numeri complessi

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NUMERI COMPLESSI
Si chiama numero complesso ogni espressione che si presenta nella forma
a + ib
dove a e b sono numeri reali mentre la lettera i, che si chiama unità immaginaria, gode per
definizione della seguente proprietà:
i2 = - 1
L’espressione a + ib rappresenta la forma algebrica del numero complesso; il primo termine a si
chiama parte reale del numero complesso, mentre il secondo termine ib si chiama parte
immaginaria e b rappresenta il coefficiente dell’immaginario.

Si chiama opposto del numero a+ ib il numero complesso –a – ib

Si chiama coniugato del numero a+ ib il numero complesso a – ib

Il numero a2+b2 si chiama norma del numero complesso a+ ib, mentre il numero
a 2  b2 si
chiama modulo e si può anche indicare con | a + ib |
Le operazioni con i numeri complessi seguono le stesse modalità del calcolo algebrico, tenendo
comunque sempre presente che i2 = - 1

Forma trigonometrica dei numeri complessi
Posto
a  r cos e
b  rsen , il numero complesso z=a+ib si può scrivere
z  r cos  isen 
dove  si chiama argomento ed r= a 2  b2 rappresenta il modulo o raggio vettore del numero
b
complesso. Inoltre si ricava tag  .
a
ESEMPIO 1
ESEMPIO 2
Trasformare il numero complesso 3 +i
in forma trigonometrica.
Avremo
a= 3
b=1
r=2

1
3
da cui    k
tag 

6
3
3
e quindi



3  i  2 cos  isen 
6
6

Trasformare il numero complesso



z  2 cos  isen  in forma algebrica.
3
3

Avremo

1
a  2 cos  2   1
3
2

3
b  2 sen  2 
 3
3
2
e quindi z = 1 + i 3
Forma esponenziale dei numeri complessi
Prof. Rosa Anna Bruzzese
I numeri complessi
2

Forma esponenziale dei numeri complessi
Dato un qualsiasi numero complesso, prima di poterlo scrivere in forma esponenziale bisogna
determinarne il modulo r e l’argomento  .
Forma esponenziale : z  r  e i
Esempio:
Scrivere in forma esponenziale il numero complesso z = 5 + 5i
Avremo
r  a 2  b 2  5 2  5 2  25  25  50  5 2
tg 


b 5

  1 , da cui   45 0 
a 5
4
e quindi z  5 2  e 4
i
Rappresentazione geometrica dei numeri complessi
Ogni numero complesso a + ib si può rappresentare in un sistema di assi ortogonali xOy , con x asse
reale e y asse immaginario, attraverso le coordinate (a , b).
Questo piano cartesiano si chiama piano di Gauss.
Riportato nel piano di Gauss il punto P(a, b), il vettore OP rappresenterà geometricamente il
numero complesso. Con i vettori, applicando la regola del parallelogrammo, possiamo sommare o
sottrarre i numeri complessi rappresentati nel piano.

Forma polare dei numeri complessi
Ogni numero complesso si può rappresentare attraverso le sue coordinate polari (r ,  ).
Per passare dalle coordinate cartesiane alle coordinate polari
e viceversa usiamo le formule
a  r cos

b  rsen
e
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r  a 2  b 2


b
tg 
a

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3

Le operazioni con i numeri complessi
Forma algebrica
Le operazioni seguono le stesse modalità del calcolo algebrico, tenendo comunque sempre presente
che i2 = - 1
Forma trigonometrica
Dati z1  r1 (cos1  isen1 )
z2  r2 (cos2  isen2 ) , si avrà
z1  z2  r1  r2 cos1  2   isen1  2 
z1 r1
 cos1  2   isen 1  2 
z2 r2
Non è opportuno eseguire addizioni o sottrazioni con numeri complessi dati in questa forma
essendo molto più semplice eseguire le stesse operazioni con i numeri trasformati in forma
algebrica.
Forma esponenziale
Dati z1  r1  ei1
z2  r2  ei2 , si avrà
z1  z 2  r1  r2  e i 1 2 
z1 r1 i 1 2 
 e
z 2 r2
Formula di MOIVRE ( potenza di un numero complesso)
r cos  isen  n  r n cos n  isenn  
Esempio: Calcolare

3 i

6
Applicando formule già note si otterrà r  2 e  

11
11 

3  i  2   cos   isen  
6
6 

11
 e quindi
6
per cui

3  i = 26 cos11  isen11 
6
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