Flusso e teorema di Gauss

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Elaborato il 06/01/2002 alle ore 6.10 ,
salvato il 19/11/01 0.50
Creato il 16/11/2001 6.12
stampato il 06/01/2002 6.10
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Flusso e teorema di Gauss
Flusso
Considero il flusso a velocità costante v di un liquido ideale in un tubo.
Desidero calcolare il volume di liquido ∆V che passa per la sezione S nel tempo ∆t ; il rapporto Φ S (v ) =
∆V
∆t
verrà detto portata attraverso la superficie S ma anche più generalmente “flusso di v attraverso la superficie S”.
Come esempio marco alcune
molecole di liquido e traccio
davanti ad ognuna il vettore
spostamento dovuto al movimento
collettivo a velocità costante v nel
tempo ∆t scelto arbitrariamente.
tutte le molecole percorrono la
stessa strada v ⋅ ∆t pari al modulo
del vettore spostamento indicato.
Alcune molecole si trovano ad una
distanza da S tale da consentire
l’attraversamento della sezione da
parte delle molecole (a, b, c, d)
mentre altre (e, f) si trovano
inizialmente a distanza tale da non raggiungere nel tempo ∆t la superficie S, quindi solo il liquido compreso fra
le due linee verticali attraversa nel tempo ∆t la superficie S.
Il volume di questo tratto di tubo sarà ∆V = S ⋅ (v ⋅ ∆t ) e quindi la portata definita da noi come volume per unità
di tempo sarà
∆V S ⋅ (v ⋅ ∆t )
=
= S ⋅v .
∆t
∆t
Considerata la superficie orientata
S e il vettore velocità v si avrà
∆V Φ S (v ) =
= v ⋅ S dove il
∆t
prodotto fra i due vettori è l’usuale
prodotto scalare; detto α l’angolo fra il vettore orientato S e il vettore velocità v si avrà
∆V Φ S (v ) =
= v ⋅ S = v ⋅ S ⋅ cos(α )
∆t
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Flusso di un qualsiasi vettore
Posso definire il flusso di qualsiasi campo vettoriale a , ovvero di qualsiasi vettore di cui è noto il valore
vettoriale in tutto lo spazio
In generale si dovrà ricorrere all’integrazione del vettore su una superficie
Φ S (a ) = ∫ a ⋅ ds
Si potrà eventualmente integrare su una superficie chiusa.
Flusso del campo elettrico
()
Dato il campo elettrico E calcoliamo il flusso Φ S E su una
superficie chiusa.
Si avrà
Φ S E = ∫ E ⋅ ds
()
Se prendiamo la più semplice superficie chiusa, la sfera,
avremo il risultato fondamentale
Φ S E = ∫ E ⋅ ds =
()
1 q
q
⋅ 4πr 2 =
2
4πε 0 r
ε0
Il Teorema di Gauss si riduce quindi alla relazione
q
ΦS E =
ε0
()
Fondamentale notare che il flusso del campo elettrico è legato alla presenza di cariche all’interno della
superficie chiusa e che la rappresentazione della sfera data in precedenza va intesa come approssimazione del
calcolo integrale da fare e quindi che al limite dovremo pensare alla superficie della sfera sempre più suddivisa
in areole orientate più piccole, al limite infinitesime; su ogni areola, essendo a distanza r dal centro della sfera il
campo elettrico ha valore costante E =
contributo al flusso sarà E ⋅ ds =
1 q
e quindi il
4πε 0 r 2
1 q ⋅ ds , ma essendo
4πε 0 r 2
4πr 2 = ∫ ds , si perverrà alla relazione
Φ S E = ∫ E ⋅ ds =
()
1 q
q
⋅ 4πr 2 = .
2
4πε 0 r
ε0
Conseguenza del teorema di Gauss è che data una superficie
chiusa, esiste campo elettrico sulla superficie solo se
all’interno sono presenti cariche.
Il teorema di Gauss si presta al calcolo del campo elettrico in
situazioni altrimenti difficilmente calcolabili con la sola legge
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di Coulomb.
Tipici problemi di calcolo del campo elettrico risolvibili con il teorema di Gauss sono:
campo del campo elettrico di una superficie piana uniformemente
carica con densità superficiale σ
Considero un cilindro perpendicolare alla superficie carica, di sezione di superficie S.
Calcolando il flusso del campo elettrico sulla superficie cilindrica si possono fare alcune considerazioni:
Carica compresa nella superficie chiusa è q = S ⋅ σ
Per il flusso del campo elettrico solamente le due facce parallele al piano carico danno contributo mentre la
superficie laterale del cilindro essendo parallela al campo dà un prodotto scalare nullo.
Si giunge quindi, sommando tutti i contributi di flusso, alla relazione
S ⋅σ
σ
da cui E =
Φ S E = 2S ⋅ E =
ε0
2ε 0
()
campo elettrico di un filo uniformemente carico con densità lineare
λ
Considero un cilindro di raggio di base r e altezza l, collineare al filo infinitamente lungo e carico.
Calcolando il flusso del campo elettrico sulla superficie cilindrica si possono fare alcune considerazioni:
Carica compresa nella superficie chiusa è q = λ ⋅ l
Per il flusso del campo elettrico le due facce circolari perpendicolari al filo carico danno contributo nullo
mentre solamente la superficie laterale del cilindro essendo perpendicolare al campo dà contributo al flusso.
Si giunge quindi, sommando tutti i contributi di flusso, alla relazione
λ ⋅l
λ
da cui E =
Φ S E = 2πr ⋅ l ⋅ E =
ε0
2πr ⋅ ε 0
()
campo elettrico di una sfera conduttrice uniformemente con
distribuzione di carica spaziale
0 se r < r0
Q(r ) = 
Q0 se r ≥ r0
campo elettrico di una sfera uniformemente carica con densità
spaziale ρ e distribuzione di carica spaziale
4
3
 3 πρr se r < r0
Q(r ) = 
 4 πρr 3 se r ≥ r
0
 3 0
3/3