Esercizio svolto il 10/12/2008

CALCOLO DELLE PROBABILITÀ
PROVA SCRITTA DEL 1/7/2008
Esercizio 1
Un sintomo S è riconducibile a quattro patologie M1, M2, M3 e M4 a due a due incompatibili.
Sapendo che la probabilità che un individuo abbia la malattia Mh è pari a h / 20 (h = 1, 2, 3, 4),
(1.1) si calcoli la probabilità che abbia almeno una delle quattro patologie, motivando la risposta.
Sapendo, inoltre, che la probabilità che il sintomo S si manifesti in un soggetto affetto dalla
malattia Mh è pari a 1 / (h+1),
(1.2) si calcoli la probabilità di manifestazione del sintomo S, motivando la risposta.
(1.3) Si determini la probabilità che un individuo abbia la patologia M1 dato che presenta il
sintomo S, motivando la risposta.
(1.4) Data la presenza del sintomo S, qual è la malattia più probabile?
(1.5) Si stabilisca se gli eventi {presenza del sintomo S} e {presenza della malattia M 1} sono
incompatibili e/o indipendenti, motivando le risposte.
Soluzione
Esercizio 1
Un sintomo S è riconducibile a 4 patologie M1, M2, M3 e M4 a 2 a 2 incompatibili.
Sapendo che la probabilità che un individuo abbia la malattia Mh è pari a h / 20 (h = 1, 2, 3, 4),
(1.1) P(M1M2M3M4) = P(M1) + P(M2) + P(M3) + P(M4) = (1 + 2 + 3 + 4) / 20 = ½
per il terzo assioma di Kolmogorov.
Sapendo, inoltre, che la probabilità che il sintomo S si manifesti in un soggetto affetto dalla
malattia Mh è pari a 1 / (h+1),
(1.2) P(S) =  P(S | Mh) P(Mh) = [ h / (h+1)] / 20 = (1/2 + 2/3 + 3/4 + 4/5) / 20 = 0.1358
per la legge delle alternative.
(1.3) P(M1 | S) = P(S | M1) P(M1) / P(S) = (1/40) / 0.1358 = 0.1841
per la formula di Bayes.
(1.4) M4, dato che P(Mh | S) = P(S | Mh) P(Mh) / P(S) è massima per h = 4.
(1.5) Gli eventi S e M1 non sono incompatibili [altrimenti P(M1 | S) = 0] e
non sono indipendenti [altrimenti P(M1 | S) = P(M1)].