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Numeri Primi
Tra i numeri naturali esistono dei numeri che si dicono primi cioè sono divisibili solo per se
stessi e per 1. Ad esempio 1; 2; 3; 5; 7; 11 sono numeri primi.
Il numero 9 non è un numero primo infatti è divisibile per 1 e per se stesso (cioè per 9) ma e
anche divisibile per 3.
Qualunque numero naturale è scomponibile in un prodotto di numeri primi.
Es. 36 = 2 · 2 · 3 · 3
Potenze dei numeri
X 0 =1 (qualunque numero elevato a 0 è uguale ad 1)
Nella potenza di un numero si distingue la base e l’esponente
X 5 = x · x · x · x · x (nell’esempio x è la base, 5 è l’esponente)
2 5 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32 (nell’esempio 2 5 occorre moltiplicare la base 2 per se stessa tante
volte quante ne indica l’esponente e fare i calcoli).
Un numero naturale, scomposto in un prodotto di numeri primi assume una forma compatta
se espresso in prodotto di potenze (ad esempio 36 = 2 · 2 · 3 · 3 = 2 2 · 3 2 ).
Abbiamo visto potenze con esponente intero e positivo, ma l’esponente può essere un
qualsiasi numero reale (quindi negativo e positivo) ad esempio - 1, oppure 0,5 che equivale a
½, o ancora -2.Es.:
1 / x = x - 1 (un numero x elevato a - 1 è uguale al suo inverso cioè a 1 / x).
n √ x = x 1 / n (radice ennesima di x si esprime anche come potenza di x)
4 -1 = 1 / 4
4 0,5 = 4 1 / 2 = √ 4 = 2
2 - 2 = ( 2 - 1) 2 = ( 1 / 2 ) 2 = 1 / 2 · 1 / 2 = 1 / 4 = 0,25
Fare i seguenti esercizi facendo tutti i passaggi:
calcolare 1354 0 =
calcolare 5 -2 =
calcolare 9 1 / 2 =
calcolare 16 0,5 =
Trovare il valore di x per il quale 2 x = 128
Scomporre in prodotto di numeri primi i seguenti numeri: 54; 31; 256 esprimendoli in forma
compatta.
Il sistema decimale
Il sistema decimale è un sistema numerico posizionale che fa uso di 10 cifre: 0 1 2 3 4 5
6 7 8 9; poiché leggiamo da sinistra a destra poniamo la cifra più significativa a sinistra e
quella meno significativa a destra.
Il sistema decimale viene anche detto sistema in base 10 e dalla posizione che assumono le
cifre parliamo di unità, decine, centinaia, migliaia, ecc. Nel numero 3579, procedendo da
sinistra a destra si ha:
Migliaia
Centinaia
Decine
Unità
10 3
10 2
10 1
10 0
3
5
7
9
0
Ricordando le potenze dei numeri: 10 = 1 ; 10 1 = 10 ; 10 2 = 10 · 10 = 100 ; 10 3 = 10 · 10 ·
10 = 1000 avremo che il numero decimale 1247 equivale a
1 x 10 3 =
1000 +
2 x 10 2 =
200 +
1
4 x 10 1 =
40 +
0
7 x 10 =
7 = 1247
E’ possibile un sistema numerico diverso?
Il sistema binario
E’ possibile contare anche con le sole cifre 0 ed 1 (sistema binario), in tal caso mentre alle
cifre 0 ed 1 decimali assoceremo le cifre 0 ed 1 binarie, alle cifre 2 e 3 decimali (poiché nel
sistema binario non esistono altre cifre unitarie) assoceremo le cifre 10 ed 11, poi seguiranno
le cifre 100 ed 101 (perché 4 e 5 mancano) e così via.
Come per il sistema in base 10 possiamo definire un sistema in base 2; ricordando le potenze
di 2 (cioè 2 0 = 1; 2 1 = 2; 2 2 = 2 x 2 = 4; 2 3 = 2 x 2 x 2 = 8) il numero binario 1011
corrisponde al numero decimale che si ottiene con la seguente somma:
1x23 =
8+
0x22 =
0+
1
1x2 =
2+
0
1x2 =
1 = 11
Il sistema esadecimale
Per completezza aggiungeremo anche il sistema esadecimale (cioè in base 16) che fa uso
delle seguenti cifre unitarie 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ed aggiunge come altre cifre i seguenti
caratteri A B C D E F che corrisponderebbero come di seguito:
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
Tale sistema è usato nei calcolatori. Ad esempio F3 esadecimale corrisponde a 243, infatti
F3 = F · 16 1 + 3 · 16 0 = 15 · 16 + 3 · 1 = 243
Il sistema esadecimale risulta pratico per leggere il sistema binario a gruppi di 4 bit per volta.
Infatti F (corrisponde a 15, in binario cioè a 1111) e 3 (corrisponde a 0011) quindi F3 che
corrisponde in decimale a 243, in binario corrisponde a 11110011.
Esercizi: Trovare il corrispondente valore decimale e binario del numero esadecimale 1AF
Minimo comune multiplo
Dati più numeri (es.) 2; 9;12 trovare il minimo comune multiplo in base alla definizione
Cerco tutti i multipli:
1) 2 ; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20; 22; 24; 26; 28; 30; 32; 34; 36; 38; …; 72; ….; 108; …
2) 9; 18; 27; 36; 45; 54; 63; 72; 81; 90; 99; 108; ….
3) 12; 24; 36; 48; 60; 72; 84; 96; 108; ….
Individuo quelli comuni ai numeri dati (sono quelli in grassetto), e di questi prendo il più
piccolo. Quindi 36 è il m. c. m.
L’operazione di sopra è equivalente a scomporre i numeri dati in fattori primi
1) 2 = 2 1
2) 9 = 3 2
3) 12 = 2 2 · 3
prendere i fattori primi comuni e non comuni col massimo esponente (sono quelli in
grassetto) e li moltiplico tra loro
m. c. m. = 2 2 · 3 2 = 4 · 9 = 36
2
Massimo comune divisore
Dati più numeri (es.) 72; 99;120 trovare il massimo comune divisore in base alla
definizione
Cerco tutti i divisori:
1) 72 : 2; 3; 4; 6; 8; 9; 12; 18; 24; 36; 72;
2) 99 : 3; 9; 11; 33; 99;
3) 120 : 2; 3; 4; 5; 6; 8; 10; 12; 15; 20; 24; 30; 40; 60; 120;
Individuo quelli comuni ai numeri dati (sono quelli in grassetto), e di questi prendo il più
grande. Quindi 3 è il Massimo Comune Divisore.
L’operazione di sopra è equivalente a scomporre i numeri dati in fattori primi
1) 72 = 2 3 · 32
2) 99 = 3 2 · 11
3) 120 = 2 3 · 3 · 5
prendere solo i fattori primi comuni col minimo esponente in questo caso è 3 1.Quindi il M. C.
D. = 3 .
Espressioni algebriche
L’espressione algebrica 3·x è un monomio
L’espressione 5·x - 2 è un binomio
L’espressione 3·x4 - 2·x3 + 7·x - 9 è un polinomio di grado 4 (il grado lo si deduce dal
massimo esponente della x).
Mettere in evidenza i fattori comuni:
Consideriamo la somma di più monomi: es.
3
5
4
27  30  8 65
3 5 4
 x   x   x  x      x 

x
2
3
9
233
18
2 3 9
in essa abbiamo messo in evidenza il fattore comune x e poi abbiamo fatto la somma dei
coefficienti in parentesi tonda cercando il m. c. m. dei denominatori.
Talvolta è il caso di ricorrere ad alcuni artifizi e mettere in evidenza opportunamente alcuni
fattori comuni.
Esempio: x2 + x - 2
Aggiungiamo e togliamo x (l’espressione non subisce variazioni) e diventa: x2 + 2·x - x - 2 tra
i primi due termini (x2 + 2·x) pongo in evidenza x e tra gli ultimi due (- x – 2) pongo in
evidenza - 1 avrò in tal modo x2 + 2·x - x - 2 = x·(x + 2) - 1·(x + 2) cioè la somma di due
prodotti x·(x + 2) e - 1·(x + 2) i quali hanno come fattore comune (x + 2) che posso
ulteriormente porre in evidenza ottenendo in definitiva:
x 2 + 2·x - x - 2 = x·(x + 2) - 1·(x + 2) = (x + 2) ·(x - 1)
Con questa nuova formulazione del polinomio x2 + x - 2 = (x + 2)·(x - 1) vedo subito che si
annulla per x = - 2 ed ancora per x = 1, quindi benché le due espressioni siano equivalenti,
l’ultima è più utile.
Se avessimo messo in evidenza x tra i primi due termini non avremmo ricavato molto x 2 + x 2 = x·(x + 1) - 2. Talvolta occorre osservazione, intuito ed esercizio.
3
Esercizi:
 Nell’esempio precedente già trattato x2 + x - 2 possiamo giungere allo stesso risultato
aggiungendo e togliendo 1; sviluppare i calcoli. [ricordiamo che a 2 - b 2 = (a + b) · (a - b)]
 Sommare
2
7
5
3 x   x   x 
6
4
12
4