la matematica di base

LA MATEMATICA DI BASE
I NUMERI NATURALI (N):
I numeri naturali servono per contare gli elementi di un insieme e sono:
0, 1, 2, 3, 4 ….
I numeri naturali si dividono in:
- numeri naturali cardinali: indicano il numero di elementi di un insieme ovvero
rappresenta la cardinalità di un insieme;
- numeri naturali ordinali: indicano la posizione di un elemento in un insieme.
Detto questo, bisogna definire i tipi di insiemi:
- Insieme finito: l’operazione del contare ha termine
- Insieme infinito: l’operazione del contare non ha termine
I numeri naturali possono essere rappresentati su una retta orientata nel seguente modo:
Dalla retta si può vedere che esistono numeri maggiori e numeri minori. Sono stati quindi decisi dei
segni convenzionali, per indicare quando un numero è maggiore, minore o uguale:
 Maggiore
 Minore
 Ugual
e
 Maggiore
o uguale
 Minore
o uguale
Esempi:
27 (2
minore
di
7)
9
1 (9
maggiore
di
1)
77 (7
uguale
a7)
Supponiamo adesso che x sia un numero naturale. Con i segni appena presi in considerazione
possiamo dare a x dei valori.
Esempi:
x  10 ovvero x indica tutti i numeri naturali maggiori di dieci
7  x 13(si legge x compreso tra sette e tredici), ovvero x indica i numeri 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13.
Questa operazione si chiama disuguaglianza e può essere di due tipi:
- Disuguaglianza stretta (o in senso stretto), quando i segni presi in considerazione sono < e >;
- Disuguaglianza larga (o in senso largo o lato), quando i segni presi in considerazione sono
e
LA MATEMATICA DI BASE
I SISTEMI DI NUMERAZIONE
Per scrivere un numero si adoperano generalmente le cifre del sistema di numerazione decimale, ma
ce ne sono altri.
Un numero può essere scritto con un qualsiasi sistema e ci sono dei metodi per trasformare un
numero scritto in un sistema in un altro.
Generalmente si trasforma tutto arrivando o partendo dal sistema decimale. Per fare ciò si seguono
due regole: se si va da un sistema più piccolo al uno più grande si moltiplica, se invece si va dal più
grande al più piccolo si divide.
Esempio di trasformazione di un numero in scritto con il sistema binario nel corrispondente scritto
in sistema decimale:


10011

Numero
in
sistema
binario
2
0
1
2
3
4
10011

1

2

0

2

0

2

1

2

1

2



32

Numero
in
sistema
decimale
10
Esempio di trasformazione di un numero in scritto con il sistema decimale nel corrispondente
scritto in sistema decimale:
45 10
45 : 2  22 e resto 1
22 : 2  11 e resto 0
11 : 2  5 e resto 1
5 : 2  2 e resto 1
2 : 2  1 e resto 0
Da questi due esempi si può comprendere che:
- per trasformare un numero in un sistema qualsiasi nel corrispondente nel sistema decimale,
bisogna prendere le cifre del numero è moltiplicarle con potenze crescenti, che hanno come
base il numero di cifre del sistema (se è sistema binario la base sarà 2; se quaternale sarà 4;
ecc);
- per trasformare un numero in sistema decimale nel corrispondente di un sistema qualsiasi
bisogna prendere le cifre del numero è dividerle per il numero di cifre del sistema (se è
sistema binario la base sarà 2; se quaternale sarà 4; ecc).
Di seguito sono esaminati alcuni sistemi.
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SISTEMA DECIMALE O POSIZIONALE:
Il sistema decimale comprende le seguenti cifre:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
La posizione che ogni cifra ha in un numero da il peso che ha quel numero.
Esempio:
In 1.935
5 è una unità; 3 è una decina; 9 è una centinaia; 1 è una migliaia
LA MATEMATICA DI BASE
Ogni numero ha inoltre una forma polinomiale che si scrive come nel seguente esempio:
1
2
3
4
1
.
935

5

10

3

10

9

10

1

10
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SISTEMA BINARIO:
Il sistema binario comprende le seguenti cifre:
0, 1
Esempi di trasformazione sono riportati sopra.
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SISTEMA QUATERNALE:
Comprende le cifre:
0, 1, 2, 3
Esempi di trasformazione:


23013
4
0
1
2
3
4
23013

2

4

3

4

0

4

1

4

3

4

3

4

0

64

256



327
10
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SISTEMA ESADECIMALE:
Comprende le cifre:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
È il sistema utilizzato nei moderni computer.