Macchina di Atwood • Moti kepleriani • Urti, moti armonici • Moto di

Lezione mecc n.20-2011-2012
Argomenti di questa lezione (esercitazione)
• Macchina di Atwood
• Moti kepleriani
• Urti, moti armonici
• Moto di puro rotolamento
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Lezione mecc n.20-2011-2012
28 aprile 2006 Esercizio 2
Nella figura è rappresentata una
macchina di Atwood costituita da
una carrucola pesante (cilindro
omogeneo di massa M e raggio R)
su cui è avvolto senza possibilità di
strisciamento un filo ideale
(inestensibile e di massa
trascurabile) al quale sono appesi
due corpi, uno di massa M e uno di
massa 2M. Il sistema è
inizialmente fermo. Si chiede di:
a)
pag
M, R
2
g
M
2M
scrivere le equazioni del moto dei tre oggetti
b)
determinare l’accelerazione angolare della
carrucola
c)
determinare la forza vincolare sul perno della
carrucola
d)
calcolare la velocità angolare che ha la
carrucola all’istante in cui essa, essendo partita da
ferma, ha compiuto una rotazione di un angolo β
assegnato.
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a, b, c) Indichiamo con T1 la tensione del tratto di filo
che sostiene il corpo di massa M e con T2 la tensione
dell’altro tratto.
Le equazioni del moto sono (prendendo un sistema di
coordinate curvilineo diretto con segno positivo
quando la carrucola gira in senso orario)
Ma=T1−Mg,
2Ma=2Mg−T2,
(T2−T1)R=Iα
(dove I=MR2/2 è il momento d’inerzia della
carrucola) con la condizione di non strisciamento
(a=αR) e con la condizione di staticità del centro di
massa della carrucola |R|=Ry=Mg+T1+T2.
L’insieme delle relazioni appena scritte permette di
determinare tutte le quantità richieste (si tratta di 5
equazioni lineari nelle incognite T1, T2, a, α, Ry.
d) Applicando il principio di conservazione
dell’energia, tenendo conto del fatto che la velocità
dei pesi eguaglia la velocità tangenziale ωR della
carrucola, e che una rotazione di un angolo β
corrisponde a uno spostamento βR dei due pesi, si ha
che (1/2)Iω2+(1/2)(2M+M)(ωR)2=
=(1/2)(7MR2/2)ω2=(2M−M)gβR, da cui
ω2=2MgβR/(7MR2/2)=4gβ/7R, da cui ω=2√(gβ/7R).
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2 ottobre 2002
Esercizio 2
Una cometa di massa m orbita intorno al sole (che ha massa
M) su un’orbita ellittica. L’orbita è tale che la distanza
massima dal sole, D, è uguale a dieci volte la distanza
minima, d.
a) Quali grandezze meccaniche sono costanti del moto, e
perché?
b) Di quanto varia l’energia cinetica della cometa fra il
punto in cui essa è massima e quello in cui è minima?
E quali sono tali due punti?
c) Quanto vale l’energia meccanica totale della cometa?
[Rispondere usando solo i dati disponibili, che sono d,
D = 10d, M, m e la costante universale di gravitazione G. Si
assuma M >> m , così che il sole possa considerarsi fermo e
si assumano trascurabili gli effetti di altri corpi celesti.]
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2 ottobre 2002 esercizio 2 (soluzione)
a) Il sistema S+C non è soggetto a forze esterne (avendo
deciso di trascurare l’effetto di altri corpi celesti), quindi si
conserva la sua quantità di moto, ma questa affermazione è
ovvia, quanto inutile… Nel sistema esiste una sola forza
agente, dovuta all’interazione gravitazionale fra S e C.
Questa forza è conservativa (e quindi si conserva l’energia
meccanica totale) e centrale (quindi si conserva il momento
angolare di C rispetto a S, che, essendo M>>m assumiamo
fermo).
b) Essendo Etot=U+K costante, |∆K|=|∆U|. Per l’interazione
gravitazionale, assumendo U(∞)=0, si ha U=−GMm/r, per
cui fra d e D (che sono i valori estremi della distanza r), si
ha |∆K|=|∆U|=GMm(1/d−1/D)=9GMm/D.
c) Per la conservazione del momento angolare, tenendo
conto che al perielio e all’afelio velocità e raggio vettore
(posizione di C rispetto a S) sono perpendicolari, si ha che
Lafelio=Lperielio ovvero mvminD=mvmaxd e quindi
vmax=10vmin. Inoltre, come si è detto al punto precedente,
per la conservazione dell’energia meccanica,
1/2m(vmax2−vmin2)=9GMm/D. Sostituendo si ottiene
vmin2=2GM/(11D) e quindi
Kafelio=(1/2)mvmin2=GMm/(11D). Questa quantità, sommata
a Uafelio=−GMm/D dà l’energia meccanica totale
Etot=K+U=(1/11−1)GMm/D=−10/11GMm/D, questa
quantità è negativa, come era da aspettarsi, visto che
l’orbita della cometa è chiusa. Notiamo che, ovviamente, lo
stesso valore di Etot si poteva trovare sommando Kperielio con
Uperielio.
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17 aprile 2003 Eserc. 1
k
V0
A
B
Due corpi A e B di uguale
massa M, poggiano su un
piano orizzontale liscio. I due corpi sono connessi da una molla di
costante elastica k. Inizialmente la molla è a riposo ed i due corpi
si muovono con uguale velocità V0. Ad un certo tempo (t=0) il
corpo B urta istantaneamente ed elasticamente contro un blocco
fisso, su cui rimbalza.
a) Di quanto varia la quantità di moto di B nell’urto? Quanto vale
la quantità di moto del sistema A+B dopo l’urto?
b) Con quale pulsazione inizia ad oscillare il sistema A+B dopo
l’urto?
c) Di quanto si comprime la molla, dopo l’urto?
d) A quale istante il corpo B urta nuovamente contro il blocco?
e) Come si muove il sistema A+B dopo il secondo urto?
17 aprile 2003
F
Esercizio 2
R
F
Un rocchetto è
2R
costituito da 3
cilindri
omogenei, dei quali due hanno massa M e raggio 2R e uno (quello
centrale) ha massa 2M e raggio R. Il rocchetto poggia su un piano
orizzontale su cui rotola senza strisciare. Tramite due fili
opportunamente avvolti sul rocchetto centrale vengono applicate
al sistema due forze identiche F che agiscono orizzontalmente
(vedi figura). Calcolare
a) il momento d’inerzia del sistema, sia rispetto al suo asse di
simmetria sia rispetto all’asse passante per i punti di contatto;
b) l’accelerazione angolare del sistema;
c) l’accelerazione del centro di massa del rocchetto
d) il modulo della forza d’attrito fra rocchetto e piano, chiarendo
anche se si tratta di una forza d’attrito statico o di attrito dinamico.
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17 aprile 2003 Esercizio 1 - soluzioni
Quando B rimbalza, la sua velocità si inverte, quindi
l’impulso ricevuto è −2MV0 e la quantità di moto di A+B
diventa nulla (si tratta di un risultato particolare, che si
verifica solo in questo caso specifico, a causa del fatto che i
due corpi hanno massa identica).
Dunque, dopo l’urto A e B compiono un moto armonico di
pulsazione ω=(k/µ)1/2, con µ=M/2, massa ridotta del
sistema ed intanto il centro di massa del sistema resta
fermo.
Dopo l’urto, si conserva l’energia meccanica totale; quindi
quando la molla è massimamente compressa (cioè quando
A e B sono fermi) si deve avere 2×(1/2)MV02=(1/2)k∆x2, da
cui si ricava ∆x=V0(2M/k)1/2, infatti subito dopo l’urto sia
A che B hanno energia cinetica (1/2)MV02.
Dopo mezza oscillazione, quindi dopo
π/ω=π(µ/k)1/2= π(M/2k)1/2, B torna ad urtare il blocco.
Nell’urto, che avviene in un istante in cui la molla è a
riposo ed A si sposta a velocità –V0, B riceve di nuovo un
impulso –2MV0, per cui subito dopo l’urto anche B si
allontana dal blocco con la stessa velocità di A.
Pertanto A e B si allontanano insieme con la velocità con
cui sono arrivati (a parte il segno) senza avere più alcuna
ragione di oscillare.
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17 aprile 2003 Esercizio 2 - soluzioni
Il momento d’inerzia rispetto all’asse di simmetria
cilindrica si calcola per somma:
Icm=2×(1/2)×M×(2R)2+(1/2)×2M×R2=5MR2.
Applicando il teorema degli assi paralleli si trova
Ipc=Icm+4M×(2R)2=21MR2.
L’accelerazione angolare si calcola facilmente se si sceglie
l’asse di contatto per calcolare i momenti (in modo che la forza
d’attrito, che per ora è incognita, non debba essere considerata per il
computo dei momenti). Si ottiene
α=τ/I=(F×3R+F×R)/Ipc=4RF/(21MR2) α=(4/21)F/(MR).
Moltiplicando α per 2R troviamo l’accelerazione del centro
di massa, che quindi è (8/21)F/M.
La forza d’attrito (statico, poiché nei moti di puro rotolamento il punto di
contatto è sempre istantaneamente fermo!) si può ora calcolare, poiché,
per la prima equazione cardinale (considerata per la componente
orizzontale delle forze) deve essere
Mtotacm=4M(8/21)F/M=(32/21)F=ΣF=2F+FA,
⇒
FA=(32/21−2)F=(−10/21)F.