Corso di Laurea in Matematica Esame di Algebra II 18 giugno 2014

Corso di Laurea in Matematica
Esame di Algebra II
18 giugno 2014
Nome e Cognome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nr. matricola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Intendo sostenere la prova orale:
2 appello di giugno
2 appello di luglio
Esercizio 1. Si classifichino (a meno di isomorfismo) tutti i gruppi abeliani di ordine
504. In particolare si determinino divisori elementari, decomposizione primaria, fattori
invarianti, decomposizione fondamentale.
Esercizio 2. Si determini il campo di spezzamento K del polinomio
f (x) = x5 − x4 + x2 − x + 1 ∈ F3 [x].
In particolare si determini l’ordine di K, la fattorizzazione di f (x) in K[x] e il reticolo
dei sottocampi di K.
Esercizio 3. Si consideri la seguente matrice a

0 1 1
1 0 1
A=
1 1 0
1 1 1
elementi razionali

1
1
.
1
0
(1) Si calcolino i fattori invarianti dell’applicazione lineare LA : V (4, Q) → V (4, Q)
associata ad A.
(2) Si determinino il polinomio caratteristico pA (x) e il polinomio minimo mA (x) di
A.
(3) Si determinino le forme canoniche razionale e di Jordan di A.
Esercizio 4. Siano N e K sottomoduli del R-modulo (sinistro) M . Definiamo
(N : K) = {a ∈ R | aK ⊆ N }.
(1) Mostrare che (N : K) è un ideale sinistro di R.
(2) Mostrare che
N +K
.
(N : K) = Ann
N
1