01 - TT1 - Fluidodinamica - generalità e strato limite.pptx

Università di Roma – Tor Vergata
Facoltà di Ingegneria – Dipartimento di Ingegneria Industriale
Corso di:
“TERMOTECNICA 1”
FLUIDODINAMICA:
GENERALITÀ E STRATO LIMITE
Ing. G. Bovesecchi
[email protected]
06-7259-7127 (7249)
Anno Accademico 2012-2013
Fluidodinamica - Introduzione
1.  Cos’è la fluidodinamica;
2.  Fluido ideale;
3.  Fluido reale;
4.  Tipi di moto;
5.  Viscosità;
6.  Significato del numero di Reynolds;
7.  Flusso che lambisce una lastra piana (strato limite);
8.  Flusso entro i condotti a sezione circolare.
Fluidodinamica - Introduzione
La fluidodinamica studia il comportamento dei fluidi in
movimento (liquidi o gas).
Un fluido può essere ideale o reale:
  Un fluido ideale è un fluido incomprimibile che non presenta
sforzi di taglio τ yx (viscosità uguale a zero).
  Un fluido è reale quando possiede viscosità, cioè sono
presenti all’interno del fluido forze di tipo viscoso che si
manifestano come resistenza ai cambiamenti di forma della
massa fluida.
Fluidodinamica - Introduzione
Se si immerge un corpo in un fluido reale, nel contatto tra i due
si presentano due fenomeni:
1.  la velocità del fluido a contatto delle superfici del corpo
immerso è nulla (si dice che il fluido bagna la parete);
2.  sono presenti sforzi di taglio paralleli alla direzione della
velocità.
Conseguentemente:
1.  si può avere lo scorrimento di uno strato di fluido rispetto
ad un altro;
2.  vengono esercitate forze di trascinamento sulle superfici dei
corpi immersi, a contatto con le loro pareti, o sulle pareti
del recipiente che contiene il fluido in movimento.
Fluidodinamica – velocità di un fluido

La velocità di un fluido è definita dal vettore velocità u.
Nel caso più generale è sia variabile nel tempo che nello spazio
(occupato dal fluido), definisce quindi un campo vettoriale.
→
j
→
u = u (x, y, z,τ ) = ux iˆ + u y ĵ + uz k̂
k
Nel campo vettoriale si possono definire le linee di corrente che
sono l’inviluppo dei vettori velocità (linee che risultano
tangenti ai vettori velocità in ogni loro punto) in sostanza
rappresentano la traiettoria di una particella nel fluido.
i
Fluidodinamica – Tipi di moto
L’accelerazione non è altro che la derivata totale (o
sostanziale) della velocità:
→
→
→
→
→
d u ∂ u ∂x ∂ u ∂y ∂ u ∂z ∂ u
=
+
+
+
dτ
∂x ∂τ ∂y ∂τ ∂z ∂τ ∂τ
Essendo il vettore u una funzione di x, y, z e τ.
I primi tre termini sono detti accelerazione convettiva, il quarto
accelerazione locale, se:
  il termine convettivo è nullo allora il moto del fluido si dice
uniforme (le linee di corrente sono rette);
  il termine locale è nullo il moto è stazionario.
Fluidodinamica – Tipi di moto
MOTO LAMINARE
Il moto del fluido si dice laminare, se la corrente può essere
suddivisa in strati comunque sottili, in modo tale che le linee di
corrente non attraversano mai le facce degli strati. Anche se in
tale moto la velocità può cambiare nello spazio e nel tempo, tali
cambiamenti di velocità sono imposti o dalla forma del
contenitore o dalla variazione delle condizioni esterne
(pressione, forze, etc).
Conseguenza non si ha rimescolamento tra i filetti di fluido
(almeno per tempi brevi).
Fluidodinamica – Tipi di moto
MOTO LAMINARE
Per evidenziare questo comportamento si può iniettare un
colorante all’interno del fluido. Il colorante si mantiene
inalterato per tempi relativamente lunghi, sino a che non si
disperde nella massa per effetto della diffusione (soluzione
liquida).
Fluidodinamica – Tipi di moto
MOTO TURBOLENTO
Il moto si dice turbolento, se le linee di corrente hanno
andamento irregolare nel tempo e nello spazio, incrociandosi
continuamente.
Le grandezze fisiche cinematiche (posizione, velocità,
accelerazione), dinamiche (pressioni, sforzi tangenziali) e
termiche (temperatura, flussi termici), variano nel tempo e nello
spazio senza leggi precise e determinabili.
Possono essere fatte solo valutazioni statistiche (media,
varianza, etc) di tali grandezze.
Fluidodinamica – Tipi di moto
MOTO TURBOLENTO
Come conseguenza si ha un continuo rimescolamento del
fluido, ed un colorante iniettato all’interno si disperde in tempi
relativamente brevi nell’intera massa del fluido.
Fluidodinamica – Tipi di moto
Risulta chiaro dalle definizioni date che la differenza
fondamentale tra i due regimi di moto consiste nell’instabilità
propria del moto stesso, per cui si passa spontaneamente da un
regime all’altro. Come conseguenza risulta che, anche se da un
punto di vista di principio un moto turbolento ripreso da un
telecamera e proiettato a rallentatore e ingrandito non
apparirebbe differente dal moto laminare di un fluido sommerso
(ad esempio una pompa in una vasca d’acqua che viene mossa a
formare dei lenti vortici), la differenza sostanziale sta nel fatto
che i ricircoli risultano spontanei nel moto turbolento e imposti
dall’esterno in quello laminare.
Fluidodinamica – Viscosità
La viscosità è la grandezza fisica che quantifica la resistenza
dei fluidi allo scorrimento (cioè rappresenta la coesione interna
del fluido).
Supponiamo di avere due piani paralleli
 che si muovono in un
fluido, con velocità relativa uniforme u (non troppo elevata).
I due piani si trovano ad una distanza h (piccola). Il fluido,
essendo viscoso, ha velocità nulla a contatto con i due piani.
Per semplicità possiamo vedere questo sistema come se uno dei
due piani è fermo e l’altro in moto a velocità u.
Sperimentalmente si nota che la velocità del fluido ha un
andamento lineare sulla sezione. Quindi:
Fluidodinamica – Viscosità
Sperimentalmente si nota che la velocità del fluido ha un
andamento lineare sulla sezione. Quindi:
u
du
= cost ⇒ u ( y) =
y
dy
h
max
A causa dell’attrito, per mantenere il moto costante
bisogna

applicare alla superficie superiore una forza F costante nella
direzione e verso della velocità. La forza è proporzionale alla
superficie A.
Il loro rapporto, essendo forza e superficie parallele,
rappresenta uno sforzo di taglio:

F
τ =
A
yx
Fluidodinamica – Viscosità
u(y)
umax
h
x
Lo sforzo di taglio risulta sperimentalmente proporzionale alla
velocità ed inversamente proporzionale alla distanza dei due
piani. Tale dipendenza viene detta la legge di Newton per i
fluidi viscosi:
du
τ =µ
dy
yx
Fluidodinamica – Viscosità
µ [Pa s] è la viscosità dinamica.
La viscosità cinematica è definita come:
µ = ρν
dove ρ [kg/m3] è la densità.
Il motivo della definizione “viscosità dinamica” o “viscosità
cinematica” risiede nel fatto che nelle unità di misura della
prima compaiono tutte le grandezze che vengono utilizzate
nella dinamica (massa, lunghezza e tempo), mentre nella
seconda solo le unità di misura utilizzate nella
cinematica(lunghezza e tempo).
Fluidodinamica – Reynolds
Il passaggio da moto laminare a moto turbolento è dato dal
prevalere delle forze di inerzia su quelle viscose. Le prime
tendono a destabilizzare il fluido le seconde a smorzare i
disturbi.
Per dimostrare questa affermazione definiamo la similitudine
fisica da tre tipi diversi di similitudine:
  geometrica;
  cinematica;
  dinamica.
Fluidodinamica – Reynolds
Due sistemi si dicono geometricamente simili quando i lati
omologhi sono proporzionali e gli angoli uguali
x y z L
= = =
x ' y' z' L '
dove L e L’ sono due dimensioni caratteristiche dei due sistemi
(L/L’ risulta pertanto il rapporto di scala).
Due sistemi si dicono cinematicamente simili quando sono
proporzionali le componenti della velocità nei punti omologhi
di due sistemi:
uy
uz
ux
=
=
u' x u' y u' z
Fluidodinamica – Reynolds
Due sistemi si dicono dinamicamente simili quando sono
proporzionali le componenti delle diverse forze (inerziali,
d’attrito, gravitazionali) applicate a punti omologhi di due
sistemi
Fy
Fz
Fx
=
=
F ' x F ' y F 'z
Due sistemi sono fisicamente simili quando sono
geometricamente, cinematicamente e dinamicamente simili.
Fluidodinamica – Reynolds
Consideriamo ora un fluido con velocità in direzione x ( cioè
u=ux ,con ux che varia lentamente in direzione x) e con moto
stazionario (∂u/∂t=0).
Le componenti delle forze inerziali su un elemento di volume
dx dy dz sono:
!
Fluidodinamica – Reynolds
Le componenti delle forze inerziali su un elemento di volume
dx dy dz sono:
du
dFi = dm ⋅ a = ρ dxdydz
dt
∂u
∂u ⎞ ∂u 1 dux2
du ⎛ ∂u
= ⎜ ux + uy + uz ⎟ +
=
dt ⎝ ∂x
∂y
∂z ⎠ ∂t 2 dx
1 du2
dFi = ρ
dxdydz
2 dx
Consideriamo ora un punto omologo di un altro sistema simile
fisicamente avremo che:
1 du'
dF ' = ρ '
dx ' dy ' dz '
2 dx '
2
i
Fluidodinamica – Reynolds
Ricordando che:
dx dy dz L
=
=
=
dx ' dy' dz' L '
Avremo che:
du2
dxdydz
2 2
dFi
ρ
u
L
dx
=
=
2
dF 'i
du'
ρ 'u '2 L '2
ρ'
dx 'dy'dz'
dx '
Per due sistemi cinematicamente simili il rapporto tra i differenziali è
uguale al rapporto delle quantità finite, quindi:
du
dxdydz
F
dF
ρu L
dx
=
=
=
du'
dF '
ρ 'u ' L' F '
ρ'
dx ' dy ' dz '
dx '
2
2
2
i
i
2
i
2
2
i
Fluidodinamica – Reynolds
Per la forza viscosa Fy consideriamo che sulla faccia inferiore
dell’elemento agisce uno sforzo di taglio –τyxdxdz, mentre su
quella superiore agirà una forza:
∂τ yx ⎤
⎡
⎢τ yx + ∂y dy ⎥ dxdz.
⎣
⎦
La forza netta sull’elemento di volume è:
∂τ yx ⎤
∂τ yx
⎡
∂2u
⎢τ yx + ∂y dy ⎥ dxdz − τ yx dxdz = ∂y dydxdz = µ ∂y 2 dxdydz
⎣
⎦
Il rapporto delle forze tra due punti omologhi risulta:
∂2u
µ 2 dxdydz
Fv
dFv
µ uL
∂y
=
=
=
2
dF 'v
µ 'u ' L ' F 'v
∂ u'
µ ' 2 dx 'dy'dz'
∂y'
Fluidodinamica – Reynolds
Unendo le informazioni ricavate per le forze d’inerzia e quelle
viscose e considerando che deve essere soddisfatta la
similitudine fisica possiamo scrivere:
Fv
Fi
=
F 'v F 'i
µ u L/
ρ u L/
=
/
/
µ 'u' L'
ρ 'u ' L'
2
2
ρ u L ρ 'u ' L'
=
µ
µ'
ρu L
Re =
µ
Quindi:
Re = Re' = cost
Fluidodinamica – Reynolds
Il rapporto tra le forze di inerzia e quelle viscose è pertanto
il numero di Reynolds. Questo significa che a bassi Re
prevalgono quelle viscose, e il moto risulta laminare, ad
alti Re prevalgono le forze inerziali, che destabilizzano il
moto, che risulta di conseguenza turbolento.
Risulta anche chiaro come in sistemi geometricamente,
cinematicamente e dinamicamente simili il numero di
Reynolds sia lo stesso.
Fluidodinamica – Strato limite
Nel caso di moto parallelo a superfici piane, il fluido
lambisce la lastra piana con angolo di incidenza nullo.
La velocità di un fluido viscoso vicino alla parete è
nulla, come visto in precedenza, poi cresce
progressivamente sino a raggiungere il valore
indisturbato (non influenzato dalla parete) ad una
determinata distanza.
Questa distanza è detta strato limite.
Supponiamo di avere un piano nella direzione del moto.
Fluidodinamica – Strato limite
MOTO LAMINARE
Sotto le ipotesi precedenti in caso di moto laminare
l’andamento è il seguente:
!
Fluidodinamica – Strato limite
Lo spessore dello strato limite fluidodinamico δ viene
definito come la distanza dalla superficie dove la velocità
raggiunge il 99% di quella indisturbata.
L’andamento della velocità nello strato limite si ricava
dalla soluzione delle equazioni di bilancio del moto
(equazioni di Navie Stokes).
Nella pratica può essere approssimato da un andamento
parabolco.
Fluidodinamica – Strato limite
{
u=u
∞
per
u = 0 per
du
= 0 per
dy
y =δ
y=0
y =δ
Da cui si ottiene:
u 2 y ⎛ y⎞
=
−⎜ ⎟
u
δ
⎝δ ⎠
∞
2
Fluidodinamica – Strato limite
Per quanto riguarda gli sforzi tangenziali, sempre nel caso
di un fluido che lambisce una parete con angolo di
incidenza nullo a contatto con la lastra si avrà uno sforzo
tangenziale τ0, nella direzione del moto.
Si può definire il fattore di attrito locale Cx ad una
determinata distanza x dall’imbocco della lastra. Lo sforzo
tangenziale di taglio locale (sulla superficie a y=0) τ0,x
risulta proporzionale alla velocità indisturbata al quadrato
e alla densità del fluido. Il fattore di proporzionalità è Cx
ρu
τ =C
2
2
∞
0 ,x
x
Fluidodinamica – Strato limite
dalla soluzione numerica delle equazioni dello strato
limite laminare (eq. di Navie Stokes) si ricava
−0.5
C x = 0.664 Re x
x ρ u∞
Re x =
µ
integrando si ottiene il fattore d’attrito medio tra 0 ≤ x ≤ l
1 l
Cl = ∫ Cx dx = 1.328 Re −0.5
l
l 0
Fluidodinamica – Strato limite
MOTO TURBOLENTO
Se la velocità è sufficiente, il regime diventa instabile, compaiono
le turbolenze, dopo una zona di transizione in cui le due regioni
coesistono. Anche in regime turbolento rimane sempre comunque
un sottostrato laminare tra la superficie (al cui contatto la velocità è
nulla) e lo strato turbolento
!
Fluidodinamica – Strato limite
In tutto lo strato limite (sottostrato laminare più strato turbolento) il
profilo della velocità assume un andamento che può essere
descritto dalla relazione empirica:
⎛ y⎞
u
= ⎜ ⎟
u∞ ⎝ δ ⎠
1/n
con n = n(Re). Per 3⋅104 ≤Re ≤5⋅105 n=7
Nel sottostrato laminare l’andamento della velocità è all’incirca
lineare. La distinzione tra sottostrato laminare e strato turbolento
non è netta. Esiste uno strato intermedio chiamato buffer layer.
Fluidodinamica – Strato limite
Il numero di Reynolds si calcola con u=u∞ e con L pari alla
distanza di attacco della lastra (tra l’imbocco e il punto x
considerato, cfr. Fig. 1.4). Normalmente il regime diventa critico
per ReL> 3,5 105, ma in pratica si riesce a mantenere il moto
laminare sino a Re = 5·105 se le perturbazioni del flusso (rugosità e
vibrazioni) sono non troppo elevate.
⎛ y⎞
u
Per quando riguarda il coefficiente d’attrito, assumendo
= ⎜ ⎟
u∞ ⎝ δ ⎠
si ottiene:
C x = 0.0592 Re −1/5
x
5
5 ⋅10 ≤ Re ≤ 10
Che integrata porta alla seguente relazione:
−1/5
C L = 0.074 Re L
7
1/n
Fluidodinamica – Strato limite
Negli appunti vengono riportate, per completezza, alcune
espressioni empiriche di Cx e il campo di Re in cui vengono
applicate, ad esempio la Prantl Schlikting o la Schultz Grunant.
⎧
−2,3
0,455
Prantl
Schlikting
C
=
2log
Re
−
0,65
;
C
=
⎪
x
x
L
2,58
9⎪
log
Re
fino a oltre Re x = 10 ⎨
L
⎪
−2,584
Schultz
Grunant
C
=
0,370
⋅
log
Re
;C L = 0,427 ⋅ log Re L − 0,407
⎪⎩
x
x
(
)
(
)
(
)
(
queste sono espressioni valide per pareti lisce, condizione
verificata dalla disuguaglianza:
eρ u∞
⎛
⎞
δ
≤ 5⋅ ⎜ 5,85log + 9,65⎟
µ
e
⎝
⎠
)
−2,64
Fluidodinamica – Strato limite
dove e è la rugosità media della superficie e δ l’altezza dello strato
limite. Se si considera la relazione empirica tra l’altezza dello
strato limite δ e la distanza dal bordo di attacco x:
δ
= 0,376 Re −1/5
x
x
Per pareti scabre (realizzate con sabbia), tali cioè che sia verificata
la condizione:
eρ u∞
⎛
⎞
δ
≥ 70 ⋅ ⎜ 5,75log + 8,5⎟
µ
e
⎝
⎠
si possono usare le relazioni:
−2,5
⎧
⎛
⎞
⎪ C = 2,87 + 1,58log x
x ⎜
⎟⎠
e
⎝
⎪
per 102 ≤ x / e ≤ 106 ⎨
−2,5
⎪
⎛
⎞
l
C
=
1,89
+
1,62log
⎪ l ⎜
e ⎟⎠
⎝
⎩