Soluzione Probabilità ed Inferenza Statistica(25/02/2010)

Probabilità ed Inferenza Statistica compito B (25/02/2010)
Esercizio 1
Si supponga che in un filo di rame vi siano mediamente 2.3 difetti per millimetro. Applicando un
opportuno modello probabilistico calcolare:
(a) la probabilità di avere esattamente 2 difetti in un millimetro;
(b) la probabilità di avere esattamente 10 difetti in 5 millimetri di filo.
SOLUZIONE
a.
valore atteso λ: 2.3
Probabilità di Poisson
X P(X)
2 0.2652
b.
risulta ora λ: 5x2.3 = 11.5
Probabilità di Poisson
X P(X)
10
0.1129
Esercizio 2
Una azienda manifatturiera nel settore meccanico sta studiando le prestazioni di un componente del
motore di un cancello elettrico e a questo scopo ha misurato la sua resistenza su un campione
casuale di 15 motori:
Motore 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Resistenza 5.5 3.0 4.1 5.8 4.1 4.6 5.3 3.6 6.1 6.3 4.8 5.5 5.0 6.1 5.7
Il processo produttivo è considerato soddisfacente se produce mediamente motori con resistenza
pari a 5.2. Condurre una verifica di ipotesi per testare se il valore medio della resistenza è di 5.2
contro l’ipotesi che sia inferiore a 5.2.
SOLUZIONE
t Test d’Ipotesi per la Media
Ipotesi Nulla μ= 5.2
Livello di significatività 0.05
Dimensione Campionaria 15
Media Campionaria 5.03
Standard Deviation campionaria 0.99
Gradi di libertà 14
t Test Statistic -0.66
Lower-Tail (unilaterale)Test
Critical Value -1.76
p-Value 0.262
Non si può rifiutare l’ipotesi nulla
Esercizio 3
In un esperimento diretto allo studio della relazione tra il numero di pulsazioni sotto sforzo (per
minuto) e l’età (in anni) sono stati rilevati i seguenti dati su 10 soggetti di sesso maschile:
Pulsazioni 200 195 200 190 188 180 185 180 163 170
Età 10 20 21 25 29 30 31 40 45 50
(a) si disegni e si commenti il diagramma di dispersione;
(b) si stimi la retta di regressione del modello lineare che lega le pulsazioni all’età dei soggetti e si
interpreti i risultati ottenuti;
(c) si calcoli il coefficiente di determinazione e si commenti il risultato ottenuto;
(d) si verifichi l’ipotesi H0 : β 1 = 0 contro l’alternativa H1 :β1 ≠ 0 (si ponga α = 0.05).
Soluzioni
(a) Regression Plot Commento: Al crescere dell’età tendono a diminuire le pulsazioni al
minuto
(b)
Pulsazioni Età
200
10
195
20
200
21
190
25
188
29
180
30
185
31
180
40
163
45
170
50
Y X Y^2 X^2
200 10 40000 100
195 20 38025 400
200 21 40000 441
190 25 36100 625
188 29 35344 841
180 30 32400 900
185 31 34225 961
180 40 32400 1600
163 45 26569 2025
170 50 28900 2500
Somma 1851 301 343963 10393
Medie 185 e 30
Statistiche della regressione
b1 = -0.933
b0 = 213.2 ;
Errore standard 4.79
SQE= 183.6
SQR =1159.3
SQT =1342.9
(c) Osservazioni 10; R2 = 0.863
(d) ANALISI VARIANZA
Regressione
Residuo
Totale
gdl
1
8
9
SQ
1159.3
183.6
1342.9
MQ
1159.3
22.9
F
50.5
p-value
0.0001
Oppure:
Intercetta
Età
Coefficienti
213.2
-0.933
Errore standard Stat t
4.2
50.4
0.131 -7.1
p-value
0.00000
0.00010
Inf. 95%
203.4
-1.235
Sup. 95%
222.9
-0.630
Si rifiuta l’ipotesi nulla e quindi il coeff. angolare è significativamente diverso da zero.
[va bene una delle 3 soluzioni: test F, test t o intervallo di confidenza di b 1]
ESERCIZIO 4
Il processo produttivo di un additivo per cementi viene realizzato presso due distinte linee di
produzione L1 ed L2. Il responsabile tecnico dello stabilimento ha il sospetto che la linea 2 produca
additivo non soddisfacente in quanto la sua viscosità appare visibilmente essere troppo elevata. Con
l’obiettivo di confrontare le 2 linee di produzione vengono analizzati 2 campioni di 50 provini di
cemento per ciascuna delle 2 linee di produzione.
PROVINO
LINEA PRODUZIONE
L1
L2
45
38
soddisfacente
12
Non soddisfacente 5
Totale
50
50
Totale
83
17
100
Applicare un metodo inferenziale per stabilire se le due linee di produzione presentano o meno la
stessa proporzione di produzione non soddisfacente e commentare i risultati ottenuti.
Soluzioni
TEST Z per la Differenza tra due Proporzioni
La Differenza ipotizzata è 0; ossia H0: π1= π2
Ipotizzando α = 0.05
Gruppo 1
Numero di “Successi” è 5
n=50
Gruppo 2
Numero di “Successi” è 12
n=50
Gruppo 1 Proporzione p1= 0.10
Gruppo 2 Proporzione p2= 0.24
DIFFERENZA
-0.14
Proporzione Media x p= 0.17
Statistica test
Z = -1.86
Test bidirezionale : H1: π1≠ π2
Valore critico inferiore
-1.96
Valore critico superiore
1.96
p-Value 0.062
Lim. conf. Inferiore -0.287
Lim. conf. Superiore 0.007
Non si può rifiutare l’ipotesi nulla
Se il test fosse stato un Test unidirezionale ossia H1: π1< π2
Valore Critico -1.64485
p-Value 0.031
Si rifiuta l’ipotesi nulla