2.3. Il teorema di Gauss

Il teorema di Gauss
Il flusso di un campo uniforme attraverso la superficie di un cubo
Il cubo Σ è superficie chiusa. Come mostrato in figura, essa può essere considerata
l’unione di 6 quadrati ( Σ1, Σ2… ), ciascuno con la sua normale ( n̂1 , n̂ 2 ... ) , presa
obbligatoriamente nel verso uscente.
r
Consideriamo un campo uniforme E , orientato nella direzione dell’asse y. Il flusso
r
di E attraverso Σ è pari a zero. Infatti:
r
r
r
Φ Σ E = Φ Σ1 E + Φ Σ 2 E + ...
()
()
()
r
r
r
r
Dei 6 addendi, gli ultimi 4 sono nulli, perché E ⋅ n̂ 3 = E ⋅ n̂ 4 = E ⋅ n̂ 5 = E ⋅ n̂ 6 = 0 .
r
r
Inoltre, E ⋅ n̂1 = − E e E ⋅ n̂ 2 = E . Quindi:
r
ΦΣ E =
( ) ∫ Er ⋅ n̂
Σ1
r
1
dΣ +
∫ E ⋅ n̂
Σ2
2
dΣ =
∫ (− E ) dΣ + ∫ E dΣ = − E Σ
1
Σ1
+ E Σ2 = 0
Σ2
Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa
Il precedente esercizio ha un’importante interpretazione geometrica: alle linee uscenti da una superficie chiusa
corrisponde un flusso positivo, a quelle entranti un flusso negativo. In questo caso, ciascuna linea di campo entra
nel cubo attraverso Σ1 e ne esce attraverso Σ2; quindi, il flusso netto attraverso Σ è zero perché tante linee vi entrano,
quante ne escono.
r
Consideriamo ora le condizioni più generali, nelle quali il flusso di E attraverso una superficie
chiusa sia nullo.
a)
Se il campo è ancora uniforme, ma si deforma il cubo in un modo qualunque, il flusso
resta nullo; la forma della superficie non è importante.
b) Il flusso è nullo anche se si deformano le linee di campo, purché resti valido il criterio che
ciascuna linea entra e poi esce dalla superficie. Ma questa condizione vale tutte le volte
che non ci sono cariche all’interno di Σ, perché le linee nascono esclusivamente dove c’è
una carica positiva, e terminano esclusivamente dove ce n’è una negativa.
r
In conclusione: Φ Σ E = 0 se e solo se tutte le sorgenti del campo sono esterne a Σ .
()
Se invece c’è una sorgente positiva all’interno di Σ,
ci saranno linee in uscita; oppure, se la sorgente è
negativa, linee in entrata. Ma il numero di
attraversamenti non cambia se si sposta la carica o si
deforma la superficie.
Il flusso attraverso Σ dipende solo da quante
cariche si trovano dentro Σ. Il teorema di Gauss ne
fissa il valore in modo quantitativo.
Il flusso del campo generato da una carica puntiforme all’interno di una superficie chiusa
r
Consideriamo una carica q, posta al centro di una sfera Σ di raggio r. Il flusso di E attraverso S vale:
r
ΦΣ E =
( ) ∫ Er ⋅ n̂ dΣ = ∫ E dΣ = E ∫ dΣ = 4πr
Σ1
Σ1
2
E
Σ1
r
r
Infatti, E ⋅ n̂ = E perché E // n̂ in tutti i punti; inoltre, il modulo del campo ha lo stesso
q
valore in ciascun punto del dominio di integrazione, perché E =
, e la sfera è il
4πε o r 2
luogo dei punti con r costante.
r
q
Sostituendo questa espressione, si trova Φ Σ E = 4πr 2
e, infine:
4πε o r 2
()
r
q
ΦΣ E =
εo
()
Se deformiamo la sfera, il numero di linee di campo che attraversano la superficie non cambia.
Il flusso del campo generato da una carica puntiforme posta all’interno di una
superficie chiusa è pari al valore della carica, diviso per εo:
r
q
ΦΣ E =
εo
()
Il teorema di Gauss
Se all’interno della superficie Σ si trovano più cariche, per il principio di
r
sovrapposizione il flusso del campo elettrico totale E è la somma dei flussi dei
r r
campi elettrici individuali E1 , E 2 , ... e, quindi:
r
q
q
Q
Φ Σ E = 1 + 2 + ... = int
εo εo
εo
()
Se c’è anche qualche carica posta all’esterno, quest’ultima non va aggiunta alla
somma.
Il flusso del campo elettrico attraverso la superficie chiusa Σ è pari alla somma
algebrica delle cariche interne Qint = q1 + q2+…, divisa per εo:
r Q
Φ Σ E = int
εo
()
Il teorema di Gauss per un dipolo
r
Per un dipolo, Qint = 0 e quindi, in accordo col teorema di Gauss, Φ Σ E = 0 .
()
Questo risultato si interpreta osservando che le linee del campo elettrico generato dal dipolo o
non attraversano affatto Σ, oppure l’attraversano una volta in uscita e una volta in entrata,
dando quindi un contributo netto al flusso pari a zero.