Capitolo X

1
CIRCUITAZIONE E FLUSSO DEL CAMPO
MAGNETICO
Abbiamo gia detto che per determinare completamente un campo vettoriale
dobbiamo dare il valore della sua circuitazione ed il flusso del campo attraverso
una superficie chiusa. In questo capitolo determineremo sia la circuitazione sia
il flusso. Incominceremo con la circuitazione del campo magnetico. Divideremo lo studio in due parti. Nella prima ci limiteremo alle correnti stazionarie
e il risultato che otterremo va sotto il nome di "teorema di Ampère". Nella
seconda parte mostreremo la correzione apportata da Maxwell e solo allora
il teorema assumerà una validità generale e diventerà una legge fondamentale
dell’elettromagnetismo. Infine, parleremo del flusso del campo magnetico attraverso una superficie chiusa.
2
Circuitazione di B: il teorema di Ampère
Ci limiteremo alla sua dimostrazione nel caso in cui il campo sia prodotto da un
filo rettilineo indefinito (campo di Biot-Savart) percorso da corrente stazionaria.
Distinguiamo tra due casi.
Caso a. Supponiamo che il filo percorso da corrente sia quello indicato nella
figura sottostante.
Il percorso non si avvolge intorno al filo. I tratti 2 e 4 sono nella direzione radiale
mentre i tratti 1 e 3 sono parti di circonferenze con raggio rispettivamente uguale
a R1 e R3 . Il prodotto scalare è nullo nei tratti 2 e 4, pertanto da essi non viene
alcun contributo. Nei rimanenti tratti il campo B e lo spostamento infinitesimo
sono paralleli o antiparalleli, per cui:
Z
1+3
B · dl = −
Z
1
Bdl +
Z
3
Bdl = −B
Z
1
dl + B
Z
3
dl = −
µ0 I
µ I
L1 + 0
L3
2π R1
2π R3
dove L1 e L3 sono le lunghezze degli archi delle due circonferenze. Usando la
definizione di misura di un arco in radianti, potremo anche scrivere:
1
Z
1+3
B · dl = −
µ0 I
µ I
θR1 + 0
θR3 = 0
2π R1
2π R3
dove θ è l’angolo che sottende sia l’arco 1 che l’arco 2. Possiamo concludere,
dicendo che, per un percorso che non avvolga il filo, la circuitazione è nulla,
almeno per un campo prodotto da un filo rettilineo indefinito.
Caso b: Consideriamo, ora, un circonferenza che giri intorno al filo.
Anche in tal caso, la circuitazione si calcola anche facilmente e si trova, essendo
B e dl paralleli e concordi e B costante su una circonferenza con centro sul filo,
I
I
I
µ I
µ0 I
dl = 0 2πR = µ0 I
B · dl = Bdl =
(2)
2π R
2π R
La circuitazione, quando il percorso avvolge il filo, è proporzionale alla corrente
che fluisce in esso.
Se il percorso si avvolge N volte intorno al filo allora
I
B · dl = N µ0 I
(3)
Sebbene abbiamo fatto riferimento a casi molto semplici, l’esperienza mostra
che i due risultati valgono qualunque sia la forma del circuito percorso da corrente stazionaria che produce il campo e qualunque sia il percorso scelto per la
circuitazione.
Più in generale, data una qualsiasi linea chiusa, la circuitazione lungo di essa
del campo magnetico generato da un sistema comunque complesso di correnti è
uguale alla somma algebrica delle correnti concatenate (diremo che un percorso
è concatenato con un circuito se esso non può ridursi ad un punto) con la
linea; ciascuna corrente essendo presa come positiva (negativa) se fluisce in
verso concorde (discorde) con quello con cui avanza una vite che giri nel verso
fissato sul percorso ed essendo contata tante volte quante volte la linea è con
essa concatenata. Scriveremo tutto ciò come segue:
2
I
3
B · dl = ±µ0
X
In
(4)
n
Esempi
Il teorema di Ampère può essere usato per determinare il campo magnetico
prodotto da circuiti con particolari simmetrie, come in elettrostatica il teorema di Gauss può essere utilizzato per determinare il campo elettrico per distribuzioni di cariche con particolari simmetrie.
Esempio 1: Si può rideterminare il campo B prodotto da un filo rettilineo
indefinito.
Si procede in maniera inversa rispetto alla dimostrazione fatta per provare
il teorema di Ampère. Assumiamo valido il teorema di Ampère:
I
B · dl = µ0 I
(E1)
Per ragioni di simmetria il campo prodotto dal filo in un punto che disti r dal
filo sarà tangente alla circonferenza di raggio r e centro sul filo. Scegliamo il verso
(ovvero la corrente) in maniera tale che il campo sia parallelo allo spostamento
infinitesimo. Possiamo allora prendere come percorso proprio la circonferenza
che passa per il punto P e la precedente relazione diventa
B2πr = µ0 I
da cui
µ0 I
(E2)
2π r
che è proprio la legge di Biot-Savart.
Esempio 2: Determinare il campo B all’interno di un solenoide rettilineo
indefinito ideale.
Un solenoide è costituito da un filo conduttore sottile, avvolto a forma di
elica cilindrica, a spire circolari molto numerose e ravvicinate. In pratica il
solenoide è costituito da tante spire circolari percorse dalla stessa corrente. Per
ragioni di simmetria il campo B all’interno di un solenoide rettilineo indefinito
ideale è diretto lungo l’asse comune delle spire. All’esterno del solenoide, nelle
zone lontane dai bordi, il campo è talmente debole da potersi considerare nullo.
B=
3
Ci proponiamo di calcolare il campo B sull’asse comune delle spire. Useremo il teorema di Ampère per determinare tale campo. Il percorso, lungo il
quale calcoleremo la circuitazione è quello in figura, dove abbiamo disegnato
una sezione longitudinale.
La scelta del circuito è stata fatta in modo da semplificare il calcolo della
circuitazione del campo B:
I
Z
Z
Z
Z
B · dl = B · dl + B · dl + B · dl + B · dl
1
2
3
4
Nella precedente espressione abbiamo separato i comtributi alla circuitazione
nei quattro tratti.
Poiché il campo B è praticamente nullo all’esterno del solenoide, dal tratto
1 vi sarà un contributo nullo e sempre nulli saranno i contributi dei tratti 2 e
4 perché il campo B e lo spostamento infinitesimo sono ortogonali. Rimane il
tratto 3, dove il campo B risulta parallelo e concorde con lo spostamento lungo
tutto il tratto. Allora,
I
B · dl = Bl
(E3)
dove l è la lunghezza del tratto del percorso 3. Il teorema di Ampère, se le
spire, comprese nel tratto di persorso sono N si scriverà
I
B · dl = N µ0 I
(E4)
in cui I è la corrente che percorre l’avvolgimento (e quindi ogni spira). Ponendo
insieme la (E3) e la (E4) troviamo
Bl = N µ0 I
da cui
B = nµ0 I
4
(E5)
dove abbiamo introdotto la densità lineare delle spire, n = Nl /l, supposta
costante.
Possiamo dire che in un solenoide indefinito, in tutti i punti dell’asse il campo
B ha lo stesso valore (modulo, direzione e verso). Tale valore non dipende dal
raggio delle spire ma solo dalla corrente e dalla densità lineare delle stesse.
Esempio 3: Determinare il campo B all’interno di un solenoide toroidale
ideale.
Per ragioni di simmetria le linee di forza del campo devono essere circonferenze con centro sull’asse della figura toroidale:
Il campo B sarà tangente alle circonferenze e costante su ciascuna di esse. La
circuitazione, lungo una qualunque circonferenza di raggio r si calcola facilmente
e si trova
I
B · dl = 2πrB
Il teorema di Ampère ci dice che
I
B · dl = N µ0 I
dove N è il numero delle spire le spire che costituiscono l’avvolgimento. Dalle
due equazioni deduciamo:
µ0 I
N
(E6)
2π r
Il campo è inversamente proporzionale alla distanza r dal centro della figura
toroidale.
B=
5