Lezione 23 Campi di spezzamento.

Lezione 23
Prerequisiti: Lezione 22.
Riferimenti ai testi: [FdG] Sezione 8.4; [H] Sezione 5.3; [PC] Sezione 6.2
Campi di spezzamento.
Definizione 23.1 Dato un campo F, e dato un polinomio f ( x ) ∈ F [ x ] , non costante, si dice campo
di spezzamento di f ( x ) su F ogni estensione L di F tale che:
i)
f ( x ) si decompone (“spezza”) in L[ x ] nel prodotto di fattori lineari;
ii)
se L ' ⊂ L è un’estensione di F tale che f ( x ) si decompone in L '[ x ] nel prodotto di fattori
lineari, allora L ' = L . In altri termini: l’estensione L è minimale rispetto alla condizione i).
Osservazione 23.2 La condizione i) equivale alla seguente: il numero delle radici di f ( x ) in L,
contate con le rispettive molteplicità, è pari al grado di f ( x ). In altri termini, un campo di
spezzamento è un campo in cui il polinomio f ( x ) ha “tutte le radici”.
Esempio 23.3 Un campo di spezzamento di f ( x ) = x 2 + 1 ∈ [ x ] su è = (i ). Un campo di
spezzamento di f ( x ) = x 2 + 1 ∈ [ x ] su è (i ). Un campo di spezzamento di
f ( x ) = x 2 − 2 ∈ [ x ] su è ( 2) . Un campo di spezzamento di f ( x ) = x 2 − 2 ∈ [ x ] su è
1
3
. Se ω è una radice primitiva cubica dell’unità, ad esempio ω = − + i
, allora l’altra radice
2
2
primitiva cubica dell’unità è ω = ω −1 = ω 2 . Quindi un campo di spezzamento di
f ( x ) = x 3 − 2 ∈ [ x ] su è ( 3 2, ω 3 2, ω 2 3 2) = (ω ) = , e un campo di spezzamento di
f ( x ) = x 3 − 2 ∈ [ x ] su è ( 3 2, ω 3 2, ω 2 3 2) = (ω , 3 2) (che grado ha questa estensione di
?).
Questi esempi mostrano che il campo di spezzamento di un polinomio dipende strettamente dal
campo dei coefficienti F a cui si fa riferimento nella Definizione 23.1.
Osservazione 23.4 Il campo di spezzamento di un polinomio su un campo non è unico. Infatti, un
altro campo di spezzamento di f ( x ) = x 2 + 1 ∈ [ x ] su è L = [ x ] /( x 2 + 1). Infatti, L è un
campo contenente tale che:
i)
f ( x ) si decompone in L[ x ] nel prodotti di fattori lineari:
f ( x ) = ( x + z )( x − z ) , ove z = x + ( x 2 + 1)
(infatti: ( x + z )( x − z ) = x 2 − z 2 = x 2 + 1, essendo z 2 + 1 = 0 in L).
ii)
L è un’estensione minimale avente questa proprietà, perché è minimale tra le estensioni
proprie, avendo grado 2.
Notiamo che, però, i campi di spezzamento e [ x ] /( x 2 + 1) sono isomorfi. In generale, vale la
proprietà dimostrata nel seguente:
Esercizio 23.5 Sia F un campo, e sia f ( x ) ∈ F [ x ] un polinomio irriducibile su F di grado 2.
Provare che allora F [ x ] /( f ( x )) è un campo di spezzamento di f ( x ) avente grado 2 su F, e che,
inoltre, ogni campo di spezzamento di f ( x ) è ad esso isomorfo.
Svolgimento: Sia I = ( f ( x )), L = F [ x ] /( f ( x )) = F [ x ]/ I , e sia z = x + ( f ( x )) = x + I . Allora
L = { p( x ) + I p( x ) ∈ F [ x ]}.
n
Ora, dato il generico polinomio p ( x ) = ∑ ai x i di F [ x ] , si ha
i =0
n
n
n
p ( x ) + I = ( ∑ ai x i ) + I = ∑ ai ( x + I )i = ∑ ai z i = p( z ) ,
i =0
i =0
i =0
dunque L = F [ x ] / I = F [ z ] . In questa estensione di F il polinomio f ( x ) si decompone nel prodotto
di fattori lineari: infatti f ( z ) = f ( x ) + I = I , (I è l’elemento zero di L) e dunque, per il Teorema di
Ruffini, esiste q( x ) ∈ L[ x ] tale che
f ( x ) = ( x − z ) q( x ) ,
ove, naturalmente, q( x ) ha grado 1.
Se q( x ) = ax + b , allora l’altra radice di f (x ) è z ' = −ba −1 ∈ L . Quindi L è un campo di
spezzamento di f (x ) su L. Il suo grado su F è pari a 2 in virtù della Proposizione 22.10, poiché
f (x ) è, a meno di un fattore invertibile, il polinomio minimo di z (e anche di z′) su F.
Sia ora K un altro campo di spezzamento di f (x ) su F. Sia w una radice di f (x ) in K. Allora,
essendo f (x ) privo di radici in F, si ha che w ∈ K − F , e f ( x ) è, a meno di un fattore invertibile,
il polinomio minimo di w su F. Poiché f ( x ) si spezza su F ( w) nel prodotto di fattori lineari, segue
che F ( w) = K . Consideriamo l’omomorfismo di valutazione in w:
ϕ w : F [ x ] → F ( w) = K
f ( x ) f ( w)
che è suriettivo, ed ha come nucleo ( f ( x )) . Allora, per il Teorema fondamentale di omomorfismo
per gli anelli (Teorema 15.5), segue che L = F [ x ] ( f ( x )) ≅ K , come volevasi.
In generale, dato un polinomio non costante f ( x ) ∈ F [ x ] , se K è un’estensione di F in cui f ( x ) ha
un numero di radici pari al suo grado, siano esse w1 ,..., wn , allora F ( w1 ,..., wn ) è un campo di
spezzamento di f ( x ) su F.
Dimostriamo ora che per ogni polinomio non invertibile e non nullo esiste un campo in cui esso di
decompone nel prodotto di fattori irriducibili.
Proposizione 23.6 Sia F un campo, e sia f ( x ) ∈ F [ x ] un polinomio non invertibile e non nullo, di
grado n. Esiste allora un’estensione L di F tale che f ( x ) si decompone in L[ x ] nel prodotto di
fattori lineari, e [ L : F ] ≤ n ! .
Dimostrazione: Procediamo per induzione su n. Se n = 1, f ( x ) ha la sua unica radice in F, dunque
basta prendere L=F per avere la tesi. Sia ora n > 1 e supponiamo la tesi vera per tutti i casi in cui
f ( x ) ha grado minore di n. Sia p ( x ) un fattore irriducibile di f ( x ) . Posto I = ( p ( x )) , si ha che
K = F [ x ] / I è un campo in virtù della Proposizione 18.10, ed, in virtù degli argomenti sviluppati
nella Lezione 22, si ha che
[ K : F ] = deg p( x ) ≤ deg f ( x ) = n.
In K il polinomio p ( x ) ha la radice z = x + I . Questa è anche radice di f ( x ) in K. Per il Teorema
di Ruffini, esiste allora un polinomio q( x ) ∈ K [ x ] tale che
f ( x ) = ( x − z ) q( x ) .
Poiché q( x ) ha grado n − 1 , l’ipotesi induttiva si applica ad esso. Dunque esiste un’estensione L di
K tale che q( x ) si decompone, in L[ x ] nel prodotto di fattori lineari:
q( x ) = c( x − w1 )( x − w2 ) ( x − wn −1 ) ,
con c, w1 , w2 ,..., wn ∈ L ,
e [ L : K ] ≤ ( n − 1)! .
Allora, in L[ x ] , f ( x ) si decompone nel prodotto di fattori lineari
f ( x ) = c( x − z )( x − w1 )( x − w2 ) ( x − wn −1 ) .
ed, inoltre, in virtù della Proposizione 21.5, [ L : F ] = [ L : K ][ K : F ] ≤ ( n − 1)! n = n !.
Nota Osserviamo che, nella decomposizione di f ( x ), il fattore c è il coefficiente direttore di f ( x )
e, in quanto tale, appartiene a F.
Inoltre, l’estensione L di F contiene un campo di spezzamento di f ( x ) , ossia
F ( z , w1 , w2 ,..., wn−1 ).
In generale, vale il seguente
Teorema 23.7 Dato un campo F , e dato un polinomio non invertibile e non nullo f ( x ) ∈ F [ x ] ,
ogni estensione L di F tale che f ( x ) si decompone in L[ x ] nel prodotto di fattori lineari contiene
un campo di spezzamento di f ( x ) . Inoltre, tutti i campi di spezzamento di f ( x ) sono isomorfi.
Dimostrazione: [PC], Corollario 6.2.12.
In base alle nozioni fin qui introdotte, possiamo ora dare una versione completa di una definizione
già nota dal corso di Algebra 1.
Definizione 23.8 Un campo F si dice algebricamente chiuso se vale una delle seguenti condizioni
equivalenti:
a) Ogni polinomio non costante a coefficienti in F ha una radice in F.
b) Ogni polinomio non costante a coefficienti in F ha in F un numero di radici pari al grado, se le
radici vengono contate con le rispettive molteplicità.
c) Ogni polinomio non costante a coefficienti in F si decompone su F nel prodotto di fattori
lineari.
d) Il campo di spezzamento di ogni polinomio a coefficienti in F è il campo F.
e) Il campo F non ha estensioni algebriche proprie.
f) Il campo F è algebricamente chiuso in ogni sua estensione.
Nota Ricordiamo che, secondo il Teorema Fondamentale dell’Algebra, il campo complesso è
algebricamente chiuso.