CAP7-online 28..29

Concetti chiave e regole
Le equazioni polinomiali di grado superiore al secondo
Ogni equazione polinomiale del tipo E …x † ˆ 0 di grado n > 2 si puoÁ risolvere solo se il polinomio E …x † eÁ scomponibile in fattori al piuÁ di secondo grado; in tal caso, per trovare le soluzioni, si applica la legge di annullamento del
prodotto.
Equazioni particolari
Fra le equazioni di grado superiore al secondo ve ne sono alcune che si risolvono con metodi particolari.
l
Le equazioni binomie sono riconducibili alla forma x n ˆ k
algebrico:

p
p

n
n
se n eÁ pari e k 0
jxj ˆ k ! x ˆ k
se n eÁ pari e k < 0
se n eÁ dispari
l
l
e per risolverle si applica la definizione di radicale
l'equazione eÁ impossibile

p
n
xˆ k
Le equazioni trinomie sono riconducibili alla forma ax 2n ‡ bx n ‡ c ˆ 0
x n ˆ t.
Nel caso in cui n ˆ 2 l'equazione si dice biquadratica.
e per risolverle si opera la sostituzione
Le equazioni reciproche hanno la caratteristica di avere i coefficienti dei termini equidistanti dagli estremi che sono
1
uguali oppure opposti; di esse si puoÁ dire che, se ammettono la soluzione k, ammettono anche la soluzione .
k
Le equazioni di grado dispari e quelle di grado pari in cui manca il termine centrale ammettono sempre la soluzione
1 oppure 1.
Le equazioni di quarto grado complete della forma ax 4 ‡ bx 3 ‡ cx 2 ‡ bx ‡ a ˆ 0 si risolvono in questo modo:
- si dividono entrambi i membri per x 2 : ax 2 ‡ bx ‡ c ‡
b
a
‡ 2 ˆ0
x
x
- si raccoglie a fattor comune fra i termini di uguale coefficiente:
- si operano le sostituzioni:
x2 ‡
1
ˆ t2
x2
2 e x‡
1
a x ‡ 2
x
2
1
‡b x‡
x
‡c ˆ0
1
ˆt
x
- dopo aver risolto l'equazione in t si torna alla variabile x operando la sostituzione inversa.
Le equazioni irrazionali
Un'equazione eÁ irrazionale se l'incognita fa parte dell'argomento di un radicale.
q
l Le equazioni della forma
A…x † ˆ B…x †
si possono risolvere in due modi:
2
- risolvendo l'equazione
A…x † ˆ B…x †
e procedendo alla verifica delle soluzioni
2
- risolvendo l'equazione
A…x † ˆ B…x †
con la condizione B…x † 0.
q
3
3
l Le equazioni della forma
sono sempre equivalenti all'equazione A…x † ˆ ‰B…x †Š .
A…x † ˆ B…x †
Sistemi non lineari
Un sistema eÁ non lineare se almeno una delle sue equazioni eÁ di grado superiore al primo. In particolare:
l
in un sistema di secondo grado tutte le equazioni sono di primo grado tranne una che eÁ di secondo.
Per risolvere un sistema non lineare si applicano i due principi di sostituzione e/o di riduzione; se il sistema eÁ di se-
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condo grado conviene ricavare l'espressione di una variabile da una delle equazioni di primo grado e sostituire in
tutte le altre.
Sistemi simmetrici
Un sistema si dice simmetrico se, scambiando fra loro le incognite, si ottiene ancora il sistema dato; la sua caratteristica eÁ che, se ammette come soluzione la coppia …a, b †, allora ammette anche la coppia …b, a†.
Un sistema simmetrico di secondo grado si puoÁ sempre ricondurre alla forma
x‡y ˆs
xy ˆ p
e per trovare le sue soluzioni si puoÁ risolvere l'equazione di secondo grado t 2 st ‡ p ˆ 0; in questo caso le soluzioni
del sistema sono le coppie …t1 , t2 † _ …t2 , t1 † dove t1 e t2 sono le soluzioni dell'equazione in t.
Per sistemi simmetrici che si presentano in forme diverse eÁ utile ricordare le seguenti relazioni:
2
x 2 ‡ y 2 ˆ …x ‡ y †
2xy
e
3
x 3 ‡ y 3 ˆ …x ‡ y †
3xy …x ‡ y †
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