Tema A - LaDiSpe

Teoria dei Sistemi Dinamici
01GTG - 02GTG
Esame del 14/11/2005 – Tema A
Esercizio 1 – Sistemi di riferimento e cinematica del corpo
rigido (7 punti)
1.1 (3 punti)
Data la relazione tra matrici di trasformazione omogenea
T a = T bT xT c
dove
Ã
Ta =
e


1
da =  0 
−1
I
da
0T
1
!

0
d b = −1
1
Ã
Tb =
Rb
db
0T
1
!
Tc =
Ã
Rc
0T
!
0
1

Rb = Rot(j , π/4) Rc = Rot(j , π/4)Rot(i , π/2)
calcolare gli elementi Rx e d x della matrice omogenea T x .
1.2 (4 punti)
Sono dati tre sistemi di riferimento, R0 , R1 , R2 . Si consideri R0 inerziale.
Al tempo t = 0 l’origine di R1 coincide con l’origine di R0 e la matrice R01 vale
R01 = Rot(k , 45◦ )
L’origine di R2 è traslata rispetto all’origine di R1 di una quantità costante d 1
 
2
d 1 = 0 (il vettore è rappresentato in R1 )
0
e, al tempo t = 0, la matrice R12 vale
R12 = Rot(i , 90◦ )
Al tempo t = 0 inizia il moto combinato dei due riferimenti R1 , R2 , rispetto a R0 , cosı̀ descritto:
1
1. R1 trasla rispetto a R0 con velocità lineare costante v 1
 
2
v 1 = 0 [m/s] (il vettore è rappresentato in R1 )
0 R
1
ma non ruota;
2. R2 ruota intorno alla sua origine a velocità angolare costante ω 2 , con


0
ω 2 =  0  [rad/s] (il vettore è rappresentato in R2 )
−π/2 R
2
ma non trasla.
Dato un punto P , fisso in R2 , di coordinate
 
0
x P = 2 [m] (il vettore è rappresentato in R2 )
0 R
2
calcolare la distanza del punto P dall’origine di R0 al tempo t = 1 s.
Esprimere la soluzione nel riferimento R0 .
Suggerimento: calcolare la soluzione per via grafica/geometrica (ossia disegnando i sistemi di
riferimento a t = 0 e t = 1) e non per via analitica.
Esercizio 2 – Sistemi Elettrici (9 punti)
Scrivere le equazioni di Lagrange utilizzando l’approccio in carica (4 punti), in flusso (5 punti) o
entrambi (9 punti).
Esercizio 3 – Sistema meccanico (9 punti)
Si consideri il sistema planare schematizzato nella Fig. 2, composto da una slitta rigida, di massa
totale m, che può traslare verticalmente, collegata alla base inerziale da una molla lineare di
costante elastica k1 e da uno smorzatore lineare di coefficiente β1 . All’estremità della slitta è posto
un sistema ruota-cremagliera, che fa ruotare un’asta rigida (di massa trascurabile) di lunghezza `.
Il sistema ruota-cremagliera possiede un’elasticità angolare e una dissipazione intrinseche, modellate dai parametri k2 e β2 .
Il rapporto tra moto lineare è moto angolare del sistema ruota-cremagliera è tale da generare un
angolo di π/2 per ogni decimetro lineare di traslazione.
L’asta porta all’estremità una massa “puntiforme” M .
Calcolare la funzione di Lagrange L, considerando la presenza di un campo gravitazionale verticale
con kg k = 10.
Esercizio 4 – Dinamica (9 punti)
Il sistema elettro-meccanico schematizzato in Fig. 3, è composto da un corpo di massa m sospeso
elettromagneticamente in un campo gravitazionale. La massa sospesa comanda, tramite un sistema
ruota-cremagliera, la posizione angolare di un condensatore variabile.
2
L’insieme (ruota-cremagliera + condensatore), possiede una elasticità angolare modellabile con il
parametro k e una dissipazione interna modellabile con il parametro β.
Il rapporto tra moto lineare è moto angolare del sistema ruota-cremagliera è tale da generare un
angolo di π/2 per ogni millimetro lineare di traslazione. Per x = 0 si ha θ = 0. Per θ = 0 la molla
k è scarica.
L’induttanza dell’avvolgimento e modellabile dalla funzione
L(x(t)) =
A
d + x(t)
con A e d costanti.
All’induttanza variabile è collegato un circuito elettrico composto da una resistenza costante R in
serie al condensatore variabile, alimentato da un generatore ideale di tensione E(t).
La capacità del condensatore variabile è funzione dell’angolo θ secondo la seguente relazione
C(θ) = C0 e−2
|θ|
π
Scrivere le equazioni dinamiche del sistema con il metodo di Lagrange.
Suggerimenti: svolgere i calcoli solo per x, θ ≥ 0.
Figure
Figura 1: Circuito elettrico (Esercizio 2).
3
Figura 2: Il sistema meccanico (Esercizio 3).
Figura 3: Il sistema elettro-meccanico (Esercizio 4).
4