VALUTAZIONE INCERTEZZA DI MISURA

VALUTAZIONE INCERTEZZA DI MISURA
Ing. Carlo Carobbi
Misure Elettriche
Carobbi – Incertezza di misura
Pag. 1
Terminologia fondamentale (1 di 4)
I principali riferimenti per la terminologia sono:
– International Electrotechnical Commission (IEC), “IEC 60050 - International Electrotechnical Vocabulary (IEV)”, 2002
– International Organization for Standardization (ISO), “International Vocabulary of Basic and General Terms in Metrology (VIM)”, 1993
Misura: procedimento con cui si determina il valore di una grandezza fisica sperimentalmente mediante uno strumento di misura
Misurando: particolare grandezza soggetta ad una misura
Risultato di una misura: insieme di valori attribuiti ad un misurando e
descritto da: 1) valore del misurando, 2) incertezza, 3) unità di misura
Incertezza di misura: parametro, associato al risultato di una misura, che
caratterizza la dispersione dei valori che possono ragionevolmente essere
attribuiti al misurando
L’incertezza di misura serve a: 1) fornire una indicazione quantitativa
dell’attendibilità del risultato di una misura, 2) confrontare due risultati di
misura, 3) limitare il rischio di contenzioso fra acquirente e venditore
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Pag. 2
Terminologia fondamentale (2 di 4)
Il risultato della misura si esprime mediante:
Valore del misurando – Incertezza – Unità di misura
oppure
Intervallo di valori del misurando – Unità di misura
– Il centro dell’intervallo di valori è il valore del misurando, la semiampiezza dell’intervallo è l’incertezza
– Noto il valore del misurando e l’incertezza si determina l’intervallo di
valori del misurando
Esempi:
• Ampiezza A di una tensione
A = ( 2.2 ± 0.3) V
• Altezza h di una porta
• Ampiezza E di una campo elettrico
h = 210.2 cm ± 2 mm
E = (130 ± 20 ) mV/m
Nel caso del campo elettrico E : il valore del misurando è 130 mV/m,
l’incertezza è 20 mV/m, l’intervallo di valori è (110 ÷ 150 ) mV/m ,
l’incertezza relativa è 0.154 (15.4 %).
Incertezza relativa:
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Incertezza
Valore del misurando
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Terminologia fondamentale (3 di 4)
Valore vero: il (determinativo) valore di una grandezza che si otterrebbe
da una misura perfetta
Nessuna misura può essere perfetta, nessuna realizzazione di una grandezza fisica può essere perfetta, tuttavia il valore vero è un utile riferimento
concettuale.
Valore convenzionalmente vero: un (indeterminativo) valore attribuito
ad una grandezza avente incertezza adeguata per un dato scopo
Può essere un valore realizzato da un campione di riferimento, oppure la migliore
stima di una grandezza (valore di un misurando ottenuto da una misura ritenuta particolarmente attendibile), oppure un valore accettato per convenzione, la cui incertezza
è nulla o trascurabile. Questo ultimo è il caso delle costanti fisiche fondamentali:
– accelerazione di gravità g = 9.806 65 m/s 2 (valore esatto)
– velocità della luce nel vuoto c = 299 792 458 m/s (valore esatto)
– permeabilità magnetica del vuoto 4π ⋅ 10−7 H/m (esatto)
– costante di Boltzmann k = 1.380 6505 ⋅ 10−23 J/K (incertezza relativa 1.8 ⋅ 10−6 )
– carica elementare e = 1.602 176 53 ⋅ 10−19 C (incertezza relativa 8.5 ⋅ 10−8 )
Errore assoluto: differenza algebrica fra valore indicato (da uno strumento di misura) e un valore di confronto
Errore relativo: rapporto fra l’errore assoluto e il valore di confronto
Nota: per “errore” (“error” in inglese) non si intende “sbaglio” (“mistake”
o “blunder” in inglese) ma lo scarto inevitabile fra il risultato di una misura ed il valore vero del misurando
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Pag. 4
Terminologia fondamentale (4 di 4)
Accuratezza di misura: esprime il grado di accordo tra il risultato di una
misura e un valore convenzionalmente vero del misurando
Accuratezza di uno strumento di misura: esprime il massimo scarto ottenibile (in condizioni di impiego dello strumento dichiarate dal costruttore) fra il valore indicato dallo strumento ed il valore realizzato da un campione di riferimento
Precisione di uno strumento di misura: esprime il potere risolutivo di
uno strumento di misura, cioè il numero di cifre del visore, oppure la finezza della scala graduata
La ‘precisione’ non deve essere confusa con la ‘accuratezza’. Uno strumento di misura può essere molto preciso ma poco accurato e viceversa.
Per evitare confusione usare il termine ‘risoluzione’ anziché ‘precisione’.
Risoluzione di uno strumento di misura: è la più piccola variazione del
misurando che provoca una variazione nel valore indicato
Negli strumenti con indicazione numerica è il valore corrispondente ad un
conteggio della cifra meno significativa. Negli strumenti con indicazione
analogica è il valore corrispondente allo scarto fra due tacche successive
della scala graduata.
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Ripercussione delle incertezze – Somma e Differenza
x e y sono grandezze affette da incertezza. Come si ripercuotono le incertezze di x e y sulla somma x + y ?
x = x0 ± δ x
y = y0 ± δ y
e
– x0 e y0 : stime delle grandezze x e y
– δ x e δ y : incertezze delle stime
Sicuramente vale che
x0 + y0 − δ x − δ y ≤ x + y ≤ x0 + y0 + δ x + δ y
Si può decidere che l’incertezza della somma δ ( x + y ) è δ x + δ y . Tuttavia se le due grandezze x e y sono state ottenute in modo indipendente
l’una dall’altra (si dice che sono due grandezze fra loro indipendenti) è estremamente improbabile che: a) siano scartate nella stessa direzione, b) lo
scarto sia massimo. La combinazione più ragionevole delle incertezze di
grandezze indipendenti è la somma in quadratura
δ ( x + y) =
(δ x ) + (δ y )
2
2
Se si sospetta una correlazione fra le grandezze allora
δ ( x + y) = δ x +δ y
In ogni caso
δ ( x) + δ ( y) >
(δ x ) + (δ y )
2
2
Nota: lo stesso risultato vale per l’incertezza della differenza x − y
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Ripercussione delle incertezze – Prodotto e Rapporto
Come si ripercuote l’incertezza di x e y sul prodotto z = x ⋅ y ?
⎛ δx⎞ ⎛ δy⎞
z = ( x0 ± δ x ) ⋅ ( y0 ± δ y ) = x0 ⋅ y0 ⋅ ⎜1 ±
⎟ ⋅ ⎜1 ±
⎟
x
y0 ⎠
0 ⎠ ⎝
⎝
⎛
δx δy δx δy⎞
⎝
x0
( z )MAX = z0 ⋅ ⎜1 +
+
+
y0
x0
⋅
⎟
y0 ⎠
⎛
δx δy δx δy⎞
⎝
x0
( z )min = z0 ⋅ ⎜1 −
−
y0
+
⋅
x0
⎟
y0 ⎠
Si è posto z0 = x0 ⋅ y0 . L’incertezza è la semiampiezza dell’intervallo di valori ammissibili, quindi
δ ( z) =
( z )MAX − ( z )min
⎛δx δ y ⎞
= z0 ⋅ ⎜
+
⎟
x
⎝ 0 y0 ⎠
2
Per cui si sommano le incertezze relative
δ ( z)
z0
=
δx δy
x0
+
y0
Se non si sospetta correlazione fra x e y (cioè sono indipendenti)
δ (z)
z0
2
⎛δx ⎞ ⎛δ y ⎞
= ⎜ ⎟ +⎜
⎟
⎝ x0 ⎠ ⎝ y0 ⎠
2
Nota: lo stesso risultato vale per l’incertezza del rapporto x / y
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Legge di ripercussione delle incertezze
Assumendo una dipendenza qualsiasi della grandezza q da un numero N
qualsiasi di grandezze x1 , x2 ,...xN
q = q ( x1 , x2 ,..., xN )
si ricava, linearizzando q attorno alla stima x01 , x02 ,...x0 N ,
δq =
∂q
∂q
∂q
⋅ δ x1 +
⋅ δ x2 + ... +
⋅ δ xN
∂x1
∂x2
∂xN
Se le grandezze x1 , x2 ,...xN sono state determinate in modo indipendente
l’una dall’altra le rispettive incertezze si combinano secondo la somma in
quadratura
2
2
⎛ ∂q
⎞
⎛ ∂q
⎞ ⎛ ∂q
⎞
δq = ⎜
⋅ δ x1 ⎟ + ⎜
⋅ δ x2 ⎟ + ... + ⎜
⋅ δ xN ⎟
⎝ ∂x1
⎠ ⎝ ∂x2
⎠
⎝ ∂xN
⎠
2
– Le derivate parziali ∂q / ∂xi sono valutate nella stima x01 , x02 ,...x0 N e
sono dette coefficienti di sensibilità
– Dalla legge generale si ricavano le formule particolari viste in precedenza per somma e prodotto
– Particolarmente semplici sono i casi in cui le operazioni coinvolte sono
somma, differenza, prodotto, divisione, elevazione a potenza. Conviene
valutare la ripercussione delle incertezze in termini assoluti per somma
e sottrazione, in termini relativi per prodotto, divisione, elevazione a potenza
– La linearizzazione è consentita se le incertezze sono relativamente piccole
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Cifre significative
– L’incertezza quantifica il dubbio sulla conoscenza del valore del misurando
– Dell’incertezza si dà una stima
– Nella maggior parte delle applicazioni è sufficiente esprimere
l’incertezza con una cifra e comunque in nessun caso ha senso esprimere l’incertezza con più di due cifre. Il numero di cifre che si assegnano
al valore o all’intervallo di valori del misurando viene di conseguenza
Esempi:
– 177 ± 7.3482 mV non ha senso, 177 ± 7 mV è corretto
– 13.248 ± 0.2 g non ha senso, 13.2 ± 0.2 g è corretto
– 7.32 ± 0.15 m è corretto
Nel calcolo elettronico conviene usare tutte le cifre disponibili (memorizzando i risultati dei passaggi intermedi nelle memorie del calcolatore) per
evitare di introdurre nei calcoli errori di arrotondamento, salvo poi esprimere il risultato con i criteri sopra esposti
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Incertezza per effetti casuali - Incertezza per effetti sistematici
(1 di 4)
Incertezza dovuta a effetti casuali: è associata alla fluttuazione casuale
del valore del misurando attorno al proprio valore medio, ottenuto mediante misure ripetute
– E’ originata da variazioni casuali del misurando, della risposta dello
strumento di misura, delle condizioni ambientali di misura, della percezione dell’operatore
– Si stima mediante misure ripetute
Incertezza dovuta a effetti sistematici: è associata allo scostamento della
media dei valori del misurando, ottenuti attraverso misure ripetute, dal valore vero del misurando (in pratica da un valore vero convenzionale)
– E’ originata da una non idealità dello strumento di misura (offset, difetto di piattezza della risposta) o della configurazione di misura (f.e.m. di
contatto originata da connessione fra metalli diversi), dalla presenza di
disturbi a valor medio non nullo (disturbo raddrizzato da un elemento
non lineare)
– Lo scostamento è ignoto, se ne può dare una stima mediante una fascia
di valori plausibile
– Lo scostamento si stima mediante il confronto fra il valore misurato (eventualmente la media di più valori misurati) e un valore vero convenzionale (migliore stima, campione materiale, valore di riferimento convenzionale)
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Incertezza per effetti casuali - Incertezza per effetti sistematici
(2 di 4)
Estratto da J. Taylor “An Introduction to Error Analysis”
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Incertezza per effetti casuali - Incertezza per effetti sistematici
(3 di 4)
Estratto da J. Taylor “An Introduction to Error Analysis”
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Incertezza per effetti casuali - Incertezza per effetti sistematici
(4 di 4)
La classificazione della natura delle incertezze in sistematica e casuale è
utile dal punto di vista concettuale e didattico ma non ha conseguenze sul
modo con cui si combinano i corrispondenti valori di incertezza: le incertezze originate da cause indipendenti si sommano in quadratura, quelle originate da cause correlate si sommano in valore assoluto (a prescindere
dalla natura casuale o sistematica)
Esempi
– Misure di tempo nelle gare sportive, con cronometro con risoluzione
1
100
s, aziona-
to manualmente: sono misure indipendenti (la misura di durata di una gara non influenza la misura di durata di un’altra gara), l’incertezza dominante è di natura casuale (tempo di reazione del cronometrista superiore alla risoluzione del cronometro). L’incertezza della differenza di due tempi di gara è la somma in quadratura
delle incertezze
– Misure di lunghezze diverse con lo stesso metro, la cui lunghezza è scartata dalla
lunghezza di un campione di riferimento più della sua stessa risoluzione: sono misure correlate (le misure sono sempre in eccesso o in difetto), l’incertezza dominante è di natura sistematica. L’incertezza della differenza di due lunghezze misurate è la somma in valore assoluto delle incertezze
– Misure di una stessa resistenza effettuate con due strumenti diversi. Ripetendo le
misure con ciascuno dei due strumenti il valore letto non cambia apprezzabilmente. Quindi l’incertezza dominante è di natura sistematica. Le incertezze sono ricavabili dalle specifiche di accuratezza dei due strumenti e sono indipendenti. Se lo
scarto dei valori letti è inferiore alla somma in quadratura delle incertezze i due
strumenti forniscono misure compatibili della stessa resistenza
– Misura di una resistenza di terra disturbata dalla f.e.m. indotta dal flusso di un
campo magnetico indesiderato che concatena la spira voltmetrica: le letture variano casualmente dando origine ad un’incertezza di natura casuale che si somma in
quadratura con l’incertezza di natura sistematica ricavabile dalla specifica di accuratezza dello strumento
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Pag. 13
Valutazione di categoria A e di categoria B (1 di 3)
Dalla pubblicazione della “Guida all’espressione dell’incertezza di misura” da parte di ISO (nota brevemente come GUM, anno 1995) viene scoraggiato l’uso, in ambito tecnico, della classificazione casuale/sistematico
e dei termini valore vero ed errore per i seguenti motivi:
1. La classificazione casuale/sistematico è ambigua. Una componente di
incertezza che viene considerata di natura sistematica in un certo esperimento può diventare casuale in un altro esperimento e viceversa. Ad
esempio la non piattezza della risposta in frequenza di un voltmetro dà
origine ad un errore sistematico se si confrontano misure di diverse ampiezze di tensione effettuate con lo stesso voltmetro (alla stessa frequenza), casuale se si confrontano misure della stessa tensione con esemplari diversi dello stesso voltmetro (stesso costruttore, stesso modello)
2. Il valore vero non può essere determinato sperimentalmente (e quindi
neanche l’errore) e la misura è un processo sperimentale. Appare poco
convincente che un fondamento concettuale della misura (il valore vero)
sia al di fuori dell’ambito conoscitivo della misura stessa
L’approccio attuale prevede di distinguere i metodi di valutazione delle incertezze (categoria A e categoria B, vedi dopo) ma non le incertezze stesse
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Pag. 14
Valutazione di categoria A e di categoria B (2 di 3)
Valutazione dell’incertezza di categoria A: metodo di valutazione
dell’incertezza per mezzo dell’analisi statistica di serie di valori misurati
(GUM)
– L’analisi statistica di una serie (campione) di N valori misurati (osservazioni) xi , con i = 1, 2,...N consiste nel determinare la migliore stima
del valore misurato mediante la media aritmetica xm del campione
1
xm =
N
N
∑x
i =1
i
e l’incertezza della migliore stima mediante lo scarto tipo sperimentale
della media
sm =
N
1
2
( xi − xm )
∑
N ( N − 1) i =1
– L’incertezza dell’incertezza si può stimare con la seguente formula1
δ sm
sm
=
1
2 ( N − 1)
Valutazione dell’incertezza di categoria B: metodo di valutazione
dell’incertezza con mezzi diversi dall’analisi statistica di serie di osservazioni (GUM)
– Con mezzi diversi si intende facendo ricorso a informazioni ricavate da
manuali di strumentazione, dati di taratura, esperienza e cultura di chi
effettua la misura
– L’incertezza valutata con il metodo di categoria B si stima con uno scarto tipo (come categoria A)
1
La formula è un’approssimazione più che accettabile per N > 10 . Per N = 10, 5, 4, 3, 2 i rispettivi valori, in percento,
della incertezza relativa sono: 23, 34, 39, 46, 60.
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Valutazione di categoria A e di categoria B (3 di 3)
– La classificazione categoria A/categoria B specifica il metodo di valutazione non la natura delle incertezze
– La definizione categoria A/categoria B può essere così rovesciata: le
componenti di incertezza che possono essere ristrette aumentando il
numero N delle misurazioni si dicono di tipo A, le altre sono di tipo B
(fonte: EN 60359 “Electrical and electronic measurement equipment –
Expression of performance”, 2002). Il perché del fatto che,
all’aumentare di N , le incertezze di tipo A diminuiscono sarà chiaro più
avanti
– Affinché le incertezze valutate con metodi di categoria A e di tipo B
possano essere combinate (ad esempio mediante la legge di ripercussione dell’incertezza) devono essere espresse con grandezze omogenee,
cioè in termini di scarto tipo. Questo assicura che il risultato della combinazione è ancora uno scarto tipo. Vedremo più avanti come esprimere
le incertezze di categoria B in termini di scarto tipo
Nota 1: La classificazione categoria A/categoria B riflette due distinte definizioni della probabilità: 1) Definizione frequentistica: la probabilità è il limite della frequenza
relativa osservata del ripetersi di un certo evento (numero di volte in cui l’evento si è
verificato sul totale numero totale dei tentativi). 2) Definizione classica o a-priori:
rapporto stabilito a-priori (non determinato sperimentalmente) fra casi favorevoli
all’evento e casi possibili. Nessuna delle due definizioni è esente da difetti. La prima
è una definizione basata sull’esperienza collettiva, tuttavia il limite deve essere accettato come ipotesi, non è certo sperimentabile. La seconda è una definizione basata
sulla interpretazione soggettiva della probabilità come misura del grado di conoscenza del verificarsi di un evento.
Nota 2: Di fatto l’abbandono della classificazione casuale/sistematico, e della terminologia valore vero ed errore in favore di categoria A/categoria B e incertezza non è
indolore, anche per gli addetti ai lavori (se non altro perché la prima è ben consolidata e didatticamente efficace). Probabilmente le due posizioni dovranno ancora convivere.
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Uso del calcolatore
Anche le calcolatrici tascabili scientifiche più comuni dispongono delle
funzioni di calcolo di media e scarto tipo sperimentale (o del campione).
Lo scarto tipo del campione s è così definito:
s=
1 N
2
x
−
x
(
)
∑ i m
N − 1 i =1
Il quadrato dello scarto tipo, s 2 , è detto varianza sperimentale. Si osservi
che
1
xm =
N
N
∑x
i =1
i
1 N 2
1
⎛ N ⎞
2
s =
xi ⎟
∑ xi − N ( N − 1) ⎜⎝ ∑
N − 1 i =1
i =1
⎠
Il calcolatore determina le tre quantità N ,
N
N
∑x , ∑x
i =1
i
i =1
2
i
2
(1)
e le memorizza in
dei registri interni. Da queste tre quantità il calcolatore calcola media e
scarto tipo mediante le formule (1). Media e scarto tipo vengono aggiornati
e resi disponibili via via che le osservazioni xi vengono inserite
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Esercizio sull’uso del calcolatore
Calcolare media, scarto tipo del campione, scarto tipo della media per le seguenti tre serie di
20 misure della stessa grandezza fisica
Prima serie:
-1.4324 -1.8308 1.2479 0.3990 0.6546 -1.4478 -0.5779 2.1130 -1.2415 -1.1276 -1.0043
-0.1112 0.0298 -0.3962 -1.7468 0.8481 1.8629 -0.6541 -0.9875 0.9119
Seconda serie:
-0.3788 0.5020 -0.9750 -0.4698 1.7508 1.7384 0.5569 -0.8254 0.8591 -0.0793 -0.8467
-0.3628 0.5105 -1.6122 0.3313 -0.1149 -0.5653 1.2228 -2.5215 -0.4822
Terza serie:
0.8606 -1.4418 -0.8455 0.9024 -0.1545 -0.4546 2.1743 -1.0775 -1.4926 0.4623 -0.1460
1.5370 0.3632 0.5784 0.6785 -0.0866 1.9852 0.3377 -0.1019 -0.0682
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Valore medio, scarto tipo del campione,
scarto tipo della media di N misure
In figura è mostrato il risultato dell’acquisizione di tre serie di N = 20 valori misurati xi
( i = 1, 2," 20 ), rappresentati con punti nell’intervallo (−3, +3) . In ciascuno dei tre grafici sono forniti, in alto a destra, il valore della media xm e dello scarto tipo s . Con simboli sono identificati la
media (cerchietto e croce), e gli estremi degli intervalli xm ± s (con < e > , più esterni) e
xm ± s / N (ancora < e > , più interni). La dispersione relativa attesa sullo scarto tipo è
1/ 2( N − 1) = 0.16 .
xm = −0.22
s = 1.2
xm = −0.088
s = 1.1
xm = 0.20
s = 1.0
(i valori xi in realtà non sono stati misurati ma sono stati ottenuti da un generatore di numeri casuali, e sono distribuiti con densità di probabilità normale a media nulla e varianza pari a 1)
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Pag. 19
Significato di scarto tipo del campione e
scarto tipo della media
Scarto tipo del campione
– Lo scarto tipo del campione s rappresenta la dispersione (in termini di
scarto quadratico medio) degli N valori osservati xi attorno al valore
medio xm
– Conoscendo la media xm e lo scarto tipo del campione s (oltre alla distribuzione degli xi , ad esempio gaussiana) si può rispondere a domande
del tipo: qual è la probabilità di imbattersi in un valore osservato della
grandezza x maggiore di …, oppure minore di …, oppure compreso fra
…
Scarto tipo della media
– Lo scarto tipo della media sm rappresenta la dispersione delle medie xm
che si otterrebbero ripetendo più volte l’esperimento con cui si ottengono le N osservazioni xi . Le medie xm ottenute dai vari esperimenti sono
distribuite attorno al valore medio (valore atteso) xμ che si otterrebbe da
un (ipotetico) esperimento in cui si effettuano infinite misure
– Conoscendo la media xm e lo scarto tipo della media sm (oltre alla distribuzione delle medie xm , ad esempio la distribuzione ‘t di Student’) si
può rispondere a domande del tipo: qual è la probabilità che xμ sia superiore a …, oppure inferiore a …, oppure compreso fra …
– Dato che al crescere di N la media xm tende a xμ , la corrispondente dispersione sm tende a zero (mentre s tende a σ , lo scarto tipo ‘vero’ della grandezza x ). Al crescere di N , sm decresce proporzionalmente a
1/ N
– Se i contributi di incertezza di categoria B si possono ritenere trascurabili rispetto ai contributi di categoria A allora xμ rappresenta il valore vero della grandezza x
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Pag. 20
Istogrammi e distribuzioni (1 di 8)
Di seguito sono riportate N = 32 osservazioni xi ( i = 1, 2,..., N ) di una
grandezza fisica. Il valore della grandezza è espresso con 1 cifra decimale
(dipende dalla risoluzione dello strumento di misura).
21.1
21.0
19.3
22.2
21.9
20.0
21.9
20.4
21.8
22.0
22.5
21.9
20.8
19.9
21.5
21.3
20.9
20.3
21.2
20.7
21.2
19.9
20.2
20.2
20.3
22.1
20.3
21.3
20.8
20.4
22.3
19.2
19.3
20.3
21.1
21.9
19.9
20.4
21.2
21.9
19.9
20.4
21.2
22.0
20.0
20.7
21.3
22.1
20.2
20.8
21.3
22.2
20.2
20.8
21.5
22.3
20.3
20.9
21.8
22.5
Riordiniamo le xi
19.2
20.3
21.0
21.9
e contiamo le n j ( j = 1, 2,...M ) osservazioni che cadono negli intervalli di
ampiezza δ = 0.5 e di estremi 19.0, 19.5, 20.0, 20.5, 21.0, 21.5, 22.0, 22.5,
23.0 ( M = 8 intervalli).
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Pag. 21
Istogrammi e distribuzioni (2 di 8)
Gli intervalli sono centrati in xcj
j
1
2
3
4
5
6
7
8
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DA ( ≥ )
19.0
19.5
20.0
20.5
21.0
21.5
22.0
22.5
A (< )
19.5
20.0
20.5
21.0
21.5
22.0
22.5
23.0
nj
xcj
fj
2
2
8
4
6
5
4
1
19.25
19.75
20.25
20.75
21.25
21.75
22.25
22.75
0.125
0.125
0.5
0.25
0.375
0.3125
0.25
0.0625
Carobbi – Incertezza di misura
Pag. 22
Istogrammi e distribuzioni (3 di 8)
Il rapporto p j = n j / N stima la probabilità che un elemento xi cada
nell’intervallo centrato in xcj , di ampiezza δ
Si definisce densità di probabilità f j la seguente grandezza
fj =
nj
N ⋅δ
=
pj
δ
j = 1, 2,...M
Il diagramma a barre (istogramma) può essere scalato in termini di f anziché di n , basta moltiplicare la scala verticale per 1/( N ⋅ δ ) (cioè 1/16
nell’esempio)
Aumentando il numero N di osservazioni, diminuendo l’ampiezza δ degli
intervalli e disponendo di un numero di cifre decimali crescente si può far
tendere l’istogramma ad una curva continua detta densità di probabilità o
distribuzione di probabilità (ordinata espressa in termini di f )
Misure Elettriche
Carobbi – Incertezza di misura
Pag. 23
Istogrammi e distribuzioni (4 di 8)
N = 128, 2 cifre decimali, δ = 0.1
Misure Elettriche
Carobbi – Incertezza di misura
Pag. 24
Istogrammi e distribuzioni (5 di 8)
N = 1024, 3 cifre decimali, δ = 0.05
Misure Elettriche
Carobbi – Incertezza di misura
Pag. 25
Istogrammi e distribuzioni (6 di 8)
N = 215 = 32 768, 5 cifre decimali, δ = 0.01
Per chiarezza di rappresentazione si sono usati dei punti al posto delle barre. La curva
continua rappresenta il limite per numero infinito di osservazioni, numero illimitato
di decimali (infinito potere risolutivo), ampiezza infinitesima degli intervalli.
Nell’esempio la curva limite è la densità di probabilità normale o gaussiana f ( x) di
parametri xμ e σ (con xμ = 21 e σ = 1)
⎛ ( x − x )2
μ
f ( x) =
exp ⎜ −
⎜
2σ 2
2πσ
⎝
1
Misure Elettriche
⎞
⎟
⎟
⎠
Carobbi – Incertezza di misura
Pag. 26
Istogrammi e distribuzioni (7 di 8)
Torniamo al caso di N = 32 osservazioni
Media
1
xm =
N
N
∑x
i
i =1
Nell’esempio xm = 20.9625 , approssimando
1
xm ≈
N
M
∑x
cj
j =1
M
M
j =1
j =1
n j = ∑ xcj p j = ∑ xcj f jδ
Con l’approssimazione si trova xm ≈ 20.96875. Passando al limite
+∞
∫ x f ( x ) dx
xμ =
−∞
1
Si osservi poi che
N
M
M
M
∑ n = ∑ p = ∑ f δ = 1 , quindi passando al limite
j =1
j
j =1
j
j =1
j
+∞
∫ f ( x ) dx = 1
−∞
La probabilità che x si compresa fra x A e xB è
Prob { x A ≤ x ≤ xB } =
xB
∫ f ( x ) dx
xA
x A può essere eventualmente −∞ , e xB +∞ .
Misure Elettriche
Carobbi – Incertezza di misura
Pag. 27
Istogrammi e distribuzioni (8 di 8)
Varianza (scarto tipo) e valore quadratico medio
1 N
2
s =
x
−
x
(
)
∑ i m
N − 1 i =1
2
Nell’esempio s 2 = 0.785 . Approssimando
s ≈ ∑ ( x j − xm ) f jδ
M
2
2
j =1
Approssimando s 2 ≈ 0.827. Sia con le formule esatte che con le formule
approssimate si ottiene per media xm = 21.0 e scarto tipo della media
sm = 0.2 . Passando al limite si ottiene la varianza σ 2
σ =
2
+∞
∫ ( x − x ) f ( x ) dx
2
μ
−∞
2
Si definisce valore quadratico medio xrms
la seguente quantità
+∞
2
rms
x
=
∫ x f ( x ) dx
2
−∞
2
Vale che xrms
= xμ2 + σ 2 . Se x ( t ) è un segnale che varia casualmente nel
tempo t allora
τ +T
1
2
xeff = lim ∫ x 2 ( t ) dt
T →∞ T
τ
xeff è il valore efficace del segnale. Vale che xrms = xeff .
Misure Elettriche
Carobbi – Incertezza di misura
Pag. 28
Valutazione incertezza di categoria B
– La valutazione consiste nell’assegnare alla grandezza x uno scarto tipo
σ in base alle informazioni disponibili
– Le informazioni riguardano:
1) Gli estremi dell’intervallo in cui si assume che, con elevato livello di
fiducia, si trovi il valore vero della grandezza. Generalmente
l’intervallo è simmetrico e centrato sullo 0 (estremi − I , + I , tutte le
correzioni per gli errori sistematici noti si considerano apportate)
2) La distribuzione di probabilità della grandezza all’interno
dell’intervallo
Nota bene: la distribuzione di probabilità della grandezza non è desunta da
una indagine statistica sulla grandezza fisica (è, ad esempio, un’indagine
statistica la procedura con cui si ottiene, mediante la raccolta e l’analisi di
valori di misura, l’istogramma) ma da un insieme di conoscenze. Si tratta
di assegnare, in base alle conoscenze ricavate da manuali di strumentazione, certificati di taratura, trasmissione orale, esperienza e cultura di chi effettua la valutazione di incertezza, una distribuzione di probabilità ragionevole.
Misure Elettriche
Carobbi – Incertezza di misura
Pag. 29
Distribuzioni di probabilità (1 di 11)
Uniforme
Si assegna nel caso di assenza di informazioni sulla distribuzione dei valori ragionevolmente attribuibili alla grandezza all’interno dell’intervallo di
estremi ± I
f ( x)
1
2I
−I
+I
x
Dalla conoscenza degli estremi dell’intervallo si risale allo scarto tipo
mediante la seguente formula
σ=
Misure Elettriche
I
≈ 0.58 I
3
Carobbi – Incertezza di misura
Pag. 30
Distribuzioni di probabilità (2 di 11)
Triangolare
Si assegna quando si ritiene che i valori prossimi agli estremi ± I
dell’intervallo siano meno probabili dei valori centrali e non si dispone di
altre informazioni
f ( x)
1
I
−I
+I
x
Dagli estremi dell’intervallo si risale allo scarto tipo mediante la formula
seguente
σ=
Misure Elettriche
I
≈ 0.41 I
6
Carobbi – Incertezza di misura
Pag. 31
Distribuzioni di probabilità (3 di 11)
Trapezoidale
E’ la distribuzione della somma z di due grandezze x e y indipendenti e
distribuite uniformemente. Se con σ x e σ y si indica lo scarto tipo di x e y
rispettivamente, allora:
σ z = σ x2 + σ y2
e
I M = 3 (σ x + σ y ) , I m = 3 σ x − σ y
f ( z)
1
IM + Im
−Im
−IM
+ Im
+IM
z
Dai parametri della distribuzione trapezoidale I M e I m si risale allo scarto
tipo σ z mediante la formula seguente
σz =
Misure Elettriche
I M2 + I m2
≈ 0.41 I M2 + I m2
6
Carobbi – Incertezza di misura
Pag. 32
Distribuzioni di probabilità (4 di 11)
Ad ‘U’
Si assegna quando si ritiene che i valori prossimi agli estremi ± I
dell’intervallo siano più probabili dei valori centrali e non si dispone di altre informazioni
f ( x)
1
πI
+I
−I
x
L’espressione analitica della distribuzione di probabilità ad ‘U’
f ( x) =
1
π I −x
2
2
x <I
Dagli estremi dell’intervallo si risale allo scarto tipo mediante la seguente
formula
I
σ=
≈ 0.71 I
2
Ad ‘U’ sono distribuiti i valori della parte reale di un numero complesso di
ampiezza I e fase distribuita uniformemente fra 0 e π
Misure Elettriche
Carobbi – Incertezza di misura
Pag. 33
Distribuzioni di probabilità (5 di 11)
Normale o Gaussiana (1 di 7)
E’ la distribuzione di probabilità più popolare. La sua espressione matematica è la seguente
⎛ ( x − x )2 ⎞
1
μ
⎟
f ( x) =
exp ⎜ −
2
⎜
⎟
2σ
2πσ
⎝
⎠
I parametri della distribuzione sono xμ , il valore atteso, e σ 2 , la varianza.
1
2π σ
FWHM
2.35 σ
xμ
Il parametro FWHM (Full Width at Half Maximum) rappresenta la larghezza della distribuzione a metà ampiezza, ed è pari a
2 2 ln 2 σ ≈ 2.35 σ . In figura è rappresentato il caso xμ = 0 , σ = 1.
Misure Elettriche
Carobbi – Incertezza di misura
Pag. 34
Distribuzioni di probabilità (6 di 11)
Normale o Gaussiana (2 di 7)
La ragione della popolarità della distribuzione normale è attribuibile al
teorema del limite centrale:
Sia y = c1 x1 + c2 x2 + ... + cN xN , dove xi sono grandezze indipendenti di valore atteso xiμ e scarto tipo σ i , e ci dei coefficienti ( i = 1, 2,...N ). Se
( ciσ i )
2
sono di ampiezza comparabile e N è di diverse unità allora, qualunque sia la distribuzione di probabilità delle grandezze xi , y ha distribuzione di probabilità approssimativamente normale con valore atteso
yμ = c1 x1μ + c2 x2 μ + ... + cN xN μ
e varianza
σ y2 = ( c1σ 1 ) + ( c2σ 2 ) + ... + ( cN σ N )
2
2
2
– Per il teorema del limite centrale la media di misure ripetute e indipendenti di una stessa grandezza (comunque distribuita) ha distribuzione
approssimativamente gaussiana
Misure Elettriche
Carobbi – Incertezza di misura
Pag. 35
Distribuzioni di probabilità (7 di 11)
Normale o Gaussiana (3 di 7)
– Le ipotesi del teorema del limite centrale sono soddisfatte da una grandezza generica q = q ( x1 , x2 ,...xN ) (funzione qualsiasi di x1 , x2 ,...xN , non
necessariamente combinazione lineare) se:
1. la funzione q ( x1 , x2 ,...xN ) è ben approssimata dal suo sviluppo al I
ordine di Taylor in un intorno sufficientemente ampio del punto
x1μ , x2 μ ,...xN μ ,
2
⎛ ∂q ⎞
2. ⎜
σ i ⎟ sono di ampiezza comparabile (derivate parziali valutate
∂
x
⎝ i ⎠
nel centro dello sviluppo),
3. N è di diverse unità.
Si pone (si tratta di approssimazioni) per il valore atteso
qμ ≈ q ( x1μ , x2 μ ,...xN μ )
e per la varianza
2
2
⎛ ∂q
⎞
⎛ ∂q ⎞ ⎛ ∂q
⎞
σ q2 ≈ ⎜ σ 1 ⎟ + ⎜
σ 2 ⎟ + ... + ⎜
σN ⎟
⎝ ∂x1 ⎠ ⎝ ∂x2 ⎠
⎝ ∂xN
⎠
2
– La distribuzione gaussiana è osservabile sperimentalmente: il rumore
termico nei circuiti passivi ed il rumore termico equivalente nei dispositivi e apparati elettronici (in particolare negli strumenti di misura) sono
descrivibili con tensioni e correnti casuali con ampiezze distribuite secondo una normale (di valore atteso nullo)
Misure Elettriche
Carobbi – Incertezza di misura
Pag. 36
Distribuzioni di probabilità (8 di 11)
Normale o Gaussiana (4 di 7) - Tabella di probabilità
Estratto da J. Taylor “An Introduction to Error Analysis”
Misure Elettriche
Carobbi – Incertezza di misura
Pag. 37
Distribuzioni di probabilità (9 di 11)
Normale o Gaussiana (5 di 7) - Tabella di probabilità
Estratto da J. Taylor “An Introduction to Error Analysis”
Misure Elettriche
Carobbi – Incertezza di misura
Pag. 38
Distribuzioni di probabilità (10 di 11)
Normale o Gaussiana (6 di 7) – Probabilità entro tσ , rappresentazione
grafica
Prob { xμ − tσ < x < xμ + tσ } =
+t
∫
−t
Misure Elettriche
⎛ z2 ⎞
1
exp ⎜ − ⎟ dz
2π
⎝ 2⎠
Carobbi – Incertezza di misura
Pag. 39
Distribuzioni di probabilità (11 di 11)
Normale o Gaussiana (7 di 7)
Generalmente, se si assegna la distribuzione normale ad una grandezza per
la valutazione tipo B dell’incertezza, l’intervallo di estremi ± I corrisponde ad un livello di probabilità del 95 % (è quanto prescritto in particolare
dalle norme specifiche per la strumentazione di misura, vedi EN 60359 “Electrical and electronic measurement equipment – Expression of performance”, 2002). Quindi per risalire allo scarto tipo dalla ampiezza
dell’intervallo si usa la formula
σ≈
Misure Elettriche
I
≈ 0.51 I
1.96
Carobbi – Incertezza di misura
Pag. 40
Incertezza composta, incertezza estesa,
livello di fiducia, fattore di copertura
– L’incertezza ottenuta dalla combinazione dei contributi di categoria A e
di categoria B per tramite della legge di ripercussione delle incertezze si
dice incertezza composta ed è espressa in termini di 1 scarto tipo
– E’ utile in molte applicazioni (commercio, industria, normative, verifiche per la sicurezza e salute pubblica) esprimere l’incertezza in modo da
definire un intervallo di valori del misurando tale da comprendere gran
parte della distribuzione di valori attribuibili al misurando stesso.
L’intervallo è detto intervallo di fiducia, la semiampiezza dell’intervallo
è detta incertezza estesa. La porzione di valori compresa entro
l’intervallo di fiducia è definita dal livello di fiducia (ad esempio e tipicamente il 95 %)
– L’incertezza estesa è pari a k volte l’incertezza composta. Il valore di k
dipende dalla distribuzione di probabilità del misurando e dal livello di
fiducia richiesto. k è detto fattore di copertura
Esempio: livello di fiducia richiesto 95 %, misurando con distribuzione di
probabilità normale, il fattore di copertura è k = 1.96 ≈ 2
Misure Elettriche
Carobbi – Incertezza di misura
Pag. 41
Confronto fra valore del misurando e valore di riferimento
(1 di 2)
Talvolta si deve esprimere un parere sulla accettabilità o meno di una caratteristica fisica del misurando mediante il confronto fra il valore del misurando (che quantifica la caratteristica fisica) ed un valore di riferimento
stabilito da norma o accordo fra acquirente e venditore. Si tratta di stabilire
se il valore del misurando è inferiore (o superiore) ad un valore limite
ammissibile, oppure se il valore del misurando è compatibile con (cioè non
troppo scostato da) un valore vero convenzionale. Si deve conoscere (o assumere a-priori) la distribuzione di probabilità del misurando. Sia xm la
stima del misurando e sm la sua incertezza (1 scarto tipo).
– Supponiamo che il criterio di accettazione richieda che il valore del misurando sia inferiore ad un certo valore limite xr . Si valuta lo scarto relativo tr = ( xr − xm ) / sm e la probabilità Prob {t < tr } . Se tale probabilità
risulta sufficientemente alta (valore minimo di probabilità stabilito da
norma o da contratto, ad esempio 99 %), allora la caratteristica fisica è
accettabile, altrimenti non lo è.
Esempio: Da una misura di campo elettromagnetico risulta che il campo
elettrico emesso non intenzionalmente da un apparecchio biomedicale è
26 dB(μV/m) ± 3 dB (1 scarto tipo). La normativa di riferimento stabilisce: a) il limite di emissione: 30 dB(μV/m), b) il criterio di conformità
al limite: probabilità di superare il limite inferiore al 5 %. Si assume che
il campo elettrico segua la distribuzione normale. La probabilità che
l’emissione di campo elettrico indesiderato sia inferiore al limite di emissione è Prob {t < (30 − 26) / 3} = 90.8 %. La probabilità di superare il
limite è circa 9 %. Si conclude che l’apparecchio non è conforme al limite di norma.
Misure Elettriche
Carobbi – Incertezza di misura
Pag. 42
Confronto fra valore del misurando e valore di riferimento
(2 di 2)
– Supponiamo che si debba stabilire se il valore del misurando è compatibile con un valore di riferimento xr (privo di incertezza o di incertezza
trascurabile rispetto a quella associata al valore del misurando). Si valuta lo scarto relativo tr = xm − xr / sm e la probabilità Prob { t > tr } . Se tale probabilità risulta inferiore ad un certo valore minimo (convenzionalmente stabilito, ad esempio 1 %) allora il valore del misurando ed il
valore di riferimento sono fra loro incompatibili. Altrimenti la compatibilità è dubbia o sono compatibili.
Esempio: Si deve stabilire se il materiale dielettrico utilizzato per isolare i conduttori interno e esterno di un cavo coassiale di caratteristiche elettriche ignote è Teflon o Polietilene. Da una tabella che riporta le costanti dielettriche relative di vari
materiali isolanti, redatta da un ente autorevole, risulta che la costante dielettrica
relativa del Teflon è 2.10, quella del Polietilene 2.26. Tramite una misura indiretta
di costante dielettrica si ricava, per l’esemplare di cavo coassiale in questione, il
valore 2.22 ± 0.04 (1 scarto tipo, distribuzione normale).
Si assume in prima battuta che l’isolante sia Polietilene e quindi che il valore
vero della costante dielettrica sia 2.26. La probabilità di ottenere dalla misura indiretta un valore tanto scartato dal valore vero quanto il valore osservato 2.22 è
Prob { t > 2.26 − 2.22 / 0.04} , cioè 32 %. Il valore misurato è quindi compatibile
con il valore della costante dielettrica del Polietilene.
Si assume poi che l’isolante sia Teflon e quindi che il valore vero della costante
dielettrica sia 2.10. In questo caso la probabilità di ottenere un valore misurato tanto scartato dal valore vero quanto lo è 2.22 è inferiore a
Prob { t > 2.10 − 2.22 / 0.04} , cioè 0.3 %. Il valore misurato della costante dielettrica è perciò incompatibile con quello del Teflon. Si conclude che l’isolante è Polietilene.
Nota 1: più incerto è il valore del misurando più facile è che sia compatibile con il
valore di riferimento
Nota 2: in entrambi gli esempi le probabilità sono state ricavate dalle tabelle di
probabilità della distribuzione normale. Questa è la prassi.
Misure Elettriche
Carobbi – Incertezza di misura
Pag. 43
Compatibilità delle misure
Si tratta di stabilire se due misure indipendenti dello stesso misurando
sono fra loro compatibili. Sia x1m il valore del misurando #1 e x2m il valore del misurando #2. Siano poi s1m e s2m le rispettive incertezze. Si valuta la quantità
x −x
tr = 1m 2 m
s12m + s22m
Se risulta Prob { t > tr } inferiore ad un certo valore minimo convenzionale (ad esempio 1 %) allora i due valori sono fra loro incompatibili.
Esempio 1: Si misura la resistenza di terra RT di un’impianto elettrico
con due metodi distinti: metodo #1 volt-amperometrico, metodo #2 del
confronto. Dal metodo #1 si ottiene RT 1 = ( 22 ± 4 ) Ω (1 scarto tipo, distribuzione normale), applicando il metodo #2 risulta RT 2 = (18 ± 3) Ω (1
scarto tipo, distribuzione normale). Lo scarto di 4 Ω è del tutto plausibile: infatti la probabilità di uno scarto così ampio o superiore è
Prob { t > 22 − 18 / 5} = 42.37 %, per cui le misure sono compatibili.
Esempio 2: La stessa resistenza di valore nominale 50 Ω viene misurata
con due multimetri di diversa marca. L’unico contributo all’incertezza
di entrambe le misure è l’accuratezza del multimetro (incertezza di tipo
B). Dalla misura con un multimetro si ottiene (50.5 ± 1.2) Ω (intervallo
con probabilità uniforme), con l’altro multimetro si trova (48.12 ± 0.80)
Ω (intervallo con probabilità uniforme). I due intervalli non sono sovrapposti, quindi le due misure sono incompatibili.
Nota: maggiore è l’incertezza di uno o di entrambi i valori del misurando più facile è che siano fra loro compatibili
Misure Elettriche
Carobbi – Incertezza di misura
Pag. 44
Combinazione di misure indipendenti (media pesata)
Si conoscono due valutazioni indipendenti e compatibili, x1m e x2 m , di
uno stesso misurando e le relative incertezze, s1m e s2 m . E’ possibile ottenere, a partire da queste due valutazioni, una terza valutazione xw più
attendibile di ciascuna delle due e la relativa incertezza sw . E’ chiaro che
la valutazione meno incerta deve avere maggior peso nella media.
xw =
sw =
w1 x1m + w2 x2 m
w1 + w2
1
w1 + w2
media pesata
incertezza della media pesata
2
Si è posto wi = 1/ sim
, con i = 1, 2
Esempio: si misura la velocità di propagazione v di un’onda in una linea
di trasmissione a microstriscia mediante una tecnica riflettometrica
(dominio del tempo) basata sull’uso di oscilloscopio e generatore di impulsi e si ottiene v1 = ( 2.35 ± 0.05 ) ⋅108 m/s (1 scarto tipo, distribuzione
normale). Si determina poi indirettamente la stessa grandezza mediante
un’altra tecnica di misura basata sull’uso di analizzatore di spettro e generatore a inseguimento (dominio della frequenza) e si ottiene
v2 = ( 2.29 ± 0.08 ) ⋅108 m/s (1 scarto tipo, distribuzione normale). Le due
misure sono evidentemente compatibili. La migliore stima della velocità
di
propagazione
a
partire
dalle
due
disponibili
è
v = ( 2.33 ± 0.04 ) ⋅108 m/s (1 scarto tipo, distribuzione normale).
Nota bene: è evidente che una terza stima ottenuta da due incompatibili
è inattendibile
Misure Elettriche
Carobbi – Incertezza di misura
Pag. 45
Reiezione delle osservazioni sperimentali:
criterio di Chauvenet
Immaginiamo di ripetere una misura ottenendo una serie di N valori osservati x1 , x2 ,...xN . Sia xm la media degli N valori e s lo scarto tipo del
campione. Supponiamo che uno degli N valori sia particolarmente scostato dalla media e quindi sia sospetto (lo scostamento sia originato da
una causa accidentale: un errore dell’operatore, un disturbo impulsivo).
Sia xsus il valor sospetto. La probabilità di ottenere un valore tanto scostato dalla media quanto lo è xsus è data da
Prob { t > tsus } = psus
dove
tsus =
xsus − xm
s
La probabilità psus si ricava dalle tabelle di probabilità della distribuzione normale. Su N valori misurati c’è da attendersi che Npsus siano scostati da xm quanto xsus . E’ evidente che se Npsus ≥ 1 non è lecito scartare
il dato sospetto. Il criterio di Chauvenet stabilisce che se Npsus < 1/ 2 allora il dato xsus va scartato, altrimenti no.
Esempio: Da una misura si ottengono i seguenti 10 valori di tensione (espressi in millivolt):
87.0 88.2 86.5 88.7 86.7 89.2 88.8 85.3 93.7 87.6
Si decide di applicare il criterio di Chauvenet per stabilire se il valore 93.7 mV è da
scartare o meno. La media dei valori osservati è 88.2 mV, lo scarto tipo del campione
2.3 mV (calcolati includendo il valore sospetto). Dalle tabelle della distribuzione normale si ricava psus = 1.6 %, quindi Npsus = 0.16 < 0.5 . Quindi il dato 93.7 mV è da
scartare. La media delle 9 osservazioni rimanenti è 87.6 mV, lo scarto tipo 1.3 mV.
Misure Elettriche
Carobbi – Incertezza di misura
Pag. 46
Distribuzione t di Student (1 di 3)
– Quando si effettuano poche misure ( N relativamente piccolo)
l’incertezza della stima xm , cioè lo scarto tipo della media sm , è poco attendibile. Di conseguenza poco attendibile risulterà anche la stima
dell’intervallo di fiducia.
– Assumiamo che il misurando segua la distribuzione normale. Il fattore
di copertura che si ricava dalle tabelle di probabilità della distribuzione
normale non dipende da N . Tuttavia è intuitivo che, fissato il livello di
fiducia, per piccoli valori di N il fattore di copertura deve essere maggiore (più prudenziale) che per grandi valori di N . La distribuzione t di
Student tiene in conto della incertezza su sm . Al limite per N tendente
all’infinito il fattore di copertura deve tendere a quello ricavabile dalle
tabelle di probabilità della distribuzione normale.
– Se x è una grandezza che segue la distribuzione normale allora la grandezza
t=
xm − xμ
sm
segue la distribuzione t di Student ( xμ è il valore atteso per x ). La distribuzione t di Student è simmetrica, a valor medio nullo e per N tendente all’infinito tende alla normale con valore medio nullo e varianza
pari a 1
– Al numero N − 1 ci si riferisce spesso con l’espressione gradi di libertà
e si usa il simbolo ν , cioè ν = N − 1
Misure Elettriche
Carobbi – Incertezza di misura
Pag. 47
Distribuzione t di Student (2 di 3)
Tabella probabilità P entro tsm
Grafico e tabella estratti da: “Distribuzione di Student (t di Student): utili espressioni per la valutazione delle incertezze nelle misure EMC”, M. Cati – Dipartimento di Elettronica e Telecomunicazioni, Università degli Studi di Firenze, 29 Luglio 2002.
Misure Elettriche
Carobbi – Incertezza di misura
Pag. 48
Distribuzione t di Student (3 di 3)
Esempio: si effettuano 4 misure del periodo di oscillazione di un pendolo
semplice per ricavare, indirettamente, il valore della accelerazione di gravità g . La stima di g ottenuta sperimentalmente è (9.73 ± 0.03) m/s2. (1
scarto tipo, distribuzione normale). Ci chiediamo se il valore misurato è
compatibile con quello convenzionale di 9.81 m/ s2 (arrotondato a due decimali) Accettiamo il rischio del 5 % di asserire il falso. I gradi di libertà
sono 3, quindi il valore di t, dedotto dalla tabella di probabilità della distribuzione t di Student, corrispondente alla probabilità del 95 % è 3.18. Dato
che
9.81 − 9.73
= 2.67 < 3.18
0.03
si conclude che il risultato della misura è compatibile con il valore di riferimento.
Nota: se si fosse usata la tabella di probabilità della distribuzione normale,
anziché della distribuzione t di Student, avremmo erroneamente affermato
l’incompatibilità.
Misure Elettriche
Carobbi – Incertezza di misura
Pag. 49