1 2. Figure: stelle, girandole

M. D’Aprile - Didattica della Matematica, Modulo 2
2. Figure: stelle, girandole....
19 aprile 2006
2. Figure: stelle, girandole...
2.0. Supponiamo di essere all’inizio della scuola secondaria. L’insegnante vuole facilitare il passaggio dalla scuola
media alla superiore, proponendo un’attività che aiuti gli studenti a rispolverare le loro conoscenze di geometria e ad
abituarsi a lavorare in gruppo.
2.1. Un problema di disegno.
Lavorando in piccoli gruppi (due o tre persone) risolvere il problema1 disegnare una stella a sei punte come questa
Regole: usare riga non graduata, compasso, disegnare su carta non quadrettata, ad esempio nello spazio qui sotto.
2.2. In quanti modi diversi si può risolvere questo problema?
2.2.1. A partire da un esagono regolare che contiene la stella.
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Dal primo capitolo del libro di Aldo Brigaglia e Grazia Indovina, Stelle, girandole ed altri oggetti matematici. Tradizione e innovazione
nell’insegnamento della geometria (Zanichelli, Bologna, 2003)
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Il problema dato è ricondotto quindi al
Problema (E): come si costruisce un esagono regolare con riga e compasso?
Per risolvere il problema (E) si comincia tracciando con il compasso la circonferenza in cui si iscriverà l’esagono;
scelto un punto su di essa (un primo vertice dell’esagono), con centro nel punto e con la stessa apertura del
compasso usata prima2 si traccia un arco che taglia la circonferenza in un secondo vertice dell’esagono; si ripete il
procedimento a partire dal secondo vertice ottenendo il terzo vertice e così via.
Perché la costruzione è corretta, cioè, perché, ottenuto il quinto vertice, la ripetizione del procedimento porta
al vertice iniziale?
.
Il triangolo che ha come vertici il centro della
circonferenza e due punti consecutivi tra quelli
costruiti è equilatero: infatti, tutti i suoi lati sono uguali
al raggio della circonferenza. Quindi gli angoli del
triangolo sono di 60°.
Poiché l’angolo al centro della circonferenza è un
multiplo intero di questo angolo (infatti è
360° = 6 ÿ 60°)
il cerchio risulta suddiviso in sei parti uguali.
2.2.2. A partire da un esagono regolare contenuto nella stella.
Il problema dato è scomposto in due sottoproblemi: il problema (E) affrontato sopra, ed il
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cioè, considerando la circonferenza con centro nel punto scelto che passa per il centro della prima circonferenza
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Problema (T): come si costruisce un triangolo equilatero con riga e compasso?
Per risolvere il problema (T), dato un segmento che sarà un lato del triangolo, si punta il compasso in ciascuno degli
estremi del segmento e si traccia la circonferenza che passa per l’altro estremo; le due circonferenze si incontrano in
due punti. Si sceglie uno di questi punti come terzo vertice del triangolo.
Perché la costruzione è corretta?
Il punto C appartiene alla circonferenza di centro A e
passante per B, quindi il segmento AC è uguale al
segmento AB.
Il punto C appartiene anche alla circonferenza di
centro B che passa per A, quindi anche il segmento BC
è uguale ad AB .
Possiamo concludere che i lati del triangolo ABC sono
tra loro uguali.
2.2.3. Il metodo di Luigi Suriano.
Luigi Suriano considera una metà della stella, pensandola ottenuta dalla giustapposizione di tre triangoli equilateri,
uno dei quali ha i lati doppi dei lati degli altri due.
Il problema dato è scomposto in due sottoproblemi: il problema (T) affrontato sopra , il
Problema (M): come si divide a metà (si costruisce il punto medio di) un segmento, con riga e compasso?
Per risolvere il problema (M) riprendiamo la costruzione usata per il problema (T): dato il segmento AB, tracciamo
le due circonferenze che hanno centro in ciascuno degli estremi del segmento e passano per l’altro. Le due
circonferenze si incontrano in due punti C, C’. La retta CC’ taglia il segmento AB nel suo punto medio.
Perché questa costruzione risolve il problema (M)?
Rimandiamo la risposta a questa domanda per concentrarci sul problema della stella.
Perché utilizzando le costruzioni (T), (M) si risolve il problema di costruire metà stella?
Dato il segmento AB, costruiamo i due triangoli
equilateri ABC, ABC’ e determiniamo il punto medio
M di AB. Puntiamo il compasso in B, e tracciamo la
circonferenza che passa per M. Chiamiamo D
l’intersezione di questa circonferenza con il
prolungamento di C’B oltre B ed E l’intersezione con
CB. I segmenti BE, BD sono uguali perché raggi di
una stessa circonferenza, dunque il triangolo EBD è
isoscele; per dimostrare che è equilatero basta
(perché?) mostrare che l’angolo EBD (di vertice B)
misura 60°. Questo angolo è supplementare della
somma di due angoli appartenenti a triangoli
equilateri, quindi misura 60°: possiamo concludere che
i segmenti ED, EB, BD, BM sono tutti uguali tra loro.
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2.2.4. Come unione di sei rombi.
Questa soluzione del problema usa ripetutamente solo la costruzione (T): ogni rombo infatti è ottenuto costruendo
due triangoli equilateri con un lato in comune.
2.2.5. Altri modi.
A) Il problema può essere scomposto nei sottoproblemi:
1.
2.
3.
4.
5.
costruire un triangolo equilatero ABC
(D) dividere un suo lato, per esempio AC, in
tre parti uguali; chiamiamo D il punto tale
che il segmento AC sia uguale a tre volte DC.
(P) costruire la retta p per D parallela ad AB
detto E il punto in cui p incontra CB,
determinare su p i punti F, G per cui FD =
DE = EG
costruire un triangolo equilatero di lato FG.
Ci occuperemo dei problemi (D) (P) prossimamente.
B) Un altro modo di risolvere il problema fa uso della simmetria centrale: la stella è l’unione di due triangoli
equilateri simmetrici rispetto al loro centro comune.
2.2.6. Linguaggio e conoscenze.
Nella discussione collettiva abbiamo usato un piccolo vocabolario di termini necessari per descrivere il lavoro fatto
e una raccolta di conoscenze con cui abbiamo giustificato i nostri procedimenti.
Vocabolario
Esagono regolare, triangolo, lato, vertice, angolo, lati
uguali, triangolo equilatero, circonferenza, centro,
raggio, segmento, estremi di un segmento, punto
medio, triangolo isoscele, angoli supplementari,
rombo, retta parallela
Conoscenze
Due segmenti (angoli, archi...) uguali ad un terzo sono
uguali tra loro.
Segmenti che hanno un estremo nel centro e l’altro in
un punto di una data circonferenza sono uguali tra loro.
Un triangolo equilatero ha gli angoli di 60°.
L’angolo giro misura 360°.
Un triangolo isoscele con un angolo di 60° è equilatero.
2.3. Un secondo problema.
Disegnare questo motivo a girandola, o stella a quattro punte3:
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Così viene chiamato a pag. 55 di Source book of Problems for Geometry, di Mabel Sykes, (Dale Seymour Publ., Palo Alto, Ca., ristampa
dell’originale del 1912)
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Regole del gioco: vietato usare la squadra, o della carta quadrettata; usare solo riga e compasso (è lecito ingrandire
e lavorare su costruzioni ausiliarie).
2.4. Quanti “sottoproblemi” abbiamo risolto per disegnare la girandola?
2.4.1. Il problema di disegnare due rette perpendicolari tra loro usando solo riga e compasso.
Questo problema può essere risolto riesaminando la soluzione del problema (M).
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Per costruire il punto medio M del segmento AB abbiamo tracciato la retta CC’, che (secondo quanto molti
ricordano, e come ci riserviamo di stabilire in un altro momento) è la perpendicolare al segmento nel suo punto
medio, detta anche “asse del segmento”.
Dunque, per costruire una retta perpendicolare ad una retta data r , basta prendere su r due punti A,B e costruire (con
la costruzione del punto medio (M)) l’asse del segmento AB.
2.4.2. Il problema di costruire un quadrato.
Si può costruire4 un quadrato cominciando col prendere un segmento AB a piacere (sulla retta di questo segmento
giacerà un lato del quadrato) e costruendo il suo asse: si ottengono così un vertice M del quadrato (sulla retta AB a
cui apparterrà un lato) e la retta su cui giacerà l’altro lato per M. Basta poi utilizzare il compasso per fissare i restanti
tre vertici: puntando il compasso in M si determinano, su una stessa circonferenza, un vertice N che sta sulla retta
AB, ed un vertice L sulla perpendicolare costruita; tracciando le circonferenze di centri N e L che passano per M si
trova l’altra loro intersezione H che è il quarto vertice del quadrato.
Perché questa costruzione è corretta?
I punti N, L sono intersezioni di due rette
perpendicolari con una circonferenza che ha centro nel
punto M comune alle due rette, quindi i segmenti ML,
MN sono tra loro uguali e formano un angolo retto.
Il punto H si trova sulla circonferenza di centro L che
passa per M, quindi
HL = LM
e si trova anche sulla circonferenza di centro N
passante per M, quindi
HN = MN.
Da LM = MN segue che è HN = HL = LM = MN.
Il quadrilatero LHNM ha quattro lati uguali ed un
angolo retto, quindi (?) è un quadrato.
Per portare a termine la costruzione della stella a quattro punte basta ripetere varie volte la costruzione (M) per
trovare punti medi e tracciare segmenti.
2.4.3. Linguaggio e conoscenze
Dalla discussione collettiva ricaviamo un ampliamento del vocabolario e della raccolta di conoscenze geometriche:
Vocabolario
Quadrato, diagonale, rette perpendicolari, asse di un
segmento
Conoscenze
In un triangolo equilatero, la retta che unisce un vertice
con il punto medio del lato opposto è perpendicolare a
quel lato.
Se un rombo ha un angolo retto allora è un quadrato.
Utilizzando un certo vocabolario e delle conoscenze già acquisite abbiamo comunicato e giustificato le soluzioni
trovate per i problemi che ci erano stati posti.
Il lavoro compiuto è un esempio di costruzione di una piccola porzione di teoria geometrica: infatti, ragionando a
partire da certi dati sono stati stabiliti dei fatti, conseguenze logiche di quei dati.
Potremmo dire che ciascuno di noi ha costruito una sua parziale teoria geometrica del piano, poiché è probabile che,
allo stato attuale, la quantità di termini non riconducibili ad altri e di proprietà non deducibili da altre sia diversa per
ciascuno di noi. Nell’ambito di ognuna di queste teorie parziali sono stati stabiliti due piccoli “teoremi”, validi per
tutte: usando soltanto riga e compasso è possibile costruire la stella a sei punte e la girandola a quattro punte.
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questo è uno tra vari procedimenti possibili
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