Esercizio 2 Sia p il numero della vostra postazione e sia N = 5 + fix(p/5). Sia A la matrice NxN i cui elementi sono tutti uguali a N tranne quelli della diagonale principale uguali a N2. Se ne calcoli il determinante. Sia x = [1, 2, 3 , …, N] e sia b = Ax Approssimare la soluzione esatta x del sistema lineare Ax = b con il metodo iterativo di Jacobi dove si prenda: x0 = vettore nullo; tolleranza = 1e-3; numero massimo di iterazioni consentite = 200. Calcolare la norma p della differenza tra x e la soluzione approssimata xapp ottenuta con il metodo iterativo. Riportare i seguenti valori in format long: determinante di A = numero di iterazioni compiute dal metodo (N.B. x0 corrisponde all’iterazione 0-esima) = norma p della differenza tra x e xapp. = AIUTO (per chi ne avesse bisogno) Metodo iterativo di Jacobi: definizione: vedi PDF8 in pagina web del corso di Calcolo Numerico (Prof.ssa Zampieri); test d’arresto || x(k+1)-x(k)||2 < tolleranza. Norma p: vedi PDF5 in pagina web del corso di Calcolo Numerico (Prof.ssa Zampieri). Esercizio 2 Sia p il numero della vostra postazione e sia N = 3 + fix(p/10). Sia A la matrice NxN ottenuta sommando alla matrice di Pascal (comando pascal) il valore p a tutti gli elementi della diagonale principale. Se ne calcoli il determinante. Sia x il vettore di dimensione N i cui elementi sono tutti uguali a 1 e sia b = Ax. Approssimare la soluzione esatta x del sistema lineare Ax = b con il metodo iterativo di Gauss Seidel dove si prenda: x0 = vettore nullo; tolleranza = 1e-5; numero massimo di iterazioni consentite = 200. Calcolare la norma p della differenza tra x e la soluzione approssimata x app ottenuta con il metodo iterativo. Riportare i seguenti valori in format long: determinante di A = numero di iterazioni compiute dal metodo (N.B. x0 corrisponde all’iterazione 0-esima) = norma p della differenza tra x e xapp. = AIUTO (per chi ne avesse bisogno) Metodo iterativo di Gauss - Seidel: definizione: vedi PDF8 in pagina web del corso di Calcolo Numerico (Prof.ssa Zampieri); test d’arresto || x(k+1)-x(k)||2 < tolleranza. Norma p: vedi PDF5 in pagina web del corso di Calcolo Numerico (Prof.ssa Zampieri). Esercizio 2 Sia p il numero della vostra postazione e sia N = 5+ fix(p/4). Sia A la matrice a banda NxN che ha il valore 2N sulla diagonale principale, -N sulla terza sopra-diagonale e –N sulla seconda sotto-diagonale. Se ne calcoli il determinante. Sia B la matrice di iterazione del metodo di Jacobi costruita a partire da A (se A = L + D + U con L matrice triangolo inferiore, D diagonale, U triangolo superiore, allora B = -D-1(L + U)). Se ne calcoli il raggio spettrale. 0 0 Si costruiscano la matrice Ap = A + : : 0 p 0 0 0 : : : 0 .. 0 0 .. 0 .. : e la corrispondente Bp (vedi punto 0 0 p 0 .. precedente) e di quest’ultima si calcoli il raggio spettrale. Riportare i seguenti valori (ove possibile in format long): determinante di A: raggio spettrale di B: raggio spettrale di Bp: AIUTO (per chi ne avesse bisogno) Metodo iterativo di Jacobi: per la definizione vedi PDF8 in pagina web del corso di Calcolo Numerico (Prof.ssa Zampieri). Raggio spettrale di una matrice = modulo dell’autovalore di modulo massimo. Esercizio 2 Sia p il numero della vostra postazione e sia N = 5+ fix(p/3). Sia A la matrice a banda NxN che ha il valore 3N sulla diagonale principale, -2N sulla seconda sopra-diagonale e –N sulla terza sotto-diagonale. Se ne calcoli il determinante. Sia B la matrice di iterazione del metodo di Gauss-Seidel costruita a partire da A (se A = L + D + U con L matrice triangolo inferiore, D diagonale, U triangolo superiore, allora B = -(D+L)-1U). Se ne calcoli il raggio spettrale. 0 : Si costruiscano la matrice Ap = A + : 0 p .. .. 0 .. .. 0 .. .. .. 0 .. .. 0 .. .. p 0 : e la corrispondente Bp (vedi punto : 0 precedente) e di quest’utima si calcoli il raggio spettrale. Riportare i seguenti valori (ove possibile in format long): determinante di A: raggio spettrale di B: raggio spettrale di Bp: AIUTO (per chi ne avesse bisogno) Metodo iterativo di Gauss-Seidel: per la definizione vedi PDF8 in pagina web del corso di Calcolo Numerico (Prof.ssa Zampieri). Raggio spettrale di una matrice = modulo dell’autovalore di modulo massimo.