Programma di massima - Dipartimento di Matematica

PROGRAMMA DI STATISTICA MATEMATICA, A.A. 2016–2017.
A. Faggionato
Nel programma sottostante riporto gli argomenti. Nel corso sono stati trattati
numeri esempi ed applicazioni. Online sono disponibili gli esercizi assegnati durante
il corso
• Richiami su alcune distribuzioni di probabilità speciali: distribuzione
di Bernoulli(p), binomiale(n,p), geometrica(p), di Poisson(λ), uniforme(a, b),
normale(µ, σ 2 ), esponenziale(β), gamma(α, β), beta(α, β), t di Student con
n gradi di libertà, χ2 a n gradi di libertà, F con m, n gradi di libertà,
multinomiale(n, p) con p = (p1 , p2 , . . . , pk ), normale multivariata(ν, Σ) .
• Statistiche campionarie: popolazione, campione, statistica, media campionaria, varianza campionaria, distribuzione approssimata della media campionaria e teorema del limite centrale, media e varianza campionaria in popolazioni normali.
• Inferenza parametrica: parametro, stimatore puntuale, stimatore non
distorto (o corretto), consistenza semplice di uno stimatore, consistenza in
media quadratica di uno stimatore, stimatore asintoticamente normale, intervallo di confidenza
• Complementi sulla convergenza di variabili aleatorie: convergenza
in probabilità, convergenza in media quadratica, convergenza debole. la
convergenza in media quadratica implica la convergenza in probabilità, la
convergenza in probabilità implica la convergenza debole, effetto di composizione con funzioni continue sulla convergenza in probabilità, teorema di
Slutzky e applicazioni, successione di variabili aleatorie limitate in probabilità, fluttuazioni gaussiane della varianza campionaria per campione con
momento quarto finito.
• Metodo delta: Metodo delta 1-dimensionale per la derivazione delle fluttuazioni gaussiane, trasformazioni che stabilizzano la varianza, teorema del
limite centrale multivariato, metodo delta multidimensionale per teoremi
limite verso una generica distribuzione (non necessariamente gaussiana)
• Stimatore parametrico ottenuto con il metodo dei momenti. Momento j–esimo, momento j–esimo campionario, stimatore (θˆ1 , θˆ2 , . . . , θˆk ) ottenuto con il metodo dei momenti. Lo stimatore dei momenti è ben definito
con probabilità asintotica 1 (nell’ampiezza del campione). Derivazione (mediante il metodo delta) delle fluttuazioni gaussiane dello stimatore parametrico ottenuto con il metodo dei momenti.
• Stimatore di massima verosimiglianza: funzione di verosimigliazianza,
funzione di log–verosimiglianza, stimatore di massima verosimiglianza, informazione di Fisher, funzione di score, Stima dla basso di Cramer–Rao, distanza di Kullback–Leibler, entropia, consistenza dello stimatore di massima
verosimiglianza, normalità asintotica dello stimatore di massima verosimiglianza,
equivarianza dello stimatore di massima verosimiglianza.
• Intervalli di confidenza per popolazioni normali: intervalli di confidenza unilaterali e bilaterali, intervallo di confidenza per la media di una
distribuzione normale quando la varianza non è nota, intervallo di confidenza
per la media di una distribuzione normale con media e varianza non note,
1
2
•
•
•
•
intervallo di confidenza per la varianza di una distribuzione normale con media e varianza non note, intervallo di confidenza per la differenza della medie
di due popolazioni normali quando le varianze sono note.
Intervalli di confidenza per popolazioni non normali: intervallo di
confidenza asintotico per il parametro p quando Xi ∼ Bern(p), intervallo di
confidenza per θ quando Xi è v.a. esponenziale di parametro θ
Elementi di statistica bayesiana: distribuzione a priori, funzione di densità a posteriori, stimatore parametrico bayesiano, caso Xi ∼ Bern(p) con
p uniformemente distribuita in (0, 1), caso Xi ∼ N (θ, σ02 ) con σ02 nota e
θ ∼ N (µ, σ 2 )
Verifica delle ipotesi. Ipotesi nulla, ipotesi alternativa, ipotesi nulla semplice o composta, test per la verifica dell’ipotesi, regione critica del test,
errore di prima specie, errore di seconda specie, livello di significatività del
test, ampiezza del test, curva operativa caratteristica, funzione di potenza,
p–valori.
Verifica di ipotesi su media µ di una popolazione normale N (µ, σ) con
varianza σ 2 nota: ipotesi nulla H0 : µ = µ0 , ipotesi nulla H0 : µ = µ0 nel
caso si sappia µ ≥ µ0 , ipotesi nulla H0 : µ < µ0 . Verifica di ipotesi su media
µ di una popolazione normale N (µ, σ) con varianza σ 2 non nota: ipotesi
nulla H0 : µ = µ0 , ipotesi nulla H0 : µ = µ0 nel caso si sappia µ ≥ µ0 ,
ipotesi nulla H0 : µ < µ0 . Verifica dell’ipotesi che due popolazioni normali
abbiano la stessa media: caso di varianze note, caso di varianze non note ma
uguali.
Test semplici del rapporto di verosimiglianza, lemma di Neyman–Pearson.
Test uniformemente più potenti di data ampiezza, test dell’ipotesi H0 : θ ≤
θ0 contro H1 : θ > θ0 nel caso di una famiglia di densità con rapporto di
verosimiglianza monotono. Test del rapporto di verosimiglianza generalizzato.
Test chi quadro: distribuzione asintotica del rapporto di verosimiglianza
generalizzato in termini delle distribuzione chi quadro, test per verificare
l’ipotesi H0 : pj = pj,0 quando Xi dà esito k con probabilità pk , test del chi
quadro di Pearson
Elementi di statistica descrittiva: mediana campionaria, moda campionaria, valore modale, percentili campionari, q–esimo quantile, mediana.
Testi di riferimento:
(1) Sheldon N. Ross; Probabilità e statistica per l’ingegneria e le scienze Apogeo.
(2) A.M. Mood, F.A. Graybill, D.C. Boes; Introduzione alla stastitica. McGraw–
Hill
(3) L. Wasserman; All of Statistics. A concise course in statistical inference.
Springer Verlag.
(4) E.L. Lehman; Elements of large–sample theory. Springer Verlag.
(5) A.W. Van Der Vaart; Asymptotic statistics. Cambridge University Press.
(6) A. Faggionato; Appunti del corso (disponibili online)