LA GEOMETRIA CON CABRI Paolo Giangrandi [email protected] Università degli Studi di Udine Polo scientifico-tecnologico Rizzi 16 maggio 2008 Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 1 Indice 1. Introduzione .....................................................................................................................................5 Cabri vs. Programmi applicativi per disegnare................................................................................7 La rivincita della geometria .............................................................................................................8 Da Logo a Cabri...............................................................................................................................9 2. Familiarizziamo con Cabri.............................................................................................................10 L’ambiente di lavoro......................................................................................................................11 I menù ............................................................................................................................................11 I menù ............................................................................................................................................12 Gli strumenti da disegno ................................................................................................................13 Tracciare gli oggetti geometrici di base.........................................................................................14 Aggiungere le relazioni geometriche .............................................................................................16 Esempio: Tracciare rette parallele..................................................................................................17 Costruire segmenti congruenti ......................................................................................................19 Salvare e recuperare figure ............................................................................................................21 3. Manipolare figure dinamiche .........................................................................................................23 Manipolare figure dinamiche .........................................................................................................24 Relazioni geometriche e manipolazione delle figure.....................................................................25 Figure dinamiche............................................................................................................................28 4. Costruzioni Geometriche ...............................................................................................................29 Costruiamo un quadrato .................................................................................................................30 La didattica delle costruzioni geometriche ....................................................................................32 La prova trascinamento..................................................................................................................33 La grammatica delle figure ............................................................................................................35 Ricostruire figure passo-passo .......................................................................................................37 5. Cambiare l’aspetto delle figure ......................................................................................................41 Gli strumenti di Visualizza ............................................................................................................42 Etichettare gli oggetti di una figura................................................................................................43 Gli strumenti di Disegna ................................................................................................................44 Esempio: uso degli strumenti di Disegna.......................................................................................45 Nascondere gli elementi ausiliari di una costruzione.....................................................................46 6. Verificare relazioni e misurare.......................................................................................................48 Gli strumenti di Verifica proprietà.................................................................................................49 Esempio: Verificare proprietà........................................................................................................50 Gli strumenti di Misura ..................................................................................................................52 Esempio: Rapporto tra circonferenza e diametro...........................................................................53 Misurare l’area delle figure............................................................................................................54 Esempio: Triangoli equivalenti......................................................................................................55 Lo strumento Calcolatrice..............................................................................................................56 Esempio: la somma degli angoli di un triangolo............................................................................57 Misurare vuol dire Esplorare..........................................................................................................59 Esplorare vuol dire fare congetture................................................................................................60 Misurare non vuol dire Dimostrare!!!............................................................................................61 Visualizzare le dimostrazioni: il teorema di Pitagora ....................................................................62 7. Isometrie.........................................................................................................................................66 Simmetrie assiali ............................................................................................................................67 Simmetrie centrali ..........................................................................................................................68 Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 2 Vettori e Traslazioni.......................................................................................................................69 Rotazioni ........................................................................................................................................70 8. Costruire nuovi strumenti per fare geometria ................................................................................71 Macro: nuove primitive..................................................................................................................72 Macro: istruzioni per l’uso.............................................................................................................74 Salvare e ricaricare macro..............................................................................................................79 9. Luoghi geometrici ..........................................................................................................................81 L’uso di traccia e l’uso di luogo.....................................................................................................82 Visualizzare un luogo geometrico..................................................................................................84 Esempio: Costruire una parabola ...................................................................................................88 10. Cabri e il piano cartesiano............................................................................................................89 Coordinate e griglie........................................................................................................................90 Equazioni di rette e curve...............................................................................................................92 Equazioni di rette e curve...................................................... Errore. Il segnalibro non è definito. Bibliografia ........................................................................................................................................95 Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 3 Sommario 1. Introduzione......................................................................5 2. Familiarizziamo con Cabri .............................................10 3. Manipolare figure dinamiche .........................................23 4. Costruzioni Geometriche................................................29 5. Cambiare l’aspetto delle figure ......................................41 6. Verificare relazioni e misurare .......................................48 7. Isometrie .........................................................................66 8. Costruire nuovi strumenti per fare geometria ................71 9. Luoghi geometrici ..........................................................81 10. Cabri e il piano cartesiano ............................................89 Bibliografia.........................................................................95 Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 4 1. Introduzione Cabri-géomètre (o più semplicemente Cabri) è un software per l'apprendimento della geometria (piana). Strumenti simili a Cabri sono i programmi The Geometer’s Sketchpad, Cinderella e diffusi soprattutto negli Stati Uniti e Dr. Geo e GeoGebra. Cabri è stato sviluppato in Francia alla fine degli anni ’80 da tre studiosi Yves Baulac, Frank Bellemain e JeanMarie Laborde al Laboratoire de Structures Discrètes et de Didactique dell’Institut d’Informatique et Matematiques Appliqueés presso l’Université Joseph Fourier di Grenoble. Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 5 Al momento, esistono fondamentalmente tre versioni per le macchine PC: • Cabri II per l’ambiente Windows ’95 arricchita con nuovi strumenti interfaccia d’uso più amichevole; è attualmente quella più diffusa; • Cabri II Plus, che perfeziona alcune funzionalità della precedente versione e aggiunge la possibilità di rappresentare grafici di funzione e la possibilità di inserire e manipolare immagini nei fogli di disegno di Cabri; • Cabri 3D, orientato per la geometria solida tridimensionale (che non tratteremo nel presente incontro). Versioni analoghe sono disponibili per l’ambiente Macintosh. In questo incontro faremo riferimento alle versioni Cabri II e Cabri II Plus per i PC. Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 6 Cabri vs. Programmi applicativi per disegnare Cabri è uno strumento didattico la cui filosofia di fondo va ben compresa, altrimenti si rischia di scambiare questo strumento per un programma con cui fare disegni. Microsoft Paint: un ambiente per disegnare figure Cabri non serve per tracciare figure geometriche, ma serve a “ragionare” sulle figure geometriche e sulle loro proprietà. Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 7 La rivincita della geometria Negli anni ’50 e ’60 il movimento bourbakista ha contribuito ad un rinnovamento della matematica attraverso lo studio dei concetti matematici in termini di strutture matematiche. Sul piano didattico l’influenza di questo movimento ha portato all’introduzione della “matematica moderna” con un ridimensionamento, se non addirittura un abbandono, dello studio della geometria tradizionale. Le esperienze successive hanno però rivelato i limiti della matematica moderna e hanno evidenziato l’importanza della geometria nella formazione degli studenti. A partire dagli anni ’90, Cabri si è inserito in questo processo di recupero della geometria: • ha contribuito ad un rinnovamento dei metodi didattici per l’insegnamento di tale disciplina, • ha arricchito il tradizionale metodo di studio con un’attività di scoperta, fondamentale per stimolare le capacità di osservazione e di intuizione dello studente, • ha permesso di conservare il rigore deduttivo dell’approccio tradizionale. Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 8 Da Logo a Cabri Cabri ha permesso di riportare l’attenzione sulla procedura costruttiva coniugando in modo efficace le capacità operative dell’allievo con le conoscenze teoriche di geometria. La filosofia di CABRI è quella tipica degli ambienti software per l’esplorazione (il linguaggio Logo si può considerare un antesignano di tale corrente), assimilabile alla filosofia dei mattoncini Lego: i mattoni di base sono i punti, i segmenti, le rette, i cerchi, … con cui l’allievo può costruire nuovi oggetti geometrici e manipolarli per comprenderne le proprietà. Logo e Cabri mettono lo studente di fronte a due micromondi in cui “sperimentare” la geometria: palestre cognitive per il “problem finding” e il “problem solving”. Diversamente dal Logo, con Cabri non è necessario imparare un linguaggio di programmazione per poter costruire le figure, ma queste possono essere descritte con azioni molto vicine a quello in uso nell’ambiente familiare di “carta e matita”. Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 9 2. Familiarizziamo con Cabri Cabri rappresenta un ambiente ricco di strumenti grafici che permettono di disegnare in modo intuitivo un po’ tutte le figure di base della geometria piana. Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 10 L’ambiente di lavoro menù per gestire file, per modificare opzioni e per selezionare finestra di lavoro stato degli attributi grafici Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 strumenti per disegnare area di disegno (foglio di disegno) 11 strumenti per controllare l’aspetto grafico degli oggetti barre di scorrimento per spostarsi sul foglio di disegno (per vedere le parti non visibili del disegno) I menù menù Archivi: per recuperare e salvare file, per stampare, ... menù Edita: per annullare comandi, per copiare o tagliare disegni, ... Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 menù Opzioni: per visualizzazione di attributi, impostazione di valori predefiniti, configurazioni particolari, ... menù Finestra: per passare da un foglio di lavoro ad un altro, per affiancare più fogli, ... menù Aiuto: per avere informazioni di aiuto sui vari strumenti 12 Gli strumenti da disegno Gli strumenti rappresentano gli attrezzi che l’utente può utilizzare per realizzare le costruzioni geometriche. Questi strumenti sono divisi in diversi gruppi come mostra la seguente figura. proprietà: per verificare relazioni geometriche punti: per creare punti, ... puntatore: per selezionare, muovere, o deformare oggetti macro: per definire nuovi strumenti curve: per tracciare circonferenze e altre coniche rette: per creare rette, segmenti, poligoni, ... trasforma: per realizzare simmetrie, omotetia, ... costruisci: per tracciare parallela, perpendicolare, asse, bisettrice, ... Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 misura: per misurare lunghezze, angoli, aree, ... visualizza: per annotazioni e per animare disegni disegna: per modificare l’aspetto degli oggetti 13 Tracciare gli oggetti geometrici di base Gli strumenti di base in Cabri sono delle virtualizzazioni dei più comuni strumenti di disegno: • la penna, • la riga, • la squadra, • il compasso, e • la gomma per cancellare. In Cabri questi strumenti vengono simulati mediante l’uso del mouse. Per tracciare rette, segmenti, ecc. è disponibile un gruppo di strumenti illustrati nella seguente figura: Dopo aver selezionato nel menù l’oggetto desiderato, è possibile tracciarlo sul foglio di lavoro mediante il puntatore controllato dal mouse. Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 14 Ad esempio, dopo aver selezionato lo strumento è possibile tracciare una Circonferenza, circonferenza sul foglio di lavoro indicando il centro del cerchio e un punto qualsiasi della circonferenza. Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 15 Aggiungere le relazioni geometriche In geometria non sono importanti solo gli oggetti geometrici, ma giocano un ruolo altrettanto fondamentale le relazioni geometriche. Per studiare le proprietà delle figure è infatti essenziale tener conto delle relazioni geometriche. La relazioni geometriche più semplici sono “essere parallelo”, “essere perpendicolare”. lo strumento Retta perpendicolare crea una retta passante per un punto e perpendicolare ad un oggetto lineare selezionato (retta, segmento, semiretta o lato di un poligono) lo strumento Retta parallela crea una retta passante per un punto e parallela ad un oggetto lineare selezionato (retta, segmento, semiretta o lato di un poligono) lo strumento Punto medio crea un punto a metà di un segmento, o di un lato di un poligono o tra due punti; lo strumento Asse crea una retta perpendicolare a un segmento, al lato di un poligono o tra due punti e passante per il punto medio dell’oggetto selezionato lo strumento Bisettrice crea una retta che divide un angolo dato in due angoli congruenti. Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 16 Esempio: Tracciare rette parallele Supponiamo di aver già tracciato una retta r e un punto P ad essa esterno. Proviamo a tracciare una retta parallela. Per costruire una retta passante per un punto P e parallela ad una retta r, bisogna selezionare lo strumento Retta parallela. E’ quindi possibile selezionare il punto P e poi la retta r. Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 17 Notiamo che quando ci avviciniamo al punto P, Cabri evidenzia il messaggio “per questo punto” in modo che l’utente decide se far passare la parallela per P o per un punto prossimo a P, ma da esso distinto. Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 18 Costruire segmenti congruenti • Un compasso reale mantiene fissa l’apertura delle aste fino a quando si desidera. Questo permette di tracciare vari cerchi della medesima ampiezza e di costruire anche segmenti congruenti. • In Cabri, lo strumento Circonferenza non consente di fare questa operazione, ma occorre invece usare lo strumento Compasso. Questo strumento permette di costruire un cerchio di raggio pari ad un segmento dato. Il centro del cerchio può trovarsi in una posizione qualsiasi del piano. In tal modo è possibile costruire segmenti congruenti: Dato un segmento AB e un punto C su una retta r, supponiamo di voler staccare sulla retta r un segmento congruente ad AB a destra di C. Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 19 Prima si selezionano i due estremi del segmento AB e, poi, il centro C del cerchio da tracciare. Esempio: Dati tre segmenti, costruite il triangolo che ha i lati congruenti ai tre segmenti. Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 20 Salvare e recuperare figure Le figure realizzate sul foglio di lavoro possono essere conservate per più sessioni di lavoro memorizzandolo su hard disk, o su floppy disk. Il salvataggio può essere effettuato con il comando Salva con nome presente nel menù File. Dopo aver selezionato Salva con nome, compare una finestra dove è possibile specificare il nome del file e scegliere la cartella dove conservare il file. Le figure possono essere salvate in tre diversi formati. Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 21 Con il comando Apri presente nel menù File è possibile recuperare (“aprire”) una figura precedentemente salvata. Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 22 3. Manipolare figure dinamiche <<In Cabri cambia totalmente il concetto di figura geometrica che da oggetto statico diventa un oggetto dinamico, che racchiude in sé “infinite” figure diverse>> [E. Castagnola] Una delle caratteristiche fondamentali di Cabri è la dinamicità delle figure: mentre il disegno che possiamo fare su un foglio di carta è essenzialmente statico, in Cabri, una volta create, le figure geometriche possono essere facilmente manipolate, trascinando direttamente sullo schermo punti o lati delle figure costruite, mantenendo però le relazioni che erano state loro attribuite al momento della costruzione. Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 23 Manipolare figure dinamiche Una volta che avete tracciato alcuni oggetti geometrici, Cabri vi permette di manipolarli attraverso il mouse tirando i punti che caratterizzano la figura: (a) (b) Cabri risponde alle nostre azioni modificando in tempo reale l’oggetto. Osservazione! Se un punto appartiene ad una retta o ad una circonferenza può essere spostato solo lungo la retta o la circonferenza. Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 24 Relazioni geometriche e manipolazione delle figure Nelle figure di Cabri ci sono • elementi geometrici “liberi”, tracciati con gli strumenti Punto, Retta, Circonferenza, ecc., ed • elementi geometrici “vincolati” ai precedenti secondo le relazioni geometriche scelte dall’utente; questi vengono costruiti mediante gli strumenti di relazione, come Perpendicolare, Parallelo, Punto medio, Asse, Bisettrice, ecc. Supponiamo di aver tracciato una retta r e un punto P ad essa esterno e la parallela s ad r passante per P: parallela s: elemento vincolato retta r e punto P: elementi liberi Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 25 La distinzione tra elementi liberi ed elementi vincolati è fondamentale quando si vuole modificare la figura, poiché solo gli elementi liberi possono essere afferrati con il puntatore e spostati mediante il mouse. Gli elementi vincolati rispondono ai trascinamenti effettuati sugli elementi liberi conservando le relazioni imposte nella costruzione. Modificando la direzione della retta r, la retta s si muoverà automaticamente in modo da continuare ad essere parallela ad r e da passare per il punto P: Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 26 Questa dipendenza vale anche per le relazioni composte: se oltre ad s, c’è una retta t perpendicolare ad s, anche t si muove nel momento in cui spostiamo r. Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 27 Figure dinamiche <<… con i software di geometria dinamica, cambia la stessa nozione di figura geometrica, che da statica, come nelle figure tracciate alla lavagna o nel quaderno, diventa qualcosa di dinamico, con la quale si può interagire>>. [L. Tomasi] Lavorare su figure dinamiche significa dare allo studente la possibilità di manipolare direttamente le figure per scoprirne le proprietà. Nell’apprendimento tradizionale della geometria egli può solo osservare figure statiche sul libro o sul proprio quaderno. Questa dinamicità è fondamentale • per cercare invarianti (formulando congetture), • per esplorare i luoghi geometrici, • per aiutare lo studente nella dimostrazione, • per vedere se una costruzione è ben fatta (come vedremo più avanti). La geometria tradizionale tende ad essere una geometria statica, dove le proprietà si riferiscono a figure “ferme” e dove il movimento e le trasformazioni (geometriche) entrano a fatica. Cabri, grazie alla sua dinamicità, contribuisce alla comprensione della geometria del movimento presente nell’insegnamento più moderno. Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 28 4. Costruzioni Geometriche <<Cabri aiuta a focalizzare l’attenzione sulla procedura costruttiva e non solo sul disegno come risultato della procedura.>> [M.A. Mariotti] Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 29 Costruiamo un quadrato In geometria esiste una differenza fondamentale tra • disegnare una figura: è importante solo l’aspetto finale (forma) della figura; • costruire una figura: la realizzazione della figura deve essere basata sugli strumenti di disegno in modo da rispettare le relazioni geometriche che caratterizzano la definizioni della figura. Esempio: Supponiamo di voler costruire un quadrato di data base Prima tracciamo la perpendicolare alla base. Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 30 Sulla perpendicolare costruiamo con lo strumento Circonferenza un segmento di lunghezza pari alla base. Tracciamo un’altra perpendicolare e su di essa individuiamo un segmento sempre di lunghezza uguale alla base tracciando una circonferenza. Infine, completiamo il quadrato tracciando il quarto lato. Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 31 La didattica delle costruzioni geometriche Cabri ha portato a riscoprire il valore formativo delle costruzioni geometriche. Le costruzioni geometriche permettono di applicare: • la conoscenza delle definizioni, • la conoscenza dei teoremi, • la conoscenza delle possibilità costruttive dei vari strumenti di disegno. Le costruzioni geometriche aiutano lo studente: • a rinforzare il tradizionale studio della geometria, troppo legato alle dimostrazioni geometriche; • a compiere ragionamenti spaziali e a manipolare gli oggetti geometrici; • a risolvere problemi rispettando regole costruttive precise; • ad applicare i teoremi per costruire una data figura o per giustificare un dato procedimento costruttivo; • a concatenare/integrare insieme diversi concetti geometrici al fine di risolvere un dato problema. Riga graduata: molti studenti non sanno costruire le figure geometriche perché il loro modo di disegnare è influenzato negativamente dall’uso della riga graduata e da sistemi di riferimento già presenti nel foglio da disegno (carta quadrettata, …). Interdisciplinarietà: matematica e disegno tecnico. Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 32 La prova trascinamento Cabri permette di distinguere • un disegno geometrico fatto a occhio da • una costruzione geometrica eseguita rispettando le relazioni geometriche. Esempio: cosa succede se costruiamo il quadrato a occhio senza usare le relazioni geometriche? Prova trascinamento: tiriamo, ad esempio, il vertice B Se il quadrato non è stato costruito utilizzando le opportune relazioni geometriche, la prova trascinamento finirà per “distruggere” il quadrato. Infatti, trascinando con il mouse i vertici del quadrato, la figura si deforma in un quadrilatero irregolare. Nella realizzazione del quadrato non è sufficiente costruire una figura composta di quattro segmenti disposti con la forma del quadrato. Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 33 Diversamente, in una costruzione geometrica la prova trascinamento conserva la figura del quadrato: La prova trascinamento è il paradigma didattico in Cabri e in un certo senso ne costituisce l’essenza. E’ l’elemento chiave che distingue CABRI dai disegni su un foglio di carta. Se una figura geometrica viene costruita seguendo solo la forma e non le proprietà della definizione, la prova trascinamento la distrugge. Questo criterio di accettazione direttamente visibile è di particolare importanza didattica ed è assolutamente impossibile con i disegni su carta o su lavagna. <<Mentre di fronte ad una dimostrazione personale lo studente non ha alcun modo di vedere se è giusta, la prova trascinamento è qualcosa di visibile, che può essere fatto dallo studente stesso.>> [M.A. Mariotti] Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 34 La grammatica delle figure Per costruire un quadrato, lo studente non deve tracciare solo quattro segmenti congruenti, ma deve esplicitare anche le relazione di perpendicolarità tra di essi. In definitiva, le figure di CABRI sono costituite da • oggetti grafici visibili (punti, rette, segmenti, circonferenze, ecc.), e • relazioni geometriche (parallelismo, perpendicolarità, congruenza, appartenenza, simmetria assiale, ecc.) non direttamente visibili. Le relazioni geometriche sebbene invisibili, • sono importanti quanto gli elementi geometrici visibili e giocano un ruolo essenziale nelle costruzioni e nelle dimostrazioni geometriche; • insieme agli elementi visibili contribuiscono a definire “la grammatica delle figure”. Questo fatto comporta che per costruire le figure geometriche (quadrato, parallelogramma, ecc.) bisogna conoscere le loro definizioni in forma corretta e completa, altrimenti la prova trascinamento distrugge la figura. Non è sufficiente ricordare la forma di una figura, poiché conoscere la forma non significa conoscerne le relazioni geometriche tra gli elementi della figura. Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 35 La prova trascinamento rende visibili le relazioni geometriche e obbliga lo studente a esplicitare (e quindi a conoscere) la definizione di una figura. In altri programmi per il disegno grafico le relazioni geometriche (perpendicolarità, parallelismo, ...) rimangono quasi sempre implicite o al più in secondo piano. Anzi, questi programmi offrono primitive che permettono già di tracciare numerose figure comuni, senza lasciare allo studente la possibilità di applicare le definizioni di tali figure. In questi programmi le primitive di base riguardano quasi esclusivamente gli oggetti grafici: punti, rette, cerchi, poligoni, ecc. Per costruire le figure CABRI offre invece una serie di comandi di base corrispondenti alle “relazioni” geometriche più comuni: punto appartenente ad una retta, punto appartenente ad una circonferenza, retta parallela ad un’altra, retta perpendicolare ad un’altra, ecc. L’apparente semplicità ed essenzialità degli strumenti disponibili in Cabri costituiscono il vero punto di forza di questo software e lo rendono didatticamente più efficace di tanti altri pacchetti applicativi professionali per il disegno. Esempio rette perpendicolari: es1, es2, es3. Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 36 Ricostruire figure passo-passo Dopo aver realizzato una data figura, spesso è utile rivedere i vari passi seguiti per la costruzione. Il comando Ricostruzione passo a passo consente di rivedere la costruzione di una figura passo per passo. Proviamo ad esempio a rivedere la costruzione passo per passo del quadrato realizzato in precedenza. Il comando Ricostruzione passo a passo opera come la tastiera di un registratore: a) permette di andare all’inizio della costruzione; b) tipo di oggetto costruito; c) permette di tornare indietro di un singolo passo; d) permette di avanzare di un singolo passo; e) permette di andare alla fine della costruzione. Esempio costruzione quadrato. Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 37 Avanzamento di un passo: Dopo alcuni passi in avanti: Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 38 Dopo alcuni passi in avanti: Fine della costruzione: Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 39 Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 40 5. Cambiare l’aspetto delle figure Le costruzioni realizzate con Cabri possono essere rese più “leggibili” migliorandone l’aspetto grafico e introducendo nomi o commenti per gli elementi della figura. Questi elementi aiutano a ragionare sulle figure tracciate e, soprattutto, a descrivere le figure al fine di comunicare agli altri le osservazioni compiute. Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 41 Gli strumenti di Visualizza Permette di etichettare i vari elementi geometrici (punti, rette, angoli, ...) Permette di scrivere un commento sul foglio di disegno Permette di scrivere un numero sul foglio da usare, ad esempio, per una rotazione o per una omotetia Permette di contrassegnare un angolo con un archetto Permette di bloccare o sbloccare la posizione di un punto libero Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 42 Etichettare gli oggetti di una figura In generale per descrivere le figure e per ragionare su di esse è comodo poter dare un nome agli oggetti grafici della figura. Lo strumento Nomi permette di associare un nome o una lettera ai vari elementi grafici. Num Testo di commento Etichette Archetto per segnare un angolo E’ possibile anche aggiungere al testo dei riquadri con commenti utili a descrivere aspetti della figura. Questo può essere fatto mediante lo strumento Testo. Su foglio possono essere scritti anche numeri utili per la costruzione di figure mediante lo strumento Numeri. Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 43 Gli strumenti di Disegna Questi strumenti permettono di migliorare l’aspetto delle figure da noi realizzate rendendole più chiare. La seguente figura mostra la funzione di ciascun strumento presente in tale gruppo. Permette di nascondere oggetti o di farli riapparire Permette di modificare il colore di un oggetto Permette di colorare figure chiuse (poligoni, cerchi, ...) Permette di cambiare lo spessore del contorno di un oggetto Permette di modificare una linea da continua a tratteggiata Permette di cambiare l’aspetto di un punto, i segni di un angolo o di un segmento, ... Gli ultimi tre strumenti servono per la geometria del piano cartesiano... Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 44 Esempio: uso degli strumenti di Disegna La seguente figura mostra come siano stati utilizzati diversi espedienti grafici per migliorare l’aspetto delle figure: Possiamo notare l’uso del colore di riempimento per i quadrilateri, l’uso del tratteggio, la marcatura di un angolo retto, … Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 45 Nascondere gli elementi ausiliari di una costruzione Nella realizzazione di una costruzione geometrica spesso è necessario tracciare numerosi oggetti grafici ausiliari che non sono rivelanti per i successivi ragionamenti geometrici. Cabri consente di rendere invisibili questi elementi ausiliari in modo da aiutare lo studente a concentrarsi sugli elementi di interesse. Ad esempio, riconsideriamo la costruzione realizzata in precedenza per il quadrato. Può essere migliorata evidenziando i lati del quadrato e nascondendo tutti i dettagli costruttivi impiegati per arrivare al quadrato. Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 46 Il risultato finale mostra solo la figura che interessa: Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 47 6. Verificare relazioni e misurare Cabri non è solo un ambiente ideale per costruire e manipolare figure geometriche, ma può essere impiegato proficuamente per studiare teoremi e per formulare congetture sulle proprietà di figure geometriche. A tale scopo, Cabri mette a disposizione due tipi diversi di strumenti per acquisire informazioni sulle figure realizzate: - strumenti per verificare proprietà, permettono di verificare la validità di proprietà come l’allineamento di punti, la congruenza di segmenti, il parallelismo tra rette, ecc. - strumenti per misurare, permettono di compiere misurazioni di vario genere sugli elementi delle figure, come determinare la lunghezza di segmenti, l’ampiezza di angoli, l’area di figure, ecc. Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 48 Gli strumenti di Verifica proprietà Questi strumenti permettono di verificare la validità di alcune relazione geometriche, come parallelismo, allineamento, ecc. La seguente figura mostra gli strumenti a nostra disposizione. Permette di verificare se tre punti giacciono sulla stessa retta Permette di verificare se due rette (o segmenti o semirette) sono parallele Permette di verificare se due rette (o segmenti, o semirette) sono perpendicolari Lo strumento valuta se dati tre punti, il primo punto è equidistante dagli altri due Permette di verificare se un punto si trova su un dato oggetto geometrico Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 49 Esempio: Verificare proprietà Consideriamo un triangolo inscritto in una circonferenza con un lato coincidente con il diametro. Verifichiamo che i lati AC e BC sono perpendicolari. Dopo aver selezionato lo strumento Perpendicolare?, possiamo selezionare i due segmenti AC e BC, di cui vogliamo controllare la perpendicolarità. Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 50 Modificando la figura si può osservare che la proprietà sussiste ancora: Con un’altra figura in cui nessuno dei tre lati è diametro della circonferenza si osserva che la proprietà non sussiste più. Questo tipo di osservazione dovrebbe aiutare lo studente • a formulare come congettura che ogni triangolo inscritto in una semicirconferenza è rettangolo e • a interrogarsi sul perché. Naturalmente rimane il compito di procedere alla dimostrazione della verità della congettura. Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 51 Gli strumenti di Misura Gli strumenti di Misura permettono di compiere misurazioni di vario tipo sulle figure. Permette di determinare la lunghezza di un segmento, o la distanza tra due oggetti, o il perimetro di un poligono o di un cerchio. Permette di determinare l’area di una figura (occorre selezionare un poligono o una circonferenza) Permette di determinare l’ampiezza di un angolo ABC (selezionando prima il punto A, poi il punto B e, infine, il punto C, oppure selezionando l’archetto che marca l’angolo). Deformando la figura, le misure vengono aggiornate automaticamente in modo da riflettere la nuova figura. Esempio triangolo isoscele. Mentre la riga graduata reale può essere usata sia in fase costruttiva che in fase di acquisizione dati (per fare congetture), in Cabri queste due funzionalità sono separate. Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 52 Esempio: Rapporto tra circonferenza e diametro modificando il diametro del cerchio … Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 53 Misurare l’area delle figure Per misurare l’area di una figura limitata Cabri mette a disposizione lo strumento Area tra gli strumenti di Misura. Selezionando la figura è possibile avere la misura dell’area nel sistema di misura selezionato. Per poter misurare l’area, è necessario che la figura sia stata tracciata con gli strumenti Triangolo, o Poligono o Circonferenza. Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 54 Esempio: Triangoli equivalenti Tutti i triangoli con la stessa base e la stessa altezza sono equivalenti Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 55 Lo strumento Calcolatrice Nello studio delle proprietà di una figura geometrica è utile poter considerare non solo semplici misurazioni sugli elementi delle figura, ma anche poter compiere operazioni su tali dati. A tale scopo, Cabri mette a disposizione lo strumento Calcolatrice (presente negli strumenti di Misura) che offre tutte le funzioni matematiche di una normale calcolatrice tascabile scientifica. I dati vengono inseriti digitando direttamente i numeri, oppure selezionando misurazioni effettuate sui disegni. Il risultato dell’operazione matematica si ottiene cliccando il tasto = e può essere trasportato con il mouse sul foglio da disegno dopo aver selezionato la casella del risultato. Questo strumento risulta utile sia per verificare teoremi, sia per formulare congetture. Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 56 Esempio: la somma degli angoli di un triangolo Consideriamo un triangolo scaleno e misuriamone gli angoli interni. Attiviamo la voce Calcolatrice negli strumenti di Misura. Selezioniamo le misure degli angoli da sommare intercalate dall’operatore di somma. Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 57 Premendo il tasto uguale possiamo ottenere il risultato.Tale risultato può essere trasportato nel disegno e mediante lo strumento Testo possiamo anche modificare il testo associato al risultato: Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 58 Misurare vuol dire Esplorare Date due circonferenze secanti nei punti A e B e considerato un qualsiasi punto C su una delle due circonferenze, tracciamo le semirette CA e CB che incontrano l’altra circonferenza in D e in E rispettivamente. Esaminate i vari segmenti. Cosa potete dire? … Provate a spostare C … Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 59 Esplorare vuol dire fare congetture Invariante: Il segmento DE conserva la stessa lunghezza al variare di C. Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 60 Misurare non vuol dire Dimostrare!!! Cabri permette di misurare segmenti, angoli e aree osservando in tempo reale l’evoluzione di queste misure al variare della figura. Attraverso un altro strumento (Tabella) lo studente può anche tabulare i valori raccolti nelle proprie esplorazioni. Le osservazioni e le misurazioni realizzate con Cabri sono un aiuto importante per fare geometria e permettono all’allievo di “scoprire” nuove proprietà. Non bisogna comunque dimenticare di sottolineare con gli allievi che la misurazione di per sé non dà una dimostrazione delle proprietà scoperte: la verità di un teorema deve essere sempre provata mediante una dimostrazione. Le misurazioni effettuate sulle figure non possono essere considerate come dimostrazioni poiché • al pari delle misurazioni effettuate sugli oggetti reali, ogni misurazione fa riferimento a figure specifiche e la manipolazione di queste figure non consente di cogliere la totalità delle figure a cui fanno riferimento i teoremi (“... in tutti i triangoli rettangoli...”); • la precisione delle misurazioni realizzate in Cabri è sempre finita e non esatta in senso matematico. Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 61 Visualizzare le dimostrazioni: il teorema di Pitagora In alcuni casi la dinamicità delle figure si rivela un ausilio prezioso per illustrare la dimostrazione di un teorema… Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 62 Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 63 Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 64 Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 65 7. Isometrie Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 66 Simmetrie assiali Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 67 Simmetrie centrali Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 68 Vettori e Traslazioni Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 69 Rotazioni Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 70 8. Costruire nuovi strumenti per fare geometria All’inizio l’universo di Cabri presenta solo un piccolo numero di oggetti primitivi e di costruzioni possibili. Ma l’insieme di queste primitive può essere ampliato grazie alle “macro-costruzioni” che permettono di definire una nuova costruzione semplicemente indicandone gli elementi iniziali e il risultato finale su un prototipo realizzato sullo schermo. In questo modo, l’universo geometrico si arricchisce di nuove astrazioni che segnano la scoperta della geometria e permettono di andare verso situazioni di complessità crescente. <<La macro sintetizza una conoscenza (teorica e operativa) acquisita per diventare uno strumento per costruzioni (e conoscenze) ulteriori.>> [P. Boieri] Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 71 Macro: nuove primitive Cabri permette all’utente di memorizzare la sequenza di passi di una costruzione dando ad essa un nome simbolico. Questa sequenza può essere richiamata e riutilizzata quante volte si desidera per costruire figure analoghe a quella originale. Le macro generalizzano la costruzione da noi realizzata in quanto non permettono solo di creare copie identiche della costruzione originale, ma possono essere applicate su figure dove le dimensioni degli elementi geometrici sono diverse da quelle degli oggetti originali. Ad esempio, nel caso del triangolo equilatero la stessa macro può essere usata per tracciare triangoli equilateri di dimensione diversa. MACRO: TRIANGOLO GENERALIZZAZIONE PROTOTIPO Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 72 Questa cosa può essere realizzata mediante l’uso delle macro che, in tal modo, consentono di arricchire l’insieme degli strumenti disponibili in Cabri con un nuovi strumenti realizzati dall’utente permettendo di realizzare figure sempre più complesse. Le macro sono quindi un meccanismo fondamentale per dominare la complessità delle figure geometriche. Le macro costituiscono un meccanismo per definire astrazioni simile alla definizione di procedure nei linguaggi di programmazione. Ad esempio, una volta che lo studente ha scoperto come realizzare un triangolo isoscele, dati base e lato obliquo, è possibile dare un nome a tale procedura e conservarla per riutilizzarla in seguito. La parametrizzazione rende ancora più generale la procedura, poiché consente allo studente di definire la procedura a partire da un prototipo, cioè da una caso particolare, indicando poi quali lati vanno considerati parametri. La cosa interessante è legata al fatto che la definizione non richiede istruzioni simboliche (tipiche di un linguaggio di programmazione), ma può essere specificata manipolando direttamente gli oggetti grafici tracciati sullo schermo. Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 73 Macro: istruzioni per l’uso Le “macro-costruzioni” permettono di definire un nuovo strumento di costruzione a partire semplicemente da un prototipo. Su tale prototipo è sufficiente indicare gli elementi iniziali, il risultato finale e poi dare un nome al nuovo strumento. Immaginiamo di dover tracciare numerosi triangoli equilateri sul foglio di disegno. Una volta che abbiamo costruito un primo triangolo equilatero, sarebbe comodo poter realizzare gli altri automaticamente senza dover compiere di nuovo tutti i passi della costruzione geometrica. Innanzi tutto costruiamo un triangolo equilatero a partire dal segmento base. Ricordiamoci che il triangolo finale deve essere realizzato con lo strumento Triangolo (non con tre segmenti). Attiviamo quindi la voce Oggetti iniziali nello strumento Macro: Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 74 Selezioniamo quindi il segmento iniziale da cui siamo partiti per realizzare il triangolo equilatero. Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 75 Ora selezioniamo la voce Oggetti finali nello strumento Macro. e selezioniamo l’intero triangolo: Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 76 A questo punto è possibile definire la macro attivando la voce Definizione della macro nello strumento Macro. Mediante la finestra di dialogo possiamo indicare il nome con cui richiamare la sequenza di passi, possiamo specificare un eventuale messaggio di aiuto e possiamo associare al nuovo strumento un’icona di riconoscimento: La definizione così realizzata determina un nuovo strumento a disposizione nel gruppo Macro. Questo strumento ora può essere richiamato e usato come gli altri strumenti predefiniti di Cabri. Dopo aver attivato lo strumento selezioniamo un segmento. Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 77 Cliccando avremo equilatero: Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 come risultato un triangolo 78 Salvare e ricaricare macro Per salvare la macro da utilizzare in più sessioni è necessario attivare la spunta di Salva come file nella finestra di dialogo Definizione della macro: Chiudendo la finestra si apre un’altra finestra che ci consente di memorizzare la macro come file: Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 79 Quando vogliamo invece ricaricare la macro è sufficiente utilizzare la voce Apri nel menù File indicando come Tipo file le macro: Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 80 9. Luoghi geometrici La dinamicità di Cabri ne fa uno strumento particolarmente efficace per lo studio dei luoghi geometrici. La possibilità di modificare una figura per trascinamento permette di vedere la “traiettoria” percorsa da un punto. A tutto questo si aggiunge il fatto che Cabri permette di visualizzare luoghi geometrici materializzando la traccia di un punto prescelto quando un altro punto è spostato rispettando certi vincoli. In questo ambito Cabri mostra una superiorità netta nei confronti del disegno su carta che non ha la possibilità di visualizzare la traccia di un punto mobile. Il luogo geometrico è un concetto intrinsecamente legato al movimento e pertanto Cabri costituisce un ambiente ideale per studiare i luoghi geometrici. Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 81 L’uso di traccia e l’uso di luogo In Cabri esistono due modalità per materializzare la curva di un luogo geometrico: • Traccia: questa primitiva era l’unica disponibile nella prima versione di cabri per DOS; • Luogo: rappresenta un perfezionamento della primitiva precedente ed è disponibile solo nella versione Cabri-II. Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 82 Mentre Traccia consente solo di visualizzare la traiettoria percorsa da un punto, la primitiva Luogo genera un oggetto che può essere parzialmente manipolato come le altre rette e circonferenze (fissando, ad esempio, su di esso un punto, ecc.) Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 83 Visualizzare un luogo geometrico Non tutte le definizioni date in geometria si prestano per una costruzione diretta (definizioni costruttive). Ad esempio: “L’asse del segmento è il luogo geometrico dei punti equidistanti dagli estremi”. Cabri offre un comando per costruire un luogo geometrico e questo permette di cogliere definizioni non di tipo costruttivo. Innanzi tutto, costruiamo un punto equidistante dagli estremi del segmento AB. Questo può essere fatto costruendo una circonferenza di centro A e raggio AC. Quindi costruiamo con lo strumento Compasso una circonferenza con lo stesso raggio e centro B. Siano P Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 84 e P’ i punti intersezione: questi punti sono ovviamente equidistanti da A e B. Variando il raggio AC della circonferenza vedremo spostarsi anche i punti P e P’. Per studiare il percorso di tali punti utilizziamo lo strumento Luogo disponibile nel gruppo di strumenti Costruisci. Attiviamo strumento e selezioniamo i due punti P e P’. Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 85 Purtroppo, Cabri II non riesce a costruire in modo completo l’asse, ma lascia incompleta una parte. Nella nuova versione Cabri II Plus l’inconveniente tecnico è stato invece risolto. Possiamo verificare che il luogo tracciato da tali punti corrisponde esattamente alla definizione data in precedenza del concetto di asse del segmento. Tracciamo due punti qualsiasi R e S sul luogo geometrico e facciamo passare una retta per questi due punti. Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 86 Utilizzando gli strumenti del menù Verifica possiamo verificare che la retta per RS è perpendicolare al segmento AB e, inoltre, passa per il punto medio del segmento AB. Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 87 Esempio: Una scala appoggiata al muro Una scala è appoggiata al muro. A metà della presente un gancio. Ad un certo momento la scala comincia a scivolare. Quale traiettoria viene percorsa dal gancio? Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 88 10. Cabri e il piano cartesiano Nello studio della geometria analitica, il rapporto tra figure ed equazioni è invertito rispetto a DERIVE. In questo caso, l’utente costruisce l’oggetto grafico e Cabri visualizza equazione e coordinate di punti. Modificando l’oggetto grafico o spostando punti, lo studente può vedere come cambiano i parametri delle equazioni. Dal punto di vista del linguaggio verbale CABRI non è particolarmente efficace perché tende a bypassare l’uso delle parole grazie all’interfaccia ad icone, che contribuisce a mantenere l’attenzione dello studente sugli elementi geometrici e sulle relazioni geometriche. Per compensare questa carenza è opportuno integrare il lavoro con schede di lavoro. Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 89 Coordinate e griglie Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 90 Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 91 Equazioni di rette e curve Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 92 Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 93 Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 94 Bibliografia 1. P. Boieri e C. Dané (2003) Cabri – Laboratorio informatico per la matematica. Loescher. 2. P. Boieri e C. Dané (2003) Geometria con Cabri – Costruire, scoprire e dimostrare. Loescher. 3. Brambilla M., Facciotto L. e Lamanna E. (1999) Moduli operativi per Cabri-géomètre. Paravia. 4. Brigaglia A., Indovina G. 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Texas Instruments. 14. Trudeau R.J. (1991) La rivoluzione non euclidea. Boringhieri. 15. Verdiani R. (1998) Costruzioni Geometriche. In Nuova Secondaria, n.3. http://www.fardiconto.it/flatlandia http://www.fardiconto.it/cabrirrsae/ http://kidslink.bo.cnr.it/fardiconto/cabrijava/risorse.html http://www.fardiconto.it/esplorare/Defalut.htm Paolo Giangrandi – 16 maggio 2008 96