con
lo stesso segno sono isometrici perché corrispondenti rispetto a queste parallele
tagliate rispettivamente dalla trasversali AB e AC.
Si verifica allora la validità delle seguenti uguaglianze:
AB AD AF AC AE AG AB AD AF
=
=
;
=
=
;
=
=
BC DE FG BC DE FG AC AE AG
Valgono naturalmente anche le uguaglianze ottenute da queste scambiando fra
loro numeratore e denominatore. Ciascuna di queste proporzioni determina perciò un numero positivo, che deve essere legato agli angoli del triangolo.
In particolare, ciò vale per i triangoli rettangoli.
Quindi ciascuna di queste proporzioni è una funzione degli angoli acuti.
1.1.1. Funzioni goniometriche elementari
Conveniamo di definire delle funzioni matematiche associate appunto ai lati di
un triangolo rettangolo con i suoi angoli.
C
γ
a
D
E
b
F
G
α
A
β
c
B
Dato un triangolo rettangolo ABC di ipotenusa Il seno di un angolo x si indica con sen(x).
BC, chiamiamo seno di un suo angolo acuto il Siano a l’potenusa e b e c i cateti, si ha:
rapporto fra la misura del cateto opposto alb
c
sen( β ) = , sen(γ ) =
l’angolo e la misura dell’ipotenusa.
a
a
Sottolineiamo che il seno è una funzione, non una costante, dato che il suo valore dipende dall’ampiezza dell’angolo x a cui è riferito.
È un gravissimo errore la seguente semplificazione:
sen( x/ )
= sen.
x/
dei triangoli
Estratto dellaRisoluzione
pubblicazione
9
Infatti la scritta sen, priva di un argomento, ossia della misura di un angolo, non
ha alcun significato; è una funzione con il proprio argomento.
Dato un triangolo rettangolo ABC di ipotenusa Il coseno di un angolo x si indica con cos(x).
BC, chiamiamo coseno di un suo angolo acuto Siano a l’ipotenusa e b e c i cateti, si ha:
il rapporto fra la misura del cateto adiacente
c
b
all’angolo e la misura dell’ipotenusa.
cos ( β ) = , cos (γ ) =
a
a
Anche il coseno è una funzione.
Notiamo immediatamente che
sen ( β ) = cos (γ ) ;sen (γ ) = cos ( β )
In effetti, il motivo per cui usiamo la parola coseno (formata dal prefisso co e dal
vocabolo seno) sta proprio nel fatto che se β e γ sono due angoli complementari (e gli angoli acuti di un triangolo rettangolo lo sono certamente), allora il seno
di ciascuno dei due angoli è sempre uguale al coseno dell’altro. Il prefisso co sta,
appunto, per complementare del seno.
Inoltre sia il seno che il coseno di un angolo acuto sono numeri positivi e minori
di 1, essendo rapporto fra cateto e ipotenusa di uno stesso triangolo rettangolo.
ESEMPIO
Consideriamo un triangolo rettangolo i cui angoli acuti misurano 30° e 60°.
È facile vedere che tale triangolo può considerarsi come metà di un triangolo
equilatero: infatti se tracciamo un’altezza di un triangolo equilatero, questa divide il triangolo dato in due triangoli rettangoli isometrici, i cui angoli acuti
misurano appunto 30° e 60°.
C
30°
60°
D
10
A
Capitolo 1
Estratto della pubblicazione
B
Questo ci consente di affermare che il cateto adiacente all’angolo di 60°, nella
figura precedente denotato con AB, misura quanto metà dell’ipotenusa, mentre
3
⋅BC , come sappiamo dalle relazioni
2
tra altezze e lati di un triangolo equilatero.
l’altro cateto, denotato con AC, misura
Quindi per le definizioni precedenti possiamo scrivere:
3
⋅BC
AC 2
3
sen(60°)= =
= =cos(30°)
2
BC
BC
ma anche:
1
⋅BC
1
sen(30°)= = 2
= = cos(60°)
2
BC BC
AB
Un’altra interessante proprietà è l’interpretazione trigonometrica del teorema di
Pitagora.
T
EOREMA 1 • Si ha:
s en2 (x) + cos 2 ( x ) = 1,0° < x < 90°
DIMOSTRAZIONE
Il teorema di Pitagora, applicato a un triangolo rettangolo ABC di ipotenusa BC,
2
2
2
2
è espresso dall’identità: AB + AC = BC . Dividiamo tutto per BC ottenendo:
AB
BC
2
2
+
AC
BC
2
2
=
⎛ AB ⎞ ⎛ AC ⎞
⇒⎜
⎟ +⎜
⎟ =1
⎝ BC ⎠ ⎝ BC ⎠
BC
BC
2
2
2
2
Adesso basta sostituire a ciascuno dei due rapporti le loro espressioni mediante le
funzioni goniometriche, per ottenere la tesi.
Passiamo ad altre definizioni.
Dato un triangolo rettangolo ABC di ipotenusa La tangente di un angolo x si indica con
BC, chiamiamo tangente di un suo angolo acu- tan(x).
to il rapporto fra la misura del cateto opposto
b
c
Si ha: tan( β ) = , tan(γ ) = .
all’angolo e la misura dell’altro cateto.
c
b
Risoluzione dei triangoli
11
Visto quel che abbiamo detto a proposito delle relazioni fra seno e coseno, risulta naturale considerare una funzione complementare della funzione tangente.
Dato un triangolo rettangolo ABC di ipotenusa La cotangente di un angolo x si indica con
BC, chiamiamo cotangente di un suo angolo cot(x).
c
b
acuto il rapporto fra la misura del cateto adia- Si ha: cot ( β ) = , cot (γ ) = .
b
c
cente all’angolo e la misura dell’altro cateto.
Dalle precedenti definizioni si deduce facilmente il seguente teorema.
T
EOREMA 2 • Si ha:
tan(x) =
1
, 0° < x < 90°
cot(x)'
Per completare consideriamo gli inversi del seno e del coseno.
Dato un triangolo rettangolo ABC di ipotenusa La cosecante di un angolo x si indica con
BC, chiamiamo cosecante di un suo angolo csc(x).
acuto il rapporto fra la misura dell’ipotenusa e Si ha:
la misura del cateto opposto all’angolo.
a
a
csc ( β ) = , csc (γ ) =
c
b
Dato un triangolo rettangolo ABC di ipotenusa La secante di un angolo x si indica con sec(x).
BC, chiamiamo secante di un suo angolo acuto Si ha:
il rapporto fra la misura dell’ipotenusa e la mia
a
sura del cateto adiacente all’angolo.
sec ( β ) = , sec (γ ) =
b
c
Proprio per come abbiamo definito le precedenti funzioni, si ha la validità del
seguente risultato.
T
EOREMA 3 • Si ha:
csc ( x ) =
12
1
1
,sec ( x ) =
, 0° < x < 90°
sen(x)
cos ( x )
Capitolo 1
Ovviamente secante e cosecante di un angolo acuto sono sempre numeri positivi
maggiori di 1.
Vale anche un altro importante teorema.
T
EOREMA 4 • La tangente di un angolo acuto x verifica la seguente identità:
tan(x) =
sen(x)
cos(x)
DIMOSTRAZIONE
Per definizione abbiamo detto che:
tan(β) =
b
c
Ma possiamo anche scrivere:
b b a
1
sen(β)
tan(β)= = ⋅ =sen(β)⋅
=
c a c
cos(β) cos(β)
Lasciamo per esercizio la dimostrazione del seguente teorema.
T
EOREMA 5 • La cotangente di un angolo acuto x verifica la seguente identità:
cot ( x ) =
cos(x)
sen ( x )
Per calcolare le funzioni goniometriche possiamo usare una calcolatrice scientifica. Il loro uso è diverso a seconda dei vari modelli e marche. Per il calcolo del
seno e del coseno di un dato angolo il metodo usato dalle calcolatrici più recenti è quello di digitare nello stesso ordine di scrittura. Per esempio se vogliamo
calcolare sen(57°), digitiamo intanto il tasto con la scritta sin quindi il valore 57.
Si noti che in questo testo abbiamo adottato la convenzione di indicare con sen
la funzione seno, le calcolatrici la indicano con sin. Si deve però fare attenzione
che l’unità di misura sia quella corretta, dato che le calcolatrici di solito calcolano
in 3 diverse unità di misura: gradi, radianti e gradienti. Anche in questo caso dipende dalla calcolatrice usata, come variare l’unità di misura, così come mostrare l’unità di misura attiva. In genere i gradi sessagesimali sono scritti sul display
dei triangoli
Estratto dellaRisoluzione
pubblicazione
13
della calcolatrice con una piccola D o con la scritta DEG o con una equivalente.
Vedremo, di seguito, l’unità di misura denominata radiante.
Inoltre sulle calcolatrici, come sulle tavole, sono presenti solo i tasti relativi alle
funzioni sin, cos e tan. Non sono presenti i tasti per secante, cosecante e cotangente, ciò perché questi si possono ottenere mediante coseno, seno e tangente
rispettivamente.
Negli esempi seguenti, otterremo dei numeri decimali in cui le cifre dei decimali
sono separate dalla parte intera del numero da punti, così come si ottiene usando
le calcolatrici.
ESEMPI
1. Per calcolare il valore del seno di 27°, dobbiamo intanto controllare se sul
display appare la scritta DEG, ossia se il calcolo dei gradi viene effettuato nel
sistema sessagesimale e poi si procede come stabilito dalla calcolatrice in uso,
si ottiene un valore abbastanza vicino a 0.45399050, a seconda del grado di
approssimazione della calcolatrice usata. Se invece il calcolo fosse stato effettuato in RAD avremmo ottenuto 0.95637592. Infine in GRAD il risultato sarebbe
stato 0.41151435. Osserviamo altresì che le calcolatrici indicano la parte decimale con il punto e non con la virgola.
2. Si voglia calcolare il coseno di 32°23'45". Ci si deve informare, leggendo sul
manuale della calcolatrice utilizzata, come si fa a introdurre il precedente valore. In ogni caso un metodo universale è quello di portare tutti i valori in gradi,
ossia di inserire il numero come
32+
23 45
+
60 3600
dato che 60 primi e 3600 secondi formano un grado. In tal modo sul display
apparirà 32.39583333. Quindi si calcola il coseno, ottenendo un valore simile a
0.844366890.
3. Si voglia calcolare la cotangente di 47°12'36". Introdotto il valore dell’angolo,
nei modi suggeriti dal manuale della calcolatrice o come visto in precedenza, si
calcola la sua tangente, ottenendo circa 1.080279909. A questo punto si digita
il tasto corrispondente al simbolo 1/x e si ottiene circa 0.925686011 che è perciò
il valore approssimato cercato.
Un altro importante problema da risolvere è quello cosiddetto inverso, cioè determinare il valore dell’angolo di cui conosciamo una sua funzione goniometrica.
14
Capitolo 1
ESEMPIO
Vogliamo sapere quale angolo x ha seno uguale a 0,12. Nella nostra calcolatrice
osserviamo che in piccolo sopra i tasti sin, cos e tan, scritti in un dato colore, vi
sono sin−1 ,cos−1 ,tan−1 . Il colore in cui sono scritti è lo stesso di un tasto particolare, il cui nome è 2nd oppure INV o anche Shift o un altro nome. Ciò significa
che se vogliamo usare tali tasti dobbiamo prima premere questo tasto. In questo
caso quindi digitiamo detto tasto, poi sin e infine 0.12, ottenendo circa
6.89210257 (ovviamente se siamo in DEG). Il risultato è espresso solo in gradi,
se volessimo scriverlo in gradi, primi e secondi, anche in questo caso c’è un
opportuno tasto (di solito indicato con DMS), che ci permette di dire che l’angolo è circa 6°53'32".
La calcolatrice fornisce sempre il minimo angolo in valore assoluto che ha quella data funzione goniometrica.
Per indicare il minimo angolo x in valore assoluto per cui una sua funzione goniometrica è uguale al numero reale x, scriveremo, con ovvio significato dei simboli:
cos−1 ( x ) ; cot -1 ( x ) ; csc−1 ( x ) ; sec−1 ( x ) ; sen−1 ( x ) ; tan−1 ( x )
1.1.2. Risoluzione dei triangoli rettangoli
Grazie alle definizioni delle funzioni goniometriche, possiamo risolvere i triangoli
rettangoli di cui sono note le misure di due lati, o di un lato e di un angolo acuto.
ESEMPIO
Si voglia risolvere il triangolo rettangolo i cui cateti misurano 3 e 4 unità.
Grazie al teorema di Pitagora determiniamo la misura, uguale a 5 unità, dell’ipotenusa. Per quel che riguarda le misure degli angoli, abbiamo:
3
sen( β ) = =0,6⇒β ≈36°52'12"
5
il valore dell’angolo è ottenuto mediante la calcolatrice.
Data la complementarità degli angoli acuti di un triangolo rettangolo, abbiamo:
γ ≈ 53°07'48"
Si può determinare anche una formula per il calcolo dell’area di un triangolo
qualsiasi, note le misure di due lati e dell’angolo compreso fra i detti lati. Vale
infatti il seguente teorema.
Risoluzione dei triangoli
15
T
EOREMA 6 • La misura dell’area di un triangolo qualsiasi si ottiene mediante il
semiprodotto delle misure di due lati per il seno dell’angolo da essi compreso.
DIMOSTRAZIONE
Ci riferiamo alla seguente figura:
A
B
H
C
in cui abbiamo tracciato l’altezza AH relativa a uno dei lati, ora determiniamo
l’area del triangolo:
1
SABC = ⋅BC ⋅ AH
2
Adesso troviamo la misura di AH applicando le relazioni fra i lati e gli angoli di
un triangolo rettangolo:
AH = AB⋅sen ( β )
1
Sostituiamo questo risultato nella prima formula: SABC = ⋅BC ⋅ AB⋅sen ( β ).
2
ESEMPIO
Vogliamo trovare l’area di un triangolo in cui due lati sono lunghi 4 e 7 e l’angolo da essi compreso è 67°.
Applicando la formula stabilita dal teorema precedente avremo:
1
S = ⋅4⋅7⋅sen(67°) ≈12,89
2
Come corollario del precedente teorema, segue una formula per il calcolo dell’area di un parallelogramma mediante i suoi lati.
C
OROLLARIO • L’area di un parallelogramma è data dal prodotto delle misure
di due lati consecutivi per il seno dell’angolo da essi formato.
16
Capitolo 1
Estratto della pubblicazione
DIMOSTRAZIONE
La dimostrazione del corollario segue immediatamente dal Teorema 6 perché una
diagonale del parallelogramma lo divide in due triangoli isometrici.
A
D
B
C
Mostriamo ora un risultato generale per i quadrilateri convessi.
T
EOREMA 7 • La misura dell’area di un quadrilatero convesso qualsiasi si ottiene mediante il semiprodotto delle misure delle sue diagonali per il seno dell’angolo da esse compreso.
DIMOSTRAZIONE
Per la dimostrazione ci riferiamo alla seguente figura:
D
C
A
E
B
Le diagonali dividono il quadrilatero in 4 triangoli, la somma delle cui aree equivale ovviamente a quella del quadrilatero. Del resto, le aree dei triangoli si possono calcolare mediante la formula stabilita nel Teorema 6.
dei triangoli
Estratto dellaRisoluzione
pubblicazione
17
Si ha perciò:
1
1
1
SABCD = ⋅ AE ⋅EB⋅sen AÊB + ⋅EC ⋅EB⋅sen BÊC + ⋅EC ⋅ED ⋅sen CÊD +
2
2
2
1
+ ⋅ AE ⋅DE ⋅sen DÊA
2
(
(
)
)
(
)
(
)
D’altro canto, i seni che compaiono nella precedente espressione sono tutti uguali perché si riferiscono o ad angoli fra loro isometrici (quelli opposti al vertice) o ad
angoli fra loro supplementari. Pertanto, possiamo scrivere più semplicemente:
(
(
(
)(
)
)(
)
1
⋅sen AÊB ⋅ AE ⋅EB + EC ⋅EB + EC ⋅ED + AE ⋅ED =
2
1
= ⋅sen AÊB ⋅ ⎡⎣ AE ⋅ EB + ED + EC ⋅ EB + ED ⎤⎦ =
2
1
1
= ⋅sen AÊB ⋅ AE + EC ⋅ EB + ED = ⋅sen AÊB ⋅ AC ⋅BD
2
2
SABCD =
(
)
)(
(
)
)
(
)
che è proprio quello che volevamo dimostrare.
La formula stabilita per i quadrilateri convessi vale ovviamente anche per un
rombo, nel quale le diagonali sono perpendicolari. Ne discende quindi facilmente la formula ben nota:
1
1
d1 ⋅d 2 ⋅sen (90°) = d1 ⋅d 2
2
2
dove d1 e d 2 sono le diagonali del rombo.
La precedente formula vale ovviamente per tutti quei quadrilateri le cui diagonali sono perpendicolari, anche per i cosiddetti aquiloni, di cui mostriamo un esempio in figura.
Se la usiamo anche per i trapezi, per esempio per quelli isosceli le cui diagonali
1
sono isometriche, la formula diviene più semplicemente d 2 ⋅sen ( x ) , con x uno
2
degli angoli formati dalle diagonali.
18
Capitolo 1
Estratto della pubblicazione
Più in generale si può provare un risultato sui poligoni regolari.
T
EOREMA 8 • La misura dell’area di un poligono regolare di n lati il cui lato è
lungo l , in funzione del raggio R della circonferenza a esso circoscritta è:
⎛ 360° ⎞
1
n⋅ ⋅R 2 ⋅sen ⎜
⎟
⎝ n ⎠
2
DIMOSTRAZIONE
Ci riferiamo alla seguente figura, in cui per semplicità abbiamo considerato un
ottagono regolare:
B
A
O
Il poligono è, ovviamente, inscrivibile in una circonferenza. I segmenti che uniscono i vertici con il centro della circonferenza dividono l’ottagono in 8 triangoli
isosceli isometrici, il cui lato è lungo quanto il raggio della circonferenza. L’ango360°
. Quindi, l’area dell’ot8
⎛ 360° ⎞
1 2
tagono è 8⋅ ⋅R ⋅sen ⎜
⎟ . In generale quindi per un poligono di n lati sarà:
⎝ 8 ⎠
2
⎛ 360° ⎞
1
n⋅ ⋅R 2 ⋅sen ⎜
⎟
⎝ n ⎠
2
lo al vertice di questi triangoli è lungo ovviamente
L’area di un quadrato in funzione del raggio della circonferenza a esso circoscritta, che ovviamente misura quanto metà della sua diagonale, per il Teorema 8
vale:
1
⎛ 360° ⎞
4⋅ ⋅R 2 ⋅sen ⎜
= 2⋅R 2 ⋅sen ( 90° ) = 2R 2
⎝ 4 ⎟⎠
2
dei triangoli
Estratto dellaRisoluzione
pubblicazione
19
E, in effetti, dato che il raggio è pari a metà diagonale, cioè, in funzione del lato
2
2
l
⎛
⎞
l del quadrato a ⋅ 2 , la formula precedente diventa: 2⋅ ⎜ l ⋅ 2 ⎟ = 2⋅ l ⋅ 2= l 2,
2
⎝2
⎠
4
cioè la ben nota formula per il calcolo dell’area del quadrato.
1
Risoluzione dei triangoli
Esercizi svolti |
123
1 • Sappiamo che per un dato angolo acuto x, si ha: sen(x) = 0,34; vogliamo sapere quanto vale
cos(x).
Per il Teorema 1 possiamo scrivere:
0,34 2 +cos2 ( x ) =1⇒cos2 ( x ) =1−0,34 2 ⇒cos2 ( x ) =1−0,1156⇒
⇒cos2 ( x ) =0,8844⇒cos ( x ) = 0,8844 ⇒cos(x )≈0,94
Osserviamo che abbiamo una sola soluzione, dato che la soluzione negativa non può essere accettata, essendo il coseno di un angolo acuto un numero positivo. Inoltre il valore ottenuto è approssimato, dato che il radicando non è un quadrato perfetto.
2 • Si voglia risolvere il triangolo rettangolo in cui un cateto misura 7 unità e l’ipotenusa 9 unità.
Con il Teorema di Pitagora troviamo la misura dell’altro cateto:
92 −72 = 81−49 = 32 =4⋅ 2
Passiamo agli angoli:
tan( β ) =
7
4⋅ 2
⇒β ≈51°3'27",γ =90°−β ≈38°56'33"
3 • Risolvere il triangolo rettangolo in cui un cateto misura 6 unità e l’angolo acuto opposto 31°.
Chiaramente l’altro angolo acuto è 59°.
Il rapporto tra il cateto dato e l’ipotenusa è sen(31°), quindi l’ipotenusa è:
6
≈11,65
sen(31°)
Troviamo l’altro cateto usando sempre le relazioni trigonometriche:
6
6
=tan(31°) ⇒ x =
≈9,99
x
tan(31°)
Abbiamo preferito effettuare il calcolo in questo modo perché usando il teorema di Pitagora avremmo usato un valore approssimato, quindi avremmo approssimato due volte, invece che una volta
sola come con la formula precedente.
20
Capitolo 1
Estratto della pubblicazione
4 • Risolvere un triangolo rettangolo del quale conosciamo la somma dei suoi cateti, che vale 17, e la
misura dell’angolo acuto maggiore, che vale 67° 22' 48".
Siano b e c i cateti del triangolo, dove b è il cateto maggiore, possiamo impostare il seguente sistema:
⎧b+c =17
⎪
⎨b
⎪ =tan(67°22'48")
⎩c
Il sistema diviene allora:
⎧b+c =17
⎨
⎩b ≈2,4⋅c
le cui soluzioni sono b = 12 e c = 5.
Mediante il teorema di Pitagora troviamo che l’ipotenusa è uguale a 13, mentre l’altro angolo acuto
(complementare di quello dato) misura circa 22°37'22".
5 • Di un triangolo sappiamo che due lati sono lunghi 3,21 e 6,14, mentre l’area è 8,24. Vogliamo
sapere quanto misura l’angolo compreso dai lati noti.
Basta applicare la formula inversa del Teorema 6:
1
2⋅8,24
8,24= ⋅3,21⋅6,14⋅sen( x ) ⇒sen( x ) =
≈0,836⇒ x ≈56°44'9"
2
3,21⋅6,14
6 • Di un triangolo qualsiasi conosciamo la misura dell’area, 12, di un lato, 3, e di uno degli angoli
adiacenti a tale lato, 34°, vogliamo determinare la misura dell’altro lato adiacente al dato angolo.
1
Indicando con x la misura incognita possiamo scrivere, per il Teorema 6, 12= ⋅3⋅x ⋅sen(34°) .
2
Quindi avremo:
4
x=
12 ⋅2
3 ⋅sen(34°)
1
=
8
≈14,3
sen(34°)
7 • Vogliamo verificare se la seguente uguaglianza è un’identità, in un triangolo rettangolo in cui a è
la misura dell’ipotenusa:
ab⋅cos (γ ) −bc⋅sec ( β )
b−a
=cos ( β )⋅
a+c
ab⋅csc (γ )+ac⋅tan( β )
dei triangoli
Estratto dellaRisoluzione
pubblicazione
21
Basta sostituire alle funzioni goniometriche la relativa espressione mediante i lati del triangolo.
Abbiamo così:
b
a
−b c ⋅
b ⋅ (b −a )
c⋅ (b −a )
b 2 −ab c⋅(b −a )
a
c c b −a
= ⋅
⇒ 2
=
⇒
=
⇒c =c
a
b a a +c a b
a⋅(a +c ) a b ⋅ (a +c ) a ⋅ (a +c )
ab⋅ +a c ⋅
+ab
c
c
c
c
a b⋅
Abbiamo ottenuto la stessa espressione in ambo i membri, quindi abbiamo a che fare con un’identità.
8 • Vogliamo verificare se la seguente uguaglianza è un’identità, in un triangolo rettangolo in cui a è
la misura dell’ipotenusa:
2b 2
a⋅cos (γ )⋅cot (γ )+a⋅tan(γ )⋅sen( β ) =
c
Procedendo come nel precedente esercizio:
b b
c b 2b 2 b 2
2b 2 b 2 +c 2 2b 2
a ⋅ ⋅ +a ⋅ ⋅ =
⇒ +c =
⇒
=
⇒c 2 =b 2
c
c
c
c
a c
b a c
Come si vede non abbiamo ottenuto un’identità, dato che in generale b è diverso da c. Possiamo
quindi dire che la data uguaglianza è un’identità solo se il triangolo è rettangolo isoscele.
1
Risoluzione dei triangoli
Esercizi proposti |
31 2
Le risposte esatte sono riportate a fine capitolo.
Determinare valori approssimati al secondo decimale degli angoli acuti dei triangoli rettangoli
di cui forniamo le misure di due dei loro lati (a indica l’ipotenusa)
1 • b = 5, c = 8
2 • b = 1,32, c = 2,54
3 • a=
5,c= 3
6
3
4 • a= ,b=
7
5
Semplificare le seguenti espressioni
5 • a) tan(30°); b) cot (30°); c) sec (30°); d) csc (30°)
22
Capitolo 1
6 • a) tan(60°); b) cot (60°); c) sec (60°); d) csc (60°)
7 •
8 •
sen(30°) +1
2−cos ( 45°)
+tan( 45°) −cot (60°)
1+cot (30°) 1−tan(30°)
+
sec ( 45°)
csc (60°)
9 • cos (60°) ⋅
1−sen( 45°)
1+cos ( 45°)
−csc (30°) ⋅
1+tan(30°)
1−cot (30°)
Risolvere i triangoli rettangoli di ipotenusa a, noti i seguenti enti
10 • a = 1,23, β = 13°21'45"
11 • b = 2,7, β = 48°24'3"
12 • b = 3,15, γ = 10°28'41"
13 • a = 4, b = 2
14 • a = 1,37, c = 0,48
15 • b = 2,47, c = 1,89
Determinare area e perimetro dei triangoli rettangoli di cui si conoscono le misure dei seguenti enti
16 • La somma dei cateti, 10, e un angolo acuto, 40°
17 • La differenza dei cateti, 6, e un angolo acuto, 24°
18 • La somma di un cateto con l’ipotenusa, 12, e l’angolo acuto opposto al cateto, 62°
19 • La tangente di un angolo acuto, 2, e l’area, 12
20 • La differenza fra l’ipotenusa e un cateto, 8, e l’angolo adiacente al cateto dato, 22°
Determinare gli elementi incogniti dei seguenti triangoli qualsiasi di cui sono dati alcuni enti
(con A si indica la misura dell’area, con 2p quella del perimetro)
21 • a = 5,7, b = 8,12, sen(γ ) = 0,63, A = ?
22 • a = 3, b = 4, γ = 70°, A = ?
23 • A = 7,25, b = 3,14, γ = 40°31'12", a = ?
24 • a = 1,75, β = 47°, γ = 75°, A = 4,78, 2p = ?, b = ?, c = ?
25 • a = 5, 2p = 11, γ = 50°, A = 4, β = ?, α = ?
Risoluzione dei triangoli
23
Verificare se le seguenti uguaglianze sono identità, in un triangolo rettangolo in cui a è la misura dell’ipotenusa
⎛ b⎞
26 • a⋅cos (γ ) ⋅csc ( β ) −b⋅tan( β ) ⋅sec (γ ) =a⋅⎜1− ⎟
⎝ c⎠
b 2 +ac
27 • c ⋅csc ( β ) ⋅cos (γ ) +b⋅tan( β ) ⋅sen(γ ) =
a
28 • a sen( β ) tan(γ ) −a cot ( β ) csc (γ ) = c ⎡⎣tan( β ) −sen2 (α )⎤⎦⋅⎡⎣sen2 ( β ) +cos2 ( β )⎤⎦
29 • a sen( β ) tan( β ) + cos2 ( β ) = c ⎡⎣tan( β ) −sen2 (α )⎤⎦⋅⎡⎣cot (γ ) +cos ( β )⎤⎦
30 • a ⋅sec ( β ) tan(γ ) +b ⋅cos (γ ) csc ( β ) = a⋅csc (γ ) ⋅tan( β ) +b⋅sen( β ) ⋅sec (γ )
tan(β)⋅cot(β)+
31 •
32 •
33 •
b2
a2
b
cot(γ)⋅tan(γ)+ ⋅cos(γ)
a
=
c 2 +b 2
a2
tan(β)⋅cot(γ)−b
b −c 2
=csc2 (γ ) 2
a +b
sen( β ) ⋅cos (γ ) +b
sen(β)⋅cos(γ)−sen2 (γ )
cos(β)⋅sen(γ)−cos2 (γ)
=−tan( β ) ⋅cot ( β )
Nei seguenti esercizi è richiesta la determinazione di uno o più angoli
34 • Un trapezio rettangolo ha le basi lunghe 6 e 15, l’altezza 8. Determinare il minore angolo che
formano le diagonali.
35 • Un trapezio isoscele ha le basi lunghe 5 e 8, l’altezza 4. Determinare il minore angolo che
formano le diagonali.
36 • Un rettangolo ha le dimensioni lunghe 3 e 4. Determinare il minore angolo che formano le
diagonali.
37 • Un parallelogramma ha area 10 e i lati lunghi 3 e 5, determinare le misure dei suoi angoli.
38 • Determinare una formula per calcolare l’angolo formato dalle diagonali di un rettangolo di
cui conosciamo le misure delle sue dimensioni, b e h.
39 • Determinare una formula per calcolare l’angolo formato dalle diagonali di un trapezio rettangolo di cui conosciamo le misure delle sue basi, b e B e dell’altezza h.
40 • Determinare una formula per calcolare l’angolo formato dalle diagonali di un trapezio isoscele di cui conosciamo le misure delle sue basi, b e B e dell’altezza h.
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Capitolo 1
Estratto della pubblicazione