XS7-EQUAZIONI LINEARI FRATTE

EQUAZIONI LINEARI FRATTE
Un’equazione si dice fratta o frazionaria se l’incognita compare a denominatore.
Esempi:
4
−3= 0
x +1
fratta
8
1 2
= − x
x−4 x 3
fratta
x+5
5x
−3=
2
4
intera (i denominatori sono numeri)
Per risolvere un’equazione fratta bisogna:
1) determinare le condizioni di esistenza (C.E.), cioè stabilire le condizioni per le quali l’equazione ha
senso e può essere risolta
2) trovare la possibile soluzione
3) controllare che la soluzione rispetti le C.E.
Esempio 1:
3x − 1
−2 = 0
x+2
1) Determinare le C.E. : se un denominatore diventa zero l’espressione non ha significato (infatti
nell’aritmetica non ha significato dividere per zero!).
La condizione da porre sarà allora x + 2 ≠ 0 , cioè C.E. : x ≠ −2
(come soluzione posso accettare qualsiasi numero tranne -2) 1
2) Per risolvere l’equazione si deve:
• avere il denominatore comune (m.c.m.)
• eliminare il denominatore comune e ricavare la x dal numeratore
m.c.m. = x + 2
allora
(3x − 1) ⋅1 − 2 ⋅ (x + 2) = 0 ⋅ (x + 2)
x+2
x+2
3x − 1 − 2 x − 4 = 0
3x − 2 x = 4 + 1
x = 5 possibile soluzione
3) La possibile soluzione trovata rispetta le C.E. ?
Poiché 5 non è -2, la soluzione x=5 rispetta le C.E.
Si dice che x = 5 è la soluzione ACCETTABILE
1
Infatti se sostituisco -2 al posto della x ottengo
3 ⋅ (− 2 ) − 1
−7
− 2 = 0 , cioè
− 2 = 0.
−2+2
0
7
non si può calcolare, è un’espressione senza significato per l’aritmetica.
0
© Barbara Pozzi 2009
Esempio 2:
3+ x 5
= +1
x
x
1) C.E. : x ≠ 0
“accettabili tutti i numeri tranne zero”
2) m.c.m. = x
3+ x 5+ x
=
x
x
3+ x = 5+ x
x − x = 5−3
0 = 2 FALSO → l’equazione è IMPOSSIBILE, cioè NON ha soluzione.
Esempio 3:
3x − 3 2 x − 1
+
=5
x −1
x +1
1) C.E. : x − 1 ≠ 0 → x ≠ +1
x + 1 ≠ 0 → x ≠ −1
“accettabili tutti i numeri tranne +1 e -1”
2) m.c.m. = ( x + 1)(x − 1)
(3x − 3)(x + 1) + (2 x − 1)(x − 1) = 5(x + 1)(x − 1)
(x + 1)(x − 1)
(x + 1)(x − 1)
eseguo i calcoli a numeratore
3x 2 + 3 x − 3x − 3 + 2 x 2 − 2 x − x + 1 = 5 x 2 + 5 x − 5 x − 5
(3+2-5 = 0)
3x 2 + 2 x 2 − 5 x 2 − 2 x − x = 3 − 1 − 5
− 3 x = −3
x=
−3
= +1 possibile soluzione
−3
3) La soluzione x = +1 NON E’ ACCETTABILE perché non rispetta le C.E.
Questa equazione risulta quindi impossibile perché non ha soluzione.
© Barbara Pozzi 2009