Legge di Ohm generalizzata per il condensatore
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Legge di Ohm generalizzata per il condensatore
• Abbiamo visto che la corrente che scorre in un condensatore a cui si
applica una differenza di potenziale sinusoidale è
i
dV C
dq
d
C
C
V oC e
dt
dt
dt
iC i
j C V C
j ( t )
VC
1
j C
CV
oC
j e
j ( t )
iC
• Dal punto di vista formale la formula appena trovata è simile alla
legge di Ohm, basta pensare ad una «impedenza» del condensatore
(analoga della resistenza per il resistore, ma complessa) definita
come
ZC
1
j C
• In tal caso si può scrivere la legge di Ohm generalizzata per il
condensatore:
V C Z C iC
Legge di Ohm generalizzata per l’induttore
• Un ragionamento analogo si può fare per l’ induttore.
Dalla legge di Lenz per un induttore ideale:
dI L
VL L
dt
assumendolo attraversato da una corrente sinusoidale:
I L io e
jt
dI L
Lio je jt jL I L
VL L
dt
• Quindi, definendo l’impedenza dell’induttore come:
Z L j L
si ottiene la legge di Ohm generalizzata per l’induttore:
VL Z L I L
Legge di Ohm generalizzata
• Quindi, per circuiti attraversati da correnti sinusoidali, e
contenenti solo resistori, condensatori e induttori, varrà la legge
di Ohm generalizzata, e quindi si potranno utilizzare gli stessi
metodi (maglie, nodi etc.) utilizzati per i circuiti con i resistori,
usando le impedenze al posto delle resistenze.
• Ad esempio il circuito RC può essere considerato un partitore di
tensione realizzato con due impedenze, l’ impedenza del resistore
e quella del condensatore:
Vin
V out
Z
2
Vin
Z1 Z 2
Z1
R
Vin
C
Vout
Z2
Vout
1 / j C
R 1 / j C
V out
1
1 j RC
Vin
• Se consideriamo il circuito RC come
un blocco con un ingresso ed una
uscita (vedi figura), vogliamo
studiare Vout (segnale in uscita) al
variare di Vin (segnale in ingresso,
sinusoidale).
• Per la linearità dei componenti
utilizzati, se Vin è sinusoidale, Vout è
anch’esso sinusoidale, con la stessa
frequenza ma con diverse ampiezza e
fase, che si trovano con il metodo dei Vin
1
fasori:
V
V
Circuito RC in
regime sinusoidale
C
V oC
V oin
1
2
1 j RC
in
, arctan
R
C
Vout
• Data la risposta diversa alle diverse frequenze, questo blocco
circuitale viene anche chiamato filtro, ed in particolare filtro passabasso, perché trasmette in uscita le frequenze basse pressochè
inalterate, mentre attenua le frequenze alte.
• In questo caso, riapplicando la
formula del partitore abbiamo
V out
Z
R
2
Vin
Z 1 Z 2 R 1 / j C
• Da cui
VR
V oR
j RC
V in
1 j RC
V oin
1
2
arctan 1 /
• Il circuito CR è un filtro passa
alto.
Circuito CR in
regime sinusoidale
C
Vin
R
Vout
VoC
Vo
Circuito RC: Filtro passa basso:
VC
Vo / 2
0
0
1
2
3
4
5
6
RC
V oC
0 0
/4
/2
1
2
/2
/4
4
5
6
RC
arctan
Circuito CR: Filtro passa alto :
Vo
0
3
1
V in
1 j RC
V oin
2
1
VR
0
0 0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
RC
RC
V oR
j RC
V in
1 j RC
V oin
1
2
arctan 1 /
VoC
Vo
Circuito RC: Filtro passa basso:
VC
Vo / 2
0
0
1
2
3
4
5
6
RC
V oC
0 0
/4
/2
1
2
/2
/4
4
5
6
RC
arctan
Circuito CR: Filtro passa alto :
Vo
0
3
1
V in
1 j RC
V oin
2
1
VR
0
0 0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
RC
RC
V oR
j RC
V in
1 j RC
V oin
1
2
arctan 1 /
Filtri con induttori
• Si possono realizzare filtri passa-basso e passa alto anche con
resistori e induttori, invece che con resistori e condensatori.
• Sempre considerando i partitori di impedenze si ottiene facilmente
la funzione di trasferimento [Vout/Vin ] in funzione di , o di f :
Vin
L
R
Vout
R
Vin
L
Vout
Vout
R
1
Vin R jL 1 j(L / R)
Vout
jL
j(L / R)
Vin R jL 1 j( L / R)
Passa-basso
con frequenza
di taglio
1
R
fo
2 2L
Passa-alto con
frequenza di
taglio
fo
1
R
2 2L
Circuiti integratori e derivatori
• Sono circuiti che producono all’ uscita un
segnale di tensione proporzionale all’
integrale (o alla derivata) del segnale in
ingresso.
• Che si possano costruire e’ evidente dalle
t
relazioni
1
dI
V
C
Idt
;
V L
0
dV
;
I C
dt
1
I
L
t
dt
Vdt
0
Circuiti integratori: RC
Vin VC VR
se
R
VC (t ) VR (t )
Vin
Vin (t ) VR (t ) RI (t )
1
I (t ) Vin (t )
R
t
t
1
1 1
Vout (t ) VC (t ) i (t ' )dt ' Vin (t ' )dt '
C to
C to R
Vout (t )
1
t
V
in
to
(t ' )dt '
C
Vout
Vin VL VR
se
VR (t ) VL (t )
Circuiti integratori:
LR
d
Vin (t ) VL (t ) L i (t )
dt
Ldi (t ) Vin (t )dt
Vin
t
1
i (t ) V (t ' )dt 'i (to )
L to
t
R
Vout (t ) VR (t ) Ri (t ) V (t ' )dt ' Ri (to )
L to
Vout (t )
1
t
V (t ' )dt ' Ri (t )
o
to
Vout
Circuiti derivatori: CR
Vin VC VR
VR (t ) VC (t )
se
t
1
Vin (t ) VC (t ) i (t ' )dt '
C to
Vin
d
d
1
Vin (t ) VC (t ) i (t )
dt
dt
C
d
d
Vout (t ) Ri (t ) RC Vin (t ) Vin (t )
dt
dt
C
R
Vout
Circuiti derivatori
RL
R
Vin VL VR
VL (t ) VR (t )
Vin (t ) VR (t ) Ri (t )
1
i (t ) Vin (t )
R
d
L d
Vout (t ) L i (t )
Vin (t )
dt
R dt
d
Vout (t ) Vin (t )
dt
Vin
L
Vout
Circuiti integratori
e derivatori
• Abbiamo quindi delle
“approssimazioni” di
circuiti integratori e
derivatori.
• I filtri “passa basso” RC
e LR forniscono gli
integratori;
• I filtri “passa alto” CR e
RL forniscono i
derivatori.
Vin
Vin
Vin
R
Vout
C
L
C
R
Vout
R
Vout
R
Vin
L
Vout
• Possiamo quindi graficare, inRegime sinusoidale
funzione della frequenza del
segnale d’ ingresso, l’ ampiezza
del segnale in uscita, ed il suo
R
sfasamento:
Vin
Vin Vo e jt
C
Vout VoC e j (t )
Vo
Vo / 2
dove
VoC
Vout
Vo
1
arctan
2
0
VoC
0
1
2
3
4
5
6
RC
0 0
1
2
3
4
5
6
RC
/4
/2
Circuiti integratori e derivatori
VoC
• Le approssimazioni sono
tanto migliori quanto piu’ Vo
Vo / 2
il segnale in uscita e’
piccolo rispetto a quello
0
0
in ingresso.
• Per i circuiti derivatori
questa approssimazione
0 0
e’ rispettata tanto meglio /4
quanto piu’ f < fo=1/2; /2
• Per i circuiti integratori
questa approssimazione
e’ rispettata tanto meglio
quanto piu’ f > fo=1/2;
1
2
3
4
5
6
RC
1
2
3
4
5
6
RC
A questa frequenza
il passa basso e’ un
buon integratore.
Ma il segnale in uscita
e’ ridotto di 1/ !
Risposta Impulsiva
• Supponiamo di applicare ad un circuito integratore o ad
un derivatore un segnale ad onda quadra:
Vin
Vout INT
Vout DER
t
• Alla fine dell’esperienza del 27 Aprile potrete provare ad
ottenere queste forme d’ onda sperimentalmente. La
difficoltà sta nel fatto che sono tanto più ideali (quindi
simili alla derivata o all’integrale di Vin) quanto più la loro
ampiezza è piccola.
Il circuito RLC serie
• Se si aggiunge un
L
induttore al circuito RC si
ottiene un circuito RLC
serie.
• Sia L l’ induttanza
(coefficiente di
autoinduzione) dell’
induttore
• Proviamo a risolvere il
circuito (cioe’ a trovare la
corrente che lo attraversa)
quando è eccitato da una
sorgente sinusoidale. V Vo cos(t V )
R
C
Il circuito RLC serie
• Per la seconda legge di
Kirkhoff:
Q
dI
V L RI
dt
C
• Per l’ induttanza abbiamo
considerato la forza
elettromotrice autoindotta
–LdI/dt e l’ abbiamo
spostata a secondo
membro cambiandola di
segno.
• Derivando rispetto a t:
L
R
C
dV
d 2I
dI I
L 2 R
dt
dt
dt C
dI I
d 2I
dV
L 2 R
dt C
dt
dt
Il circuito RLC serie
• E’ una eq. differenziale lineare del secondo
ordine non omogenea. La soluzione è la
somma dell’ integrale generale dell’
omogenea più un integrale particolare della
disomogenea.
dI I
d 2I
L 2 R 0
dt
dt C
Omogenea associata
• Fisicamente la soluzione dell’ omogenea
corrisponde al comportamento transitorio
iniziale; a regime vale l’ integrale particolare.
Il circuito RLC serie
dI I
d 2I
L 2 R 0
dt C
dt
• La soluzione dell’ omogenea è del tipo
I (t ) I1e I 2 e
• Con I1 e I2 costanti da determinare dalle
condizioni iniziali e k1 e k2 soluzioni dell’
equazione caratteristica:
1
2
Lk Rk 0
C
• quindi
2
R
R
1
k1, 2
2
2L
4 L LC
k1t
k 2t
Il circuito RLC serie
ponendo
R
a
2L
si trova
b
1
R2
2
4 L LC
I (t ) I1e ( a b ) t I 2 e ( a b ) t
la quantità b può essere reale, nulla o immaginaria
a seconda che sia
R2
1
2
4 L2 LC
1
R
2
4 L2 LC
R 1
4 L2 LC
Caso 1, b reale
Caso 2, b nullo
Caso 3, b immaginario
Il circuito RLC serie
R
a
2L
e
b
1
R2
2
4 L LC
I (t ) I1e ( a b ) t I 2 e ( a b ) t
1
R2
se 2
gli esponenti sono ambedue negativi.
4L
LC
caso sovrasmorzato :
I
t
Imponendo
le condizioni iniziali :
I (0) 0
1) : 0 I ( 0 ) I ( t ) I 1e ( a b ) 0 I 2 e ( a b ) 0 I 1 I 2 I 1 I 2
q (0 ) qo
e
dI
RI ( 0 ) L
dt
o
q
dI
0 L
C
dt
o
qo
C
si trova quindi, derivando la 1 e ponendo t 0
dI
dt
2 bI 1 ....
o
qo
I1
2 LCb
e ponendo
o
1
LC
si arriva a
q o o at bt
I (t )
e {e e bt }
2b
2
Quindi nel caso sovrasmorzato si
ottiene il seguente andamento
qoo at bt bt
I (t )
e {e e }
2b
2
I
t
Caso criticamente smorzato
1
R2
R
b
a
2
2L
4 L LC
1
R2
se 2
(caso criticamente smorzato) b 0
4L
LC
la soluzione e' del tipo I (t ) ( I1 I 2t )e at
Di nuovo, imponendo le condizioni iniziali si trovano I1 e I 2
I (0) 0 I1 0
I
dI
qo
dt 0
LC
qo
I2
LC
I (t ) qoo te at
2
t
R
a
2L
e
b
R2
1
2
4 L LC
I (t ) I1e ( a b ) t I 2 e ( a b ) t
R2
1
se 2
la soluzione e'
LC
4L
I (t ) I1e ( j ) t I 2 e ( j ) t
caso oscillatorio smorzato :
I
Il circuito RLC serie
R
2L
1
R2
2
LC 4 L
qo o2 j t
I (t ) j
e e j t e t
2
I (t )
qo o2
e t sen ( t )
t
Il circuito RLC serie
• L’ ampiezza delle oscillazioni diminuisce perchè
l’ energia inizialmente disponibile come campo
elettrico nel condensatore viene via via dissipata
per effetto Joule nella resistenza.
• Le oscillazioni dipendono dal fatto che l’ energia
viene rimbalzata continuamente tra condensatore
(campo elettrico) e induttore (campo magnetico)
I
t
Il circuito RLC serie
•
•
•
Consideriamo il caso oscillatorio smorzato.
Se R fosse nulla avremmo =R/2L=0 e quindi
I (t )
q o o2
e t sen ( t )
I (t )
q o o2
sen ( t )
L
C
Le oscillazioni in tal caso non sarebbero smorzate
I
t
Il circuito RLC serie
• In assenza di fenomeni dissipativi, e trascurando l’ energia
irraggiata, l’ energia immagazzinata nel circuito dovrebbe
rimanere costante. Vediamo se è vero.
1 q o2
E E (0 )
2 C
1
Ec
qdq Q
C
E
L
Wdt
E (t ) E
I
L
2
/ 2 C CV
ILdI
1 / 2 LI
(t ) E
C
(t )
1
CV
2
2
/ 2
2
2
C
1
LI
2
2
L
t
E (0 ) ?
I (t )
q o o2
sen t I o sen o t
dI
dI
VC 0 L
VC LI o o cos o t VC
RI L
dt
dt
E C 12 CV c2 12 CL2 I o2 o2 cos 2 o t 12 LI o2 cos 2 o t
E L 12 LI 2 12 LI o2 sin 2 o t
E C E L 12 LI o2
B
L
C
Massima corrente
Costante !
L
C
Massima tensione
E
dI I
d 2I
dV
L 2 R
dt C
dt
dt
Il circuito RLC serie
• Cosa succede a regime (se V è sinusoidale) ?
• Si cerca un integrale particolare:
V Vo e
j (t V )
I I o e j (t I )
jVo e
Vo e
1 j (t I )
2
L j R I o e
C
A questa equazione
1
R j L
I o si poteva arrivare
C
subito dalla legge
j (t V )
j (V I )
di Ohm generalizzata.
Vo e
j ( V I )
1
R j L
C
I o
ponendo
( V I )
Z R
si ottiene
V o e j
1
j L
C
Vo
Vo
Io Z
2
1
R 2 L
C
ZI o
1
L C
arctan
R
Vo e
j
Vo
Vo
Io Z
2
1
2
R L
C
ZI o
1
L C
arctan
R
se o 1 / LC l' impedenza diventa reale
(e pari a R) e lo sfasamento va a 0.
condizione di risonanza.
si definisce il fattore di qualità del circuito
Qo o L / R 1 / R L / C
Vo
Io
Z
Io
e si può riscrivere :
Vo
1
R L
C
Vo / R
2
1 Q
o
2
o
2
2
o
2
2
Il circuito RLC serie
Vo e
j (V I )
R
Vo
Io
Z
1
j L
I o
C
Vo
1
R L
C
Vo / R
R
2
2
1 Q
o
dove
Qo o L / R
2
o
2
L
2
2
o
è il fattore di qualità
C
Il circuito RLC serie
Vo
Io
Z
I
o
0
1
1
LC
o
Vo / R
1 Q
o
2
o
2
2
o
2
• Il circuito
presenta un
massimo di
risposta
(corrente
massima) per
o.
Il circuito RLC serie
Vo
Io
Z
I
Vo / R
1 Q
o
1
o
LC
Qo o L / R
Qo alto
0
1
Qo basso
o
2
o
2
2
o
2
• A seconda di
Qo (fattore di
qualità) la
curva di
risposta è più
o meno
piccata.
Il circuito RLC
L
C
Vgen
R
• In questa
serie configurazione il
circuito agisce come
un filtro passa banda.
• Solo le frequenze
intorno ad o
producono un segnale
in uscita.
Vout=RI • Il filtro è tanto più
selettivo quanto più
alto è Qo.
• Viene utilizzato ad es.
per sintonizzare una
radio su una frequenza
ben precisa,
eliminando le altre.
Il circuito RLC serie
I
1
LC
1
o
0.707
Qo o L / R
0
1
o
• La larghezza di
banda del filtro
è la
distanza tra i
due punti della
risposta in
frequenza in
cui la risposta
è 1/sqrt(2) del
massimo.
• E’ strettamente
legata a Qo.
Il circuito RLC serie
Io
V gen / R
1
1 Q
o
2
o
2
2
o
2
vale 1 / 2 quando
2
1
Q
o
2 o2
1
o
Qo
2
o
2
2
o
2
o
Qo
0
2
o
Il circuito RLC serie
Q o 2 o Q o o2 0
la soluzione è
o o2 4 Q o2 o2
2Qo
e le due soluzioni positive sono
1,2
o o2 4 Q o2 o2
2Qo
da cui
o
R
Qo
L
2
1
o
1
LC
1
L
Qo o
R
R
L
C
La larghezza di banda è
inversamente
proporzionale al
fattore di qualità Qo . Il
filtro è tanto più selettivo
quanto più alto è Qo.
Il circuito RLC serie
• La resistenza minima del
circuito è quella dell’
avvolgimento con cui si
realizza l’ induttanza.
• Con induttanze
commerciali di ottima
qualità si ottengono fattori
di qualità dell’ ordine di
100, e quindi bande
passanti dell’ ordine di
1/100 della frequenza
centrale.
• Solo usando
superconduttori si possono
ottenere Q>>100.
o
1
LC
1
L
Qo o
R
R
L
C
o
R
Qo L
2
1
fo
L o
Qo o
R f
Nota: Misura di Qo
• Il Qo che abbiamo definito si riferisce all’
espressione della corrente nel circuito.
• La R che compare nell’ espressione di Qo è la
resistenza totale del circuito, somma di
– Resistenza interna del generatore
– Resistenza interna dell’ induttore
– Resistenza reale
• La corrente che scorre nel circuito può essere
valutata misurando V ai capi della resistenza reale e
dividendo per il valore della resistenza reale.
• Da una curva di I in funzione della frequenza si
valuta Qo=fo/f
GENERATORE
Nota: Misura di Qo
INDUTTORE
RG
RL
L
C
Vgen
Vin
R
Vout=RI
• In un circuito reale solo Vin e Vout sono
misurabili, Vgen non lo è (almeno non
direttamente).
RG
RL
L
INDUTTORE
Vgen
C
Vin
R
Vout=RI
GENERATORE
Qo si valuta
da questa
non da questa !
Vout
Io
R
Vout
Vin
V gen
1
RG R L R j L
C
R
1
RL R j L
C
Nota2: se si vuole misurare RL
• Dalle misure di I si valuta Qo=fo/f e da questo
la somma di RL+RG+R, da cui per sottrazione
RL (sapendo le altre due)
• Oppure, meglio
• Dalle misure di Vout/Vin alla risonanza:
Vout
Vin
RIS
R
R RL
Vin
RL R
Vout
RIS
1
L
Lo sfasamento
Vo e
j t
1
R j L
C
j (
I oe
• Vediamo le tensioni ai capi di
ciascun componente:
• I tre termini nell’ equazione
sopra sono delle tensioni, la cui
parte reale e’ la proiezione del
fasore rappresentativo sull’ asse
reale del piano complesso.
• I tre vettori sono lunghi
rispettivamente
• IoR, IoL, Io/C
R
t I )
C
Im
LIo
to=-
RIo
C)Io
Re
L
Il circuito RLC serie
Vo e
j t
1
R j L
C
j (
I oe
R
t I )
• Vediamo le tensioni ai capi di
ciascun componente:
• I tre termini nell’ equazione
sopra sono delle tensioni, la cui
parte reale è la proiezione del
fasore rappresentativo sull’ asse
reale del piano complesso.
LIo
• I tre vettori sono lunghi
rispettivamente
• IoR, IoL, Io/C
• Al passare del tempo ruotano
mantenendo le stesse fasi
relative
C
Im
t generico
RIo
( t I )
Re
C)Io
L
Il circuito RLC serie
Vo e
j t
1
R j L
C
j (
I oe
• La composizione dei vettori
si può fare sommando prima
i contributi di L e C:
LIoC)Io
R
t I )
C
Im
t generico
RIo
( t I )
Re
L
Il circuito RLC serie
Vo e
j t
1
R j L
C
j (
I oe
• E poi trovando la risultante,
che deve essere proprio la
tensione (complessa) del
generatore.
• Se L>C) , la corrente è in
ritardo rispetto alla tensione del
generatore
LIoC)Io
R
t I )
C
Im
Vo , ( t V )
RIo
( t I )
Re
L
Il circuito RLC serie
Vo e
j t
1
R j L
C
j (
I oe
• E poi trovando la risultante,
cioè la tensione (complessa)
del generatore.
• Se L<C) , la corrente è in
anticipo rispetto alla tensione
R
t I )
C
Im
RIo ( t I )
V,o ( t V )
LIoC)Io
Re
circuito RLC serie
1
L C
Sfasamento tra tensione e corrente: V I arctan
R
1
0 V I 0
o L
C
corrente in anticipo rispetto alla tensione
1
0 V I 0
o L
C
corrente in ritardo rispetto alla tensione
I
0
1
V-I
0
1
o
Extratensioni
Vo e
j t
1
R j L
C
L
j (
I oe
R
t I )
• Vediamo i moduli delle tensioni
ai capi di ciascun componente
reattivo:
1
VC Z C I
Vo
j C
1
R j L
C
j L V o
VL Z LI
1
R j L
C
VC
Vo
VL
Vo
C
1
C
1
R 2 L
C
2
L
1
R 2 L
C
2
L
Il circuito RLC serie
1
C
VC
Vo
1
R 2 L
C
1
R 2 L
C
VC/Vo
C
2
Q2>1/2
1
VL/Vo
0
2
L
VL
Vo
0
R
1
o
Q2<1/2
1
VC/Vo
0
0
VL/Vo
1
o
Extratensioni
• Notare che, alla risonanza :
1
VC
C
2
Vo
1
R 2 L
C
VL
Vo
L
1
2
R L
C
2
VC
1
1
Vo
R oC R
VL o L 1
Vo
R
R
L
Qo
C
L
Qo
C
cioè la tensione ai capi di C e L è maggiore di quella di
ingresso, di un fattore pari a Qo.
• Va anche notato che, seppure le due tensioni su L e su C siano
grandi, hanno fase opposta, e quindi si elidono istante per
istante, e non fanno scorrere alcuna corrente, né nel resistore né
nel generatore.
L
Il circuito RLC serie
EXTRATENSIONI:
La tensione massima, però, si ha
per una frequenza leggermente
diversa da quella di risonanza.
VC/Vo
VL/Vo
0
C
Q2>1/2
1
0
R
1
o
Q2<1/2
1
VC/Vo
0
0
VL/Vo
1
o
L
Il circuito RLC serie
Si può dimostrare che nei due casi
max (V L )
1
o
RC
2
LC
R
2
C
2
max (V C )
VC/Vo
Q2>1/2
1
0
1
1R
o
LC
2L
VL/Vo
0
1
o
Q2<1/2
1
VC/Vo
0
0
VL/Vo
1
o
Il circuito RLC parallelo
I
L
C
R
1
1
1
1
1
j C j C
R
j
L
R
L
Z
1
1
1
I V V j C
R
L
Z
I o Vo
1
1
C
2
R
L
2
2
1
1
) /(1 / R ) arctg
( 2 1)
arctg ( C
L
Il circuito RLC parallelo
I
I
L
V/R
o
0
1
0
1
o
C
R
Il circuito RLC
parallelo
Io
L
V
RI
Vo
C
R
Io
1
1
C
2
L
R
2
o
0
1
arctg (C
0
1
o
1
) /(1 / R)
L
1
2
arctg (1 2 )
0
Misure con il picoscope
• Ovvero: l’ oscilloscopio digitale in azione
• Il picoscope è un oscilloscopio digitale completo di generatore di funzioni, che lavora in simbiosi con un PC (al quale sono demandate le funzioni di visualizzazione e impostazione delle misure)
• Permette di eseguire misure complesse in modo semplice. Uscita del generatore di funzioni
Ingresso per trigger esterno
Due ingressi analogici (8 bit, 1Gs/s)
Uso del Picoscope per verificare il comportamento di circuiti RC, con onde quadre e sinusoidali in ingresso
1) Misura resistenza interna del generatore integrato nel picoscope
2) Circuito RC con onda quadra in ingresso: misura costante di tempo dalla salita e dalla discesa dell’onda in uscita
3) Circuito RC come integratore
4) Circuito RC con onda sinusoidale in ingresso: misura frequenza di taglio del circuito 1) Misura della resistenza interna del generatore di fuzioni del picoscope
V0(t)
Generatore di
funzioni
(uscita
Picoscope,
frequenza
f=1kHz)
Oscilloscopio
Picoscope
V0(t)
R2
V1(t)
Resistenza
interna
R3>> R2
Si genera un segnale quadro V0(t) impostandone l’ampiezza a 1V
e si legge il valore dell’ampiezza A0 senza carico. Si inserisce poi una resistenza di carico R2 e si misura V1(t) stimandone l’ampiezza A1. Dal rapporto tra A0 e A1 e dal valore di R2 si ricava con la formula del partitore.
Immagine schermo con segnale generatore (picoscope) onda quadra V0(t) con ampiezza A0=1.00 V , frequenza 1 KHz
Immagine schermo con segnale ai capi di R2: onda quadra V1(t) con ampiezza A1=(1.552 / 2) V , frequenza 1 kHz
Stima resistenza interna dal confronto delle due misure (formula del partitore di tensione): R2 2.7 k
A0 1.000 V
A1 0.776 V
A0 A1
430
R2
A1
2) RC eccitato con onda quadra
V0(t)
Generatore di
funzioni
(uscita
Picoscope,
frequenza
f=1kHz)
R2
Oscilloscopio
Picoscope
V0(t)
C
V1(t)
Resistenza
interna
R3>> R2
Si provano due circuiti che hanno nominalmente la stessa costante di tempo: R2=2.7k e C=150nF oppure R2=27k e C=15nF
Costante di tempo per circuito RC (C=150 nF R= 2.7K) da dati di salita
usando i cursori si cerca il momento in cui l’ampiezza diventa pari a (1‐e‐1) del valore asintotico: si trova t==440s
Costante di tempo per circuito RC (C=150 nF R= 2.7K) da dati di discesa
usando i cursori si cerca il momento in cui l’ampiezza diventa pari a e‐1 del valore di partenza: si trova t==420s
• Teoricamente la costante di tempo dovrebbe essere pari a ( R2 )C
• Con i valori nominali dei componenti:
R2 2.7 k
0.42k
C 150 10 9 F
si dovrebbe avere:
( R2 )C 470s
• in buon accordo con quanto misurato.
• Quindi la frequenza di taglio di questo RC è 1
pari a f
340 Hz
2
3) Circuito RC come integratore: onda quadra in ingresso Circuito RC come integratore:
segnale in uscita a frequenza f=8KHz (>>ftaglio)
4) Risposta in frequenza circuito RC con segnale sinusoidale in ingresso. Si inizia con una frequenza (10Hz) << di quella di taglio e si misura l’ampiezza.
Frequenza di taglio circuito RC, da confrontare con quella ricavata dalla costante di tempo misurata prima (circa 340 Hz)
Si varia la frequenza finchè l’ampiezza non 1/ 2
diventa di quella a basse frequenze
Altro RC (C=15 nF, R=27k
Dettagli dell’ onda quadra in ingresso:
Quando il condensatore si carica (in un verso o nell’altro) il generatore, a causa della sua resistenza interna, fatica a mantenere l’ampiezza impostata per l’onda.
Stessa onda quadra in ingresso,
a 10 Hz
RC (C=15 nF, R=27Kcirca 500 Hz
Vg(t)
(uscita GEN
picoscope,
frequenza f=10Hz o
quanto serve a
vedere la frequenza
di taglio e forma
d’onda quadra o
sinusoidale)
Vg(t)=0V..5V
C
Circuito
CR
oscilloscopio
R1
VR(t)
Resistenza
interna R2
molto grande
Nello stesso modo si studia il circuito passa alto (CR) invertendo la disposizione di R e C, e si visualizza la sua azione come
derivatore a basse frequenze
