Le linee del campo elettrico

Le linee del campo elettrico
Campi scalari e campi vettoriali
Col termine campo scalare si indica un’applicazione che a ogni punto dello spazio fa corrispondere un numero.
Un esempio di campo scalare è l’applicazione che
associa a ogni punto della superficie terrestre la sua
temperatura in un dato momento.
In figura, il campo è rappresentato da una mappa in
falsi colori. A ciascun colore corrisponde una data
temperatura; le curve di livello (cioè quelle che
separano i colori) sono isoterme.
Un secondo esempio è l’applicazione che associa a
ogni punto della superficie terrestre la corrispondente
pressione atmosferica. In questo caso, le curve di
livello sono isobare.
Si dice invece campo vettoriale un’applicazione che a ogni punto dello spazio fa corrispondere un vettore.
Un esempio di campo vettoriale è l’applicazione che associa a ogni punto
della superficie terrestre la corrispondente velocità del vento.
In figura, il vettore velocità è rappresentato, in ciascun punto, da un segmento
orientato.
Le linee di campo
Un campo vettoriale può essere rappresentato dalle linee di campo. Le linee di campo sono curve orientate
caratterizzate da queste proprietà:
−
−
−
−
per ciascun punto passa una linea di campo;
i vettori del campo hanno la direzione della tangente alla linea che passa per il punto di applicazione;
il verso positivo di percorrenza delle linee di campo è concorde ai vettori del campo;
le linee di campo non possono intersecarsi (altrimenti, nello stesso punto si avrebbero due direzioni diverse dello
stesso campo).
Per costruire approssimativamente una linea di campo, si parte da un punto
qualunque e si avanza di un trattino ∆s di lunghezza proporzionale al
vettore del campo in quel punto. Si trova così un nuovo punto della linea e
si ripete più volte la stessa operazione. Questa costruzione è mostrata in
figura con una linea spezzata rossa.
La definizione delle linee di campo può sembrare approssimativa e ambigua. Al contrario, sotto condizioni piuttosto
generali di regolarità dei campi vettoriali, si dimostra in analisi matematica l’esistenza e unicità delle linee integrali del
campo.
Il campo elettrico come campo vettoriale
r
Consideriamo un insieme di cariche sorgenti q1, q2… fisse in certe posizioni assegnate. Indichiamo con r il vettore
posizione della carica di prova qo.
r
Valutata la forza su qo, si calcola E . Si può poi spostare qo in una nuova posizione, tenendo ferme le sorgenti, e ripetere
r
l’operazione; alla fine si avrà una mappa in cui a ciascuna posizione dello spazio corrisponde un vettore E .
r
Ne segue che il campo E , generato da un certo insieme di sorgenti q1, q2…, è un campo vettoriale. E’ quindi possibile
rappresentare il campo elettrico con una mappa.
r
In figura, è mostrata la costruzione grafica per determinare il vettore E in due punti e, a destra, sono rappresentate
alcune linee di campo, costruite raccordando i vettori calcolati in molti punti.
Viceversa, se sono assegnate le linee di campo, si può disegnare approssimativamente il vettore del campo in ciascun
punto:
−
−
la direzione del vettore è tangente alla linea;
il modulo è tanto maggiore, quanto più fitte sono le linee di campo in quella zona.
Nel disegno a destra, il vettore del campo è rappresentato in tre distinte posizioni. Si
r
osservi come cambia il modulo di E : il vettore è più lungo dove le linee sono più fitte.
Nel disegno a destra, è mostrata la mappa di un campo elettrico uniforme.
r
Il vettore E ha lo stesso modulo, direzione e verso in tutti i punti. Le linee di campo sono
segmenti di retta equispaziati.
Per valutare quanto sono fitte le linee del campo, si deve contare il numero di linee che
attraversano una superficie di area unitaria.
Attenzione: le rappresentazioni grafiche sono sezioni bidimensionali! Per stimare
qualitativamente l’intensità, a partire dalle linee del campo, si deve immaginare la terza
dimensione.
r
r
Siccome il vettore E cambia in funzione della posizione r , si usa
scrivere:
r r r
E =E(r )
r
Attenzione: r indica la generica posizione in cui si immagina di porre
la carica di prova (e non la posizione delle sorgenti!)
Qualche dubbio sul significato delle linee del campo elettrico?
Attenzione! Le linee di campo non rappresentano in nessun modo
l’interazione tra le sorgenti!
Le linee di campo indicano il campo elettrico generato dalle sorgenti e,
quindi, la forza agente sulla carica di prova. Nel disegno, due sorgenti
positive di 1 µC e una sorgente negativa di -2 µC concorrono a determinare la
r
forza F sulla carica di prova positiva qo.
r
r
Se qo è libera di muoversi, sotto l’azione della forza F subirà un’accelerazione a ; e per la II legge di Newton,
r
r
r
r
sappiamo che F = m a . Le linee di campo indicano la direzione di F e, quindi, di a .
Attenzione a non confondere le linee di campo con le possibili traiettorie della carica di prova!
Le traiettorie dipendono, oltre che dalla forza applicata, anche dalla posizione e dalla velocità iniziale. Determinare le
traiettorie della carica di prova può essere un problema molto complicato, anche se sono note le linee di campo.